内蒙古2025-2026学年高一下学期数学期末限时小卷（四）

**基本信息** 聚焦三角函数与向量综合，以基础题型承载概念理解与性质应用，培养数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数与平面向量|10题（选择6/填空2/解答2）|基础概念辨析（向量方向、三角定义）、图象变换与性质（周期、最值）、实际模型应用（水轮问题）|从向量关系、三角函数定义到图象变换、性质推导，再到实际情境模型构建，形成概念-性质-应用的逻辑链条。|

2025-2026学年第二学期内蒙古高一数学限时小卷（四） （分值74分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知非零向量，满足，则(    ) A. B. C. 与的方向相同 D. 与的方向相反 2.若，则(    ) A. B. C. D. 3.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点(    ) A. 横坐标伸长到原来的倍，再向左平行移动个单位长度 B. 横坐标缩短到原来的，再向左平行移动个单位长度 C. 横坐标缩短到原来的，再向左平行移动个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的，再向右平行移动个单位长度 4.如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，则下列说法错误的是(    ) A. 点第一次到达最高点需要秒 B. 当水轮转动秒时，点距离水面米 C. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D. 点距离水面的高度米与时间秒之间的函数解析式为 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则(    ) A. B. C. D. 6.若函数在一个周期内的图象如图所示，则(    ) A. 的最小正周期为 B. 的增区间是 C. 是奇函数 D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到的图象 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知，则        ． 8.已知，则        ． 四、解答题：本题共2小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数的最小正周期为． 求及； 若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 10.本小题分 已知函数． 求的最大值以及取得最大值时的集合； 求的对称中心； 若，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期内蒙古高一数学限时小卷（四） 全 解 全 析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知非零向量，满足，则(    ) A. B. C. 与的方向相同 D. 与的方向相反 【答案】C  【解析】解：由，得与方向相同，且， 所以选项ABD均错，选项C对． 故选：． 根据可得与方向相同，且，从而即可对选项进行逐一判断． 本题考查共线向量，考查学生对基本概念的理解能力，属于基础题． 2.若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查三角函数的诱导公式，二倍角公式，属于基础题． 运用三角函数的诱导公式，二倍角公式，即可求解． 【解答】 解：，． 故选：． 3.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点(    ) A. 横坐标伸长到原来的倍，再向左平行移动个单位长度 B. 横坐标缩短到原来的，再向左平行移动个单位长度 C. 横坐标缩短到原来的，再向左平行移动个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的，再向右平行移动个单位长度 【答案】C  【解析】解：将函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的，可得的图象， 再向左平行移动个单位长度，可得的图象， 故选：． 4.如图所示，一半径为米的水轮，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，则下列说法错误的是(    ) A. 点第一次到达最高点需要秒 B. 当水轮转动秒时，点距离水面米 C. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米 D. 点距离水面的高度米与时间秒之间的函数解析式为 【答案】B  【解析】解：设点距离水面的高度为米与时间秒之间的函数解析式为，， 由题意，，， 所以解得 因为， 所以， 则， 当时，， 所以，则， 又， 则， 综上，，故D正确； 今，则，若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，米，故C正确． 故选：． 设点距离水面的高度为米与时间秒之间的函数解析式为，由题意可求，，可求函数最小正周期，利用三角函数周期公式可求，当时，，可得，结合，可求，即可判断；利用正弦函数的性质即可逐项判断． 本题考查了根据部分三角函数图象确定三角函数解析式以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】解：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且， 则，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 因为，，可得，， 所以，故D错误． 故选：． 由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解． 本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了计算能力和对应思想，属于基础题． 6.若函数在一个周期内的图象如图所示，则(    ) A. 的最小正周期为 B. 的增区间是 C. 是奇函数 D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到的图象 【答案】AB  【解析】解：由题意可得，，， 所以，A正确； 所以，， 又，，， 所以，， 令，， 则，，B正确； 不是奇函数，C错误； 的图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变可得，D错误． 故选：． 由最值求解，由周期求，结合特殊点的函数值求，进而可求函数解析式，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可求解． 本题主要考查了由部分函数性质求解的解析式，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知，则        ． 【答案】  【解析】解：由于， 则． 故答案为：． 利用两角和的正切公式以及特殊角的三角函数值即可求解． 本题考查了两角和的正切公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题． 8.已知，则        ． 【答案】  【解析】解：由． 由，则，故， 所以． 故答案为：． 利用诱导公式、二倍角正弦公式找到目标式与已知函数的关系，应用同角三角函数关系求得，即可求值． 本题主要考查了诱导公式，二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题． 四、解答题：本题共2小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数的最小正周期为． 求及； 若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】，；     【解析】由题意得， 根据的最小正周期，解得， 所以，可得； 的图象向右平移个单位长度， 可得的图象， 当时，， 根据正弦函数的性质， 可知，， 所以在区间上的值域为． 根据辅助角公式化简，结合三角函数的周期公式求出，可得的解析式，进而求出的值； 根据三角函数图象的平移变换求得解析式，然后利用正弦函数的性质求出在区间上的值域． 本题主要考查两角和与差的三角函数公式、函数图象的平移变换、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题． 10.本小题分 已知函数． 求的最大值以及取得最大值时的集合； 求的对称中心； 若，求的值． 【答案】  ，   【解析】解：由题意得 ， 所以，时，即，时，取得最大值， 即的最大值为，取得最大值时的集合为； 令，即， 可得，，即，， 所以图象的对称中心为，； 若，则， 化简得， 所以． 根据二倍角公式与辅助角公式，化简得，然后根据正弦函数的性质求得本题答案； 由正弦曲线的对称性求解，可得图象的对称中心； 根据，求得，进而运用二倍角的余弦公式求得的值． 本题主要考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $