25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根，通过雕像比例、方盒制作、排球邀请赛等现实情境导入，引导学生列出方程并观察共同特征，搭建从实际问题到数学概念的学习支架。 其亮点是以现实情境为载体发展数学眼光（抽象能力），通过问题链引导数学思维（推理意识），结合典型例题强化数学语言表达（模型意识）。如用雕像比例问题列方程，培养学生从生活中发现数量关系的能力，小结结构化梳理知识，助力学生系统掌握，也为教师提供清晰教学流程。

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1 1.理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式，并能确定各项系数. 3.了解一元二次方程的根的概念. 4.能根据实际问题列一元二次方程. 学习目标 BY YUSHEN 22051 找出数量关系并列出方程． 情境：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如右图，雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ A C B 新课导入 BY YUSHEN 22051 如图，雕像腰部以上的身长 AC 与腰部以下的身长 BC 应有如下关系： AC∶BC＝BC∶5，即 BC2＝5AC． 设雕像腰部以下长 x m，可得方程 x2＝5(5－x)， 整理，得 x2＋5x－25＝0． 跟我们学过的一次方程一样吗？ A C B (5－ x ) m x m 新课导入 BY YUSHEN 22051 知识点：一元二次方程的概念 问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3 600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮? 小组合作讨论，完成下列问题. 新知探究 BY YUSHEN 22051 设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm. 根据方盒的底面积为3 600cm2，得 (100－2x)(50－2x)＝3 600. 整理，得 4x2－300x＋1 400=0. 化简，得 x2－75x＋350=0. 解上面方程可以得出各角所切正方形铁皮的边长. x cm (100-2x) cm (50-2x)cm 化简后的方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循坏形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛? 设应邀请支球队参赛，每支球队要与其他支球队各赛1场，则此次邀请赛共需进行 场，所以可列得方程 整理并化简，得 解上面方程可以得出应邀请的球队数. x2-x-56=0. 新知探究 BY YUSHEN 22051 观察由上面的问题得到的方程有什么特点？ (1) 方程的两边都是_____； (2) 都只含_____个未知数； (3) 未知数的最高次数都是__. x2 - 75x＋350 = 0 ② x2 + 5x - 25 = 0 ① x2 - x - 56 =0 ③ 类比一元一次方程的特征填空. 整式 1 2 新知探究 BY YUSHEN 22051 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 注意： （1）“整式”应理解为未化简时，含有未知数的式子都是整式； （2）“只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2”是对方程整理合并后而言的． 归纳 BY YUSHEN 22051 　　一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 当a＝0时，方程没有二次项. 为什么规定a≠0？ 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 归纳 BY YUSHEN 22051 　　使方程左右两边______的未知数的值就是这个一元二次方程的_____，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根． ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 相等 解 一元二次方程的解满足的两个条件： （1）未知数的值； （2）使方程左右两边相等． 新知 BY YUSHEN 22051 例1：下列方程中，哪些是一元二次方程？ （1）x2＝4； （2）y2－3y＋1＝0； （3）(y－1)2＝y2＋2； （4）x2－2y＋1＝0． 解：（1）整理，得x2－4＝0，是一元二次方程； （2）是一元二次方程； （3）整理，得2y＋1＝0，未知数的最高次数是1，所以不是一元二次方程，是一元一次方程； （4）方程中含有x，y两个未知数，不是一元二次方程． 所以（1）（2）是一元二次方程． 典型例题 BY YUSHEN 22051 判断一元二次方程，理清“是”“否”是关键 观察方程是否为整式方程 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 是一元二次方程 不是一元二次方程 否 是 是 否 归纳 BY YUSHEN 22051 例2：将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 解： 去括号，得3x2－3x＝5x＋10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2－8x－10＝0. 所以二次项系数为3，一次项系数为－8， 常数项为－10. 典型例题 BY YUSHEN 22051 化一元二次方程为一般形式的步骤 第 1 步：去分母； 第 2 步：去括号； 第 3 步：移项； 第 4 步：合并同类项． 归纳 BY YUSHEN 22051 确定一元二次方程的各项及其系数，三点注意莫忽视 （1）先把方程化为一般形式．如果二次项系数小于 0，一般把方程两边同乘－1，将其二次项系数转化为大于0的数． （2）指出一元二次方程各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉． （3）特例：若没有出现一次项 bx，则 b＝0；若没有出现常数项，则 c＝0． 归纳 BY YUSHEN 22051 例3：判断 x＝2，x＝3是不是一元二次方程 x2－x－5＝1的根． 　　解：将 x＝2 分别代入方程的左右两边， 　　得左边＝－3，右边＝1，－3≠1， 　　所以 x＝2 不是方程的根； 　　将 x＝3 分别代入方程的左右两边， 　　得左边＝1，右边＝1，1＝1， 　　所以 x＝3 是方程的根． 典型例题 BY YUSHEN 22051 解（根） 概念 一般形式 一元二次方程 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 使方程左右两边相等的未知数的值 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( @3@ ) B A. 3x2 - 2xy - 5y2 = 0 B. (x-1) (x+2) = 1 C. ax2 + bx + c = 0 D. 2. 一元二次方程 x² - 4x + a = 0 的一个解为 x = 1，则a =______. 3 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 2x2 = 4x x2 = 2 3x (x-1) = 5 (x-1)(x+3)=5 2x2 - 4x = 0 2 -4 0 x2 - 2 = 0 1 0 -2 3x2 - 3x - 5 = 0 3 -3 -5 x2 + 2x - 8 = 0 1 2 -8 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 4. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. (1)有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平方的长方形? (2)一个直角三角形的两条直角边相差 3 cm，面积是 9 cm2 ，求较长的直角边. (2)设较长的直角边长为 a cm，则较短的直角边长为 (a-3) cm， 则直角三角形的面积为[ a(a-3)] cm2 ， 所以其一般形式为 a2-3a-18=0． 解：(1)设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得x(0.5-x)=0.06, 整理，得50x2-25x+3=0. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $