25.2.1 课时2 配方法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，通过复习直接开平方法解\((x+3)^2=5\)，引导学生思考“任意一元二次方程能否转化为可降次形式”，搭建从已知到新知的学习支架，衔接直接开平方法与配方法的联系。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过填空归纳“常数项为一次项系数一半的平方”规律培养抽象能力，步骤化总结配方法流程强化推理意识，典例涵盖不同系数、有无实根及几何应用（如判断三角形形状）发展模型观念。学生能掌握转化思想，教师可借助清晰结构提升教学效率。

课时2 配方法 第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 22051 1.理解配方法的概念. 2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. 学习目标 22051 回忆的解法： 由方程 (x+3)2=5 得 即 或 于是，方程(x+3)2=5的两个根为 或 ① ② 复习导入 22051 【思考】解方程时，因为它的左边是含有的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程. 对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？ 下列方程能用直接开平方法来解吗? (1) x2+6x+9 =5； (2) x2+6x+4=0. 方程左边与什么类似？ 完全平方公式 新知讲解 22051 填上适当的数或式，使下列各等式成立. （1）x2+4x+ = ( x + )2 （2）x2−6x+ = ( x− )2 （3）x2+8x+ = ( x+ )2 （4）x2−x+ = ( x− )2 22 2 32 3 42 4 2 有什么规律？ 新知讲解 22051 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. x2+px+( )2=(x+ )2 归纳 22051 【探索】通过上面的方法，该怎样解方程x2+6x+4=0？ 要把方程x2+6x+4=0转化为像(x+3)²=5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式.为此，对方程x2+6x+4=0移项，得 x2+6x=−4 由 a2+2ab+b2 =(a+b)²，将上述方程两边同时加2，即9，方程左边就可以配成形式的完全平方式，即 x2+6x+9=−4+9 左边写成完全平方形式，得 (x+3)2=5 解这个方程，得 可以验证， 3±是方程x2+6x=−4的两个根. 新知讲解 22051 x2+6x+4=0 x2+6x=−4 移项 x2+6x+9=−4+9 两边都加上9 (x+3)2=5 左边写成完全平方形式 直接开平方法解方程 新知讲解 22051 像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 把方程化为的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解. 配方法解方程的基本思路： 归纳 22051 ①先化成一般形式； ②将常数项移到等式右边； ③两边除以二次项系数； ④方程两边都加上一次项系数一半的平方； ⑤将等式左边化成完全平方形式； ⑥两边开方，并求出方程的解． 配方法解方程的步骤 归纳 22051 【例】解下列方程： (1) 分析： (1)方程的二次项系数为1，可直接运用配方法. (2)方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1.为此，方程的两边都除以2. (3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. 典例精析 22051 解：(1)移项，得 x2−8x=−1 配方，得 x2−8x+42=−1+42 (x−4)2=15， 由此可得 x−4=± 【例1】解下列方程： (1) 典例精析 22051 解：(2)移项，得 2x23x=1 二次项系数化为1，得 x2x= 配方，得 x2x+() 2= +() 2 ， (x) 2= 由此可得 x−=± 【例1】解下列方程： (1) 典例精析 22051 解：(3)移项，得 3x2x= 二次项系数化为1，得 x2x= 配方，得 x2x+12= +12 ， (x) 2= - 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时， (x) 2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 【例1】解下列方程： (1) 典例精析 22051 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 (x＋n)2＝p 的形式. 那么就有： ①当p>0时, 方程有两个不相等的实数根 x1＝, x2＝; ②当p＝0时, 方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－n; ③当p<0时, 方程无实数根. 归纳 22051 【例2】试用配方法说明：不论取何实数，多项式245的值必定大于零 解： 245 = 24 =(2)²+1 因为(2)²≥0，所以(2)²+1≥1 所以245的值必定大于零. 典例精析 22051 配方法 一般形式 定义 当>0时， x1＝, x2＝; 当=0时， x1＝x2＝－n; 当<0时，无实数根 配方法的应用 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 课堂小结 22051 一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ） A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4 2.方程3x2+9=0的根为（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根 D D 当堂检测 基础 22051 3.用配方法解下列方程. （1）x2+10x+9=0； （2）x2+4x-9=2x-11; 解：移项， x2+10x=-9 配方， x2+10x+25=16 (x+5) 2=16 x+5=±4 方程的两个根为x1=-1，x2=-9 解：移项, x2+2x=-2 配方, x2+2x+1=-1 (x+1)2=-1 方程没有实数根. 当堂检测 基础 22051 4. △ABC中的边分别为a, b, c, 已知a2−6a＋b2−8b＋25＝0, 且c＝5, 判断△ABC的形状. 解: △ABC是直角三角形. ∵(a2−6a＋9－9)＋(b2−8b＋16－16)＋25＝0, 即 (a－3)2＋(b－4)2＝0， (a－3)2≥0，(b－4)2 ≥0, ∴a－3＝0，b－4＝0，解得a＝3，b＝4, ∵32＋42＝52 ∴△ABC是直角三角形. 当堂检测 提升 22051 $