25.2.1 课时2 配方法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，以矩形绿地面积问题导入，引导学生列出方程后，通过填空探究完全平方式规律，再结合具体方程示范配方步骤，构建从二次项系数为1到不为1的学习支架。 其亮点在于以现实问题培养数学眼光，通过规律探究发展数学思维，用方程模型体现数学语言。如活动1观察完全平方式规律培养抽象能力，活动3处理不同系数方程发展运算能力，帮助学生理解转化思想，教师可借助层次化设计提升教学效率。

25.2.1 课时2 配方法 第二十五章 一元二次方程 M A T H 22051 01 理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程. 02 通过配方进一步体会“降次”的转化思想. 学习目标 M A T H 22051 某小区计划设置一块面积为1 200 m2的矩形绿地，并且长比宽多40m. 这块绿地的长、宽各为多少？ 解：设矩形绿地的宽为x m，则长为(x + 40)m，根据长方形面积公式，可得 x ( x + 40 )=1 200 不能直接通过降次解方程 能否将方程转化为可以直接降次的形式再求解呢？ 情境导入 M A T H 22051 任务：理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程. 活动1：完成下面的填空，并观察每个等式的左边，一次项系数和常数项之间有什么关系？由此你能得出关于完全平方式的什么猜想？与同伴交流. （1）x2+4x+ = ( x + )2 （2）x2-6x+ = ( x - )2 （3）x2+8x+ = ( x + )2 （4）x2- x+ _ = ( x - )2 22 2 32 3 42 4 二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方. 想一想： x2+px+(__ ___ )2=(x+ ___ )2 探究学习 M A T H 22051 活动2：尝试把方程 x2+6x-16=0 化成 (x+n)2=p 的形式. 解： x2+6x-16=0 x2+6x=16 移项 x2+6x+9=16+9 两边都加上9 左边写成完全平方形式 (x+3)2=25 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 探究学习 M A T H 22051 在方程两边都加上一次项系数一半的平方. 注意是在二次项系数为1的前提下进行的. 问题：为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式. 方程配方的方法： 探究学习 M A T H 22051 配方法的基本思路： 把方程化为 (x+n)2=p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法. 归纳 M A T H 22051 解决导入 某小区计划设置一块面积为1 200 m2的矩形绿地，并且长比宽多40 m. 这块绿底的长、宽各为多少？ 解：设矩形绿地的宽为x m，则长为(x + 40)m， 根据长方形面积公式，可得， x ( x + 40 )=1 200 . 化简，得 x2 + 40x = 1 200 . 配方，得 x2 + 40x + (20)2 = 1 200 + (20)2， (x + 20)2 = 1 600 . 由此可得 x + 20 = ±40 ，x1 = 20，x2 = - 60 . 根据问题的实际意义，矩形绿地的宽为20 m，则这块绿地的长为(20+40)=60 m. 探究学习 M A T H 22051 (1)x2－8x＋1＝0； (2)2x2＋1＝3x； (3)3x2－6x＋4＝0. 活动3：用配方法解下列方程，并与同伴交流你的解题思路. 分析： (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法． (2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2. (3)与(2)类似，方程两边都除以3后再配方. 探究学习 M A T H 22051 解： (1) 移项，得 　　　　　x2－8x＝－1. 　　 　配方，得 　　　　　x2－8x＋42＝－1＋42， 　　　　　　　(x－4)2＝15. 　　　 由此可得 常数项移到“＝”右边 两边同时加上一次项系数一半的平方 (1)x2－8x＋1＝0； 探究学习 M A T H 22051 (2) 移项，得 2x2－3x＝－1. 二次项系数化为1，得 配方，得 由此可得　　　　　　　　　　 两边同时除以2 (2)2x2＋1＝3x； 探究学习 M A T H 22051 (3) 移项，得 3x2－6x＝－4 二次项系数化为1，得 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以 x取任何实数时， (x－1)2 都是非负数， 上式都不成立， 即原方程无实数根．　　　　 x2－2x＝ x2－2x ＋ 12 ＝ ＋ 12. (x－1)2＝ . (3)3x2－6x＋4＝0. 探究学习 M A T H 22051 思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？ 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. 移项要改变符号. ①把待求方程化为一般形式：x2+px+q=0； ②把常数项移到等号右边，二次项系数化为1； ③等号两边加上 ； ④写成 (x+n)2=p； ⑤直接开平方法解方程. 探究学习 M A T H 22051 p＞0 P=0 P＜0 根的个数 两个不等的实数根： 两个相等的实数根： p的范围 x1=x2= 0 无实数根 形如(x+n)2=p的方程的根的情况 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p的形式，那么就有： 思考3：方程 (x+n)2=p 的解是什么？尝试分类讨论并求出. 探究学习 M A T H 22051 （1）4x2-6x-3=0； （2） 3x2+6x-9=0. 解：二次项系数化为1得， x2+2x-3=0， 配方得，(x+1)2=4. 解得，x1=-3，x2=1. 解：二次项系数化为1得， 配方得， 解得， 解下列方程： 巩固练习 M A T H 22051 针对本节课的关键词“配方法”，你能说说学到了哪些知识吗？ 配方法 定义 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法. 步骤 一：把待求方程化为一般形式：x2+px+q=0； 二：把常数项移到等号右边，二次项系数化为1； 三：等号两边加上 ； 四：写成 (x+n)2=p; 五：直接开平方法解方程. 课堂小结 M A T H 22051 1. 用配方法解一元二次方程x2-6x+8 = 0配方后得到的方程是( ) A. (x + 6)2 = 28 B. (x - 6)2 = 28 C. (x + 3)2 = 1 D. (x - 3)2 = 1 D 基础 随堂小练 M A T H 22051 (1) x2 - 4x + 3 = - 1 2. 用配方法解下列方程： (2)x2 - x + 1 = 25 解： 解：x2 - 4x + 4 = 0 (x - 2)2 = 0 x1 = x2 = 2 基础 随堂小练 M A T H 22051 (3) 2x2 - 3x - 1 = 1 解： (4) x(x-4) = - 8x + 12 解：x2 + 4x = 12 x2 + 4x + 4 = 16 (x + 2)2 = 16 x1 = 2 ，x2 = - 6 2. 用配方法解下列方程： 基础 随堂小练 M A T H 22051 3. 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－2k＋4 的值必定大于零. 解：k2－2k＋4=k2－2k＋1＋3 =(k－1)2＋3 因为(k－1)2 ≥ 0，所以(k－1)2＋3 ≥ 3. 所以k2－2k＋4的值必定大于零. 提升 随堂小练 M A T H 22051 $