内蒙古2025-2026学年高一下学期数学期末限时小卷（五）

**基本信息** 聚焦解三角形、平面向量等核心模块，通过选择、填空、解答多题型综合考查数学思维与运算能力，强化知识内在逻辑与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形|4题（1,5,8,10）|单选/多选/填空/解答，涉及定理应用、多解判断、面积最值|以边角关系为核心，从正弦定理到余弦定理推导，结合三角形性质拓展应用| |平面向量|4题（3,4,6,7）|单选/多选/填空，考查垂直、模长、共线、基底表示|从基本概念（垂直、共线）到运算（模长计算），关联几何意义（平行四边形向量关系）| |复数|1题（2）|单选题，考查虚部概念|聚焦复数基本概念，强化数学语言表达的精确性| |三角恒等变换|1题（9）|解答题，考查化简与求值|围绕公式应用，结合象限角性质，培养运算推理能力|

2025-2026学年第二学期内蒙古高一数学限时小卷（五） （分值72分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则等于(    ) A. 或 B. C. 或 D. 2.复数的虚部是(    ) A. B. C. D. 3.已知，，，且向量与向量垂直，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.在平行四边形中，，，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，，则面积的最大值为 6.下列说法正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若非零向量，满足，则，，三点共线 C. 若，则向量与的夹角为钝角 D. 若向量，不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数对，，使 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知向量，若，则        ． 8.在中，已知，，，点在线段上，且满足，则的长度为            ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知 化简 若是第三象限角，且，求的值． 10.本小题分 锐角中，满足，，，分别是，，的对边． 若，求边的长； 求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期内蒙古高一数学限时小卷（五） （分值72分，限时40分钟） 全 解 全 析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则等于(    ) A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C  【解析】解：在中，，，， 由正弦定理可得，解得， 再由大边对大角可得，，或， 故选：． 由条件利用正弦定理求得的值，可得的值． 本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题． 2.复数的虚部是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意可得：，即该复数的虚部为． 故选：． 根据复数的除法运算，分子和分母同时乘以，进行化简运算，找到虚部即可． 本题主要考查复数的四则运算，以及复数虚部的定义，属于基础题． 3.已知，，，且向量与向量垂直，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，，，， ，， 向量与向量垂直， ，求得， 故选：． 由题意利用两个向量坐标形式的运算法则求出、的坐标，再利用两个向量垂直的性质，可得，由此求得求得的值． 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，属于基础题． 4.在平行四边形中，，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：在平行四边形中，，，， 因为， 在平行四边形中，，， 根据平面向量数量积公式可得： ． 故选：． 根据线性运算及数量积的定义计算求解． 本题考查了平面向量的线性运算及数量积公式，属于中档题． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，，则面积的最大值为 【答案】ABD  【解析】解：，A正确； 因为，，， 由正弦定理得，， 故， 因为， 所以， 故B有两角，B正确； 为钝角三角形，但不确定哪个角为钝角，则不一定成立，不符合题意； 因为，， 由余弦定理得，，当且仅当时取等号， 故， 面积，即最大值为，D正确． 故选：． 由已知结合正弦定理可检验；结合正弦定理及三角形大边对大角可检验选项B；结合余弦定理可检验选项C；结合余弦定理及基本不等式，三角形的面积公式可检验选项D． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题． 6.下列说法正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若非零向量，满足，则，，三点共线 C. 若，则向量与的夹角为钝角 D. 若向量，不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数对，，使 【答案】BD  【解析】解：对于，当时，满足，，但不一定，A错误； 对于，由，得与为平行向量，又与有公共点，因此，，三点共线，B正确； 对于，当两个非零向量与反向时，满足，但夹角不是钝角，C错误； 对于，向量不共线，对于任一向量，都存在唯一实数对，，使，D正确． 故选：． 结合向量的概念检验各选项即可求解． 本题主要考查了向量基本概念的应用，属于基础题． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知向量，若，则        ． 【答案】  【解析】解：由题可得：， 又，所以，解得． 故答案为：． 根据向量共线的坐标运算求解即可． 本题主要考查向量共线的性质应用，考查计算能力，属于基础题． 8.在中，已知，，，点在线段上，且满足，则的长度为            ． 【答案】  【解析】解：在中，，，， 所以， 即， 可得， 根据，可得， 在中，由余弦定理得， 所以． 故答案为：． 根据题意，在中利用余弦定理求得长，进而求得，然后在中，根据余弦定理列式求得的长，可得答案． 本题主要考查利用余弦定理解三角形的知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知 化简 若是第三象限角，且，求的值． 【答案】解： ； 是第三象限角，且， ， ， ．  【解析】本题考查了三角函数的诱导公式与同角三角函数的基本关系． 利用三角函数的诱导公式化简即可； 根据诱导公式，利用同角的三角函数关系计算即可． 10.本小题分 锐角中，满足，，，分别是，，的对边． 若，求边的长； 求的取值范围． 【答案】   【解析】解：因为， 又因为， 可得， 因为为锐角三角形，所以， 所以，即， 在锐角三角形中，可得， 由余弦定理，而， 即， 解得或， 但时，，可得角为钝角，与已知条件不符， 而时，，，符合条件， 所以； 由正弦定理，得 ， 在锐角三角形中，，可得， 所以， 所以 即． 先利用二倍角公式与因式分解化简已知等式，结合锐角三角形的性质求出角，再用余弦定理求边并检验解的合理性，最终确定； 先用正弦定理将边的比值转化为角的正弦值，再结合将表达式化为含的三角函数，最后通过角的范围求出取值范围． 本题考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的性质的应用，锐角三角形的性质的应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $