25.2.1 课时2 配方法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，通过知识回顾（完全平方公式、直接开平方法填空题）导入，新知探究从具体等式观察常数项与一次项系数关系，引导学生抽象出配方规律，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助理解配方法步骤。 其亮点在于分层例题（含二次项系数1、非1及无实根情况）和变式求最值应用，结合抽象能力、推理意识，通过“一移二化三配”等步骤归纳，系统呈现方法。学生能提升数学思维，教师可直接用于教学，提高效率。

25.2.1 配方法 课时2 配方法 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.理解并掌握配方法的一般步骤. 2.能根据方程的结构特点，熟练、灵活地运用配方法解一元二次方程. 学习目标 BY YUSHEN 22051 a2+2ab+b2 =_______；a2–2ab+b2 =_______. 直接开平方法的基本思路： 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 完全平方公式： (a+b)2 (a – b)2 x2 +mx+9是完全平方式，m =_________. ±6 4x2 +12x+a是完全平方式，a =_________. 9 知识回顾 BY YUSHEN 22051 观察：等式左边的常数项和一次项系数有什么关系？对于形如 x2 + ax的式子，如何配成完全平方式？ (1) x2 + 2 x+___= ( )2； (2) x2 + 8 x + ___ = ( x + ____ )2. 1 2 4 2 4 x+1 一半 一半 通过观察可以发现，对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方式. x2 + ax + ( )2 = ( x + )2 对于形如 x2 + ax的式子，不妨猜测： . 新知探究 BY YUSHEN 22051 x2 + 6x = - 4 x2+6x+9=-4+9 ( x+3)2=5 降次(直接开平方法) 解： x2+6x+4=0 移项 两边加9 二次项系数是1 即 使左边配成 x2+2bx+b2的形式 左边写成完全平方形式 配一次项系数一半的平方 x+3= x+3= ，或 x+3= 解一次方程 可以验证，-3± 是方程x2+6x+4 =0的两个根. 探究：尝试用你发现的规律解方程x2+6x+4 =0. BY YUSHEN 22051 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 基本思路：将一般式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 转化为(x+n)2 = p 的形式，再通过直接开平方法(降次)，转化为一元一次方程求解． 核心思想：配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程. 归纳 BY YUSHEN 22051 例1：用配方法解下列方程，并与同伴交流你的解题思路. (1)x2－8x＋1＝0；(2)2x2＋1＝3x；(3)3x2－6x＋4＝0. 分析： (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法． (2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2. (3)与(2)类似，方程两边都除以3后再配方. 典型例题 BY YUSHEN 22051 解： (1) 移项，得 　　　　　x2－8x＝－1. 　　 　配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， 　　　　　　　 (x－4)2＝15. 　　　 由此可得　　　　　 常数项移到“＝”右边 两边同时加上一次项系数一半的平方 (1)x2－8x＋1＝0； 典型例题 BY YUSHEN 22051 (2) 移项，得 2x2－3x＝ －1. 二次项系数化为1，得 配方，得 由此可得　　　　　　　　　　 常数项移到“＝”右边 两边同时除以2 两边同时加上一次项系数一半的平方 (2)2x2＋1＝3x； 典型例题 BY YUSHEN 22051 （3）移项，得 3x2－6x＝－4 二次项系数化为1，得 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以 x取任何实数时， (x－1)2 都是非负数， 上式都不成立， 即原方程无实数根．　　　　 x2－2x＝ . x2－2x ＋ 12 ＝ ＋ 12. (x－1)2＝ . 常数项移到“＝”右边 两边同时除以3 两边同时加上一次项系数一半的平方 (3)3x2－6x＋4＝0. 典型例题 BY YUSHEN 22051 变式：应用配方法求最值： (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 6x -7的最大值. 解：原式 = 2(x2 - 2x) +5 = 2(x2 - 2x + 1 ) -2 + 5 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时，有最小值3. 解：原式= - 3 (x2 - 2x) - 7 = -3(x2 - 2x + 1 )+3 - 7 = -3(x - 1)2 - 4 当x =1时，有最大值-4. 新知探究 BY YUSHEN 22051 思考：将一元二次方程通过配方法转化成(x+n)2 = p 形式后，它的根和 p 有什么关系？ 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)²=p的形式，那么就有： p＞0 P=0 P＜0 根的个数 两个不等的实数根： 两个相等的实数根： p的范围 x1=x2= 0 无实数根 形如(x+n)2=p的方程的根的情况 新知探究 BY YUSHEN 22051 配方法解一元二次方程的步骤： 一移，化成一般式，把常数项移到等号右边； 二化，二次项系数化为1(等式两边同时除以二次项系数)； 三配，等式两边同时加上一次项系数一半的平方； 四写，方程写成(x+n)2=p的形式； 五开，将等式两边直接开平方； 六解，解一元一次方程； 七定，写出原方程的根. 注意：移项要改变符号 注意：p≥0，才有根. 归纳 BY YUSHEN 22051 配方法 定义 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法. 步骤 一移常数项； 二配方[配上 ]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程. 特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应用 求代数式的最值或证明 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.用配方法解一元二次方程x2-6x+8 = 0配方后得到的方程是( ) A. (x + 6)2 = 28 B. (x - 6)2 = 28 C. (x + 3)2 = 1 D. (x - 3)2 = 1 D 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.解下列方程： (1)x2+10x+9=0； (2)x2-x-=0； 解：(x+5)2=16. x1=－1，x2=-9. 解：(x-)2=2. x-=. x1=，x2=. (3)3x2+6x-4=0. 解： x1=，x2=-. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 （5）x2+4x-9=2x-11； （6）x(x+4)=8x+12； 解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无实数根； 解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6，x2=-2； （4）4x2-6x-3=0； 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =(k－2)2＋1 因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 4.若a，b，c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ABC为直角三角形. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $