精品解析：内蒙古部分学校2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试卷

高一数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某班有男生30人，女生20人，现需要安排5人参加男女混合跑步接力比赛，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女生人数为（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出女生所占比例，再求出女生人数即可. 【详解】由题意得该班女生所占比例为， 应抽取的女生人数为，故C正确. 故选：C 2. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理建立方程，求解边长即可. 【详解】由题意得在中，， 由正弦定理得，解得，故A正确. 故选：A 3. 已知集合，且的元素个数为2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据题意得到，计算即可. 【详解】由题意得，得． 则的取值范围为. 故选：A 4. 的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】将变形为，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为， 故选：B. 5. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可. 【详解】因为，所以是的中点，， 因为，所以是上靠近的三等分点，， 如图，连接，，作出平行四边形， 由题意得 ，故C正确. 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性判断大小即可. 【详解】由题意得，则， 所以． 故选：B 7. 某正方体的展开图如图所示，则在原正方体中（ ） A. 直线与相交，且直线与的夹角为 B. 直线与相交，且直线与的夹角为 C. 直线与异面，且直线与的夹角为 D. 直线与异面，且直线与的夹角为 【答案】D 【解析】 【分析】将展开图还原为正方体，连接，结合可得为直线与所成角，进而求解即可. 【详解】还原的正方体如图所示，连接，显然直线与异面， 在正方体中，， 则为直线与所成角， 又，则为等边三角形，即. 故选：D. 8. （ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦和余弦的差角公式及诱导公式，即可求解. 【详解】 . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为2 B. 的共轭复数为 C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的虚部、共轭复数的定义判断AB；根据复数的运算法则求出即可判断CD. 【详解】由，则的虚部为，的共轭复数为，故A错误，B正确； 而，故C错误； 则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确. 故选：BD. 10. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ） A. 甲和乙为互斥而不对立事件 B. 丙和丁为互斥而不对立事件 C. D. 甲和丁为独立事件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，列出试验的样本空间，利用互斥、对立事件的定义即可判断A，B两项；通过枚举法计算出相应事件的概率，利用独立事件的乘法公式判断即可. 【详解】因在一次取球中，甲事件与乙事件不可能同时发生，除了这两个基本事件外，还有事件“恰有2个红球”， 故甲和乙为互斥而不对立事件，即A正确； 而在一次取球中，丙事件与丁事件可以同时发生，如同时取到了编号为1和3的小球，则两事件都发生了， 即丙和丁不是互斥事件，即B错误； 因为从袋子中随机地取出2个球，共有等6种情况， 且，，， 所以甲和丁为独立事件，故C错误，D正确． 故选：AD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 恰有两个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先算出函数定义域，然后对函数解析式进行化简，再利用复合函数“同增异减”及二次函数、 对数函数性质分析即可得到答案. 【详解】函数的定义域为，故的图象关于直线对称，A正确； 当在上单调递增，且在其定义域内单调递增，B正确； 当时，，故值域为，C错误； 令，则，易得有两个解，这两个解均在上，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的定义计算即得. 【详解】． 故答案为：. 13. 已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则________，的最小正值为________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】利用正弦函数的最小正周期公式求解第一空，利用整体代入法求解对称中心，进而得到a的最小正值求解第二空即可. 【详解】若的最小正周期为，可得， 则，令， 解得，当时，，则a的最小正值为． 故答案为：4； 14. 已知某圆锥的母线长是底面半径的4倍，且该圆锥外接球的表面积为，则该圆锥外接球的半径为___________，该圆锥的底面半径为___________. 【答案】 ①. ## ②. 1 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，圆锥外接球的半径为，根据已知条件结合球的面积公式及勾股定理求出、. 【详解】如图，设圆锥的底面半径，圆锥外接球的球心为，外接球的半径为， 由题意，球的表面积为，解得，即， 由，则， 在中，， 则，解得. 故答案为：；1. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲机床一天内生产的零件的重量（单位：）从小到大为． （1）求这组数据的分位数； （2）求这组数据的平均数和标准差； （3）求零件重量位于和之间的个数及所占的百分比． 参考数据：． 【答案】（1）10.5 （2）10， （3）6个， 【解析】 【分析】（1）利用总体百分位数的估计求解分位数即可. （2）利用平均数公式求解平均数，利用标准差公式求解标准差即可. （3）结合题意求出和，再求出其中的零件个数和百分比即可. 【小问1详解】 因为， 所以这组数据的分位数为． 【小问2详解】 由题意得， 由标准差公式得． 【小问3详解】 由题意得， 则零件重量位于和之间的有，共6个， 可得所占的百分比是． 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）由条件根据余弦定理求，再结合范围求结论； （2）由条件，结合正弦定理可求，由关系求，由此可得结论. 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理得． 因为，所以． 【小问2详解】 因为，， 由正弦定理可得． 由（1）可知， 所以，解得， 所以的周长为． 17. 已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． （1）求点坐标； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）求平行四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）设点的坐标，根据向量相等直接得到所求点的坐标. (2)由向量与的数量积直接计算向量的夹角余弦值. (3)由（2）向量的夹角余弦计算正弦，再由面积公式计算平行四边形的面积. 【小问1详解】 由题意得， 设，则． 由，得得 所以点的坐标为． 【小问2详解】 由题意得， ，，， 所以向量与夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）得向量与夹角的正弦值为， 所以平行四边形的面积为. 18. 某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． （1）求甲得10分的概率； （2）求甲得3分的概率； （3）若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式求解即可. （2）将甲得3分分为两种情况，再结合互斥事件的概率公式求解即可. （3）将甲答辩成功这个事件合理拆分，再结合互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件， 由独立事件概率公式得甲得10分的概率为． 【小问2详解】 甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题．且两种情况互斥， 故甲得3分的概率为． 【小问3详解】 若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题． 甲答辩成功的概率为． 若甲恰好答对3道题目答辩成功，则甲答对第2题、第3题、第4题， 或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题． 甲答辩成功的概率为． 由（1）可知甲得10分的概率为，所以甲答辩成功的概率为． 19. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）首先证明，再利用线面平行的判定即可； （2）利用勾股定理的逆定理得，，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （3）合理作出辅助线，求出点到平面的距离为，再求出两极限位置的最值即可. 【小问1详解】 分别为的中点，． 平面平面平面． 【小问2详解】 如图，连接．易得. ， . 平面平面， 平面. 【小问3详解】 将直三棱柱补成直四棱柱， ，设的中点分别为，，连接， 设与的交点为． ， 四边形是平行四边形，． ，即，，，四点共面． ， 四边形是平行四边形，． 由（2）可知平面平面， 由，得，即点到平面的距离为， 当点在的三边上运动时， ， 易得， 当与重合时，取得最大值，则取得最小值，最小值为， 此时取得最小值，最小值为．如图，过作，垂足为。 易得， 则， . 当与重合时，取得最大值，则取得最大值，最大值为． 故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学考试 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某班有男生30人，女生20人，现需要安排5人参加男女混合跑步接力比赛，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女生人数为（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 3. 已知集合，且的元素个数为2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 24 5. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 6 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 某正方体的展开图如图所示，则在原正方体中（ ） A. 直线与相交，且直线与的夹角为 B. 直线与相交，且直线与的夹角为 C. 直线与异面，且直线与的夹角为 D. 直线与异面，且直线与的夹角为 8. （ ） A. B. C. 0 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 虚部为2 B. 的共轭复数为 C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ） A. 甲和乙为互斥而不对立事件 B. 丙和丁为互斥而不对立事件 C. D. 甲和丁为独立事件 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 在上单调递增 C. 值域为 D. 恰有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ________． 13. 已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则________，的最小正值为________． 14. 已知某圆锥的母线长是底面半径的4倍，且该圆锥外接球的表面积为，则该圆锥外接球的半径为___________，该圆锥的底面半径为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲机床一天内生产的零件的重量（单位：）从小到大为． （1）求这组数据的分位数； （2）求这组数据的平均数和标准差； （3）求零件重量位于和之间的个数及所占的百分比． 参考数据：． 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求的周长． 17. 已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． （1）求点的坐标； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）求平行四边形的面积． 18. 某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． （1）求甲得10分的概率； （2）求甲得3分概率； （3）若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 19. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$