第六章　第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“由数列递推关系求通项公式”专题，依据高考评价体系梳理了待定系数法、取倒数法、相邻项差构造等核心方法，通过近五年考情分析明确“一阶线性递推”“分式递推”等高频考点，归纳三类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+方法建模+素养提升”，如以2025年广东大联考真题为例，示范待定系数法构造等比数列的三步解题流程，培养学生数学思维与模型意识。配套“易错点警示”和“答题模板”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准开展专题突破，提升复习效率。

第六章　数列 *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) [总体概览]　求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解． *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 类型一　待定系数法 思维建模：待定系数法求通项模型 适用于一阶线性递推式求通项 类型一：形如an+1＝pan＋q(p≠1，pq≠0)； 类型二：形如an+1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)； 类型三：形如an+1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)． 第1步　看余项，构等比：判断余项类型， 若余项是常数，则{an＋x}为等比数列； 若余项是一次式，则{an＋xn＋y}为等比数列； 若余项是指数式，则{an＋xqn}为等比数列． 第2步　等比拆分对系数：对应项系数相等，解出所设参数． 第3步　等比数列求通项：先求等比数列的通项公式，再得到an． *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 考向1　形如an+1＝pan＋q的构造 [典例1]　数列{an}满足an＝4an-1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2 026＝(　　) A．22 025－1 B．42 025－1 C．22 025＋1 D．42 025＋1 √ *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) B　[因为an＝4an-1＋3(n≥2)， 所以an＋1＝4(an-1＋1)(n≥2)， 所以{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列， 则an＋1＝4n-1， 所以an＝4n-1－1，所以a2 026＝42 025－1． 故选B．] *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 【教用·备选题】 (2025·武汉期末)已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an－1，则a100的值为(　　) A．299－1 B．2100－1 C．299＋1 D．2100＋1 √ C　[数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an－1， 两边同时减去1可得an+1－1＝2(an－1)，又a1－1＝1，故数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列，故an－1＝2n-1，得an＝2n-1＋1，故a100＝299＋1，故选C．] *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 考向2　形如an+1＝pan＋qn＋c的构造 [典例2]　(2025·广东大联考)在数列{an}中，a1＝3，且an+1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为_____________________．   an＝3n－2(n－1)　[法一：设an+1＋p(n＋1)＋q＝3(an＋pn＋q)，即an+1＝3an＋2pn＋2q－p， 与原式相比较，由对应项系数相等得 an＝3n－2(n－1) *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 解得 首项a1＋2－2＝3， 所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列，故an＋2n－2＝3×3n-1＝3n， 故an＝3n－2(n－1)． *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 法二：因为an+1＝3an＋4n－6(n∈N*)， 所以an+1＋2n＝3an＋4n－6＋2n＝3[an＋2(n－1)]， 因为a1＝3，所以a1＋2×(1－1)＝3， 所以{an＋2(n－1)}是首项为3，公比为3的等比数列，则an＋2(n－1)＝3·3n-1＝3n， 所以an＝3n－2(n－1)．] *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 通性通法：形如an+1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)将递推公式改写为an+1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)的形式，写出数列{an＋xn＋y}的通项公式． *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 考向3　形如an+1＝pan＋qn的构造 [典例3]　(2025·宜春调研)已知正项数列{an}中，a1＝2，an+1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式an＝(　　) A．－3×2n-1 B．3×2n-1 C．5n＋3×2n-1 D．5n－3×2n-1 √ *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) D　[法一：在递推公式an+1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n+1， 得，① 令bn＝，则①式变为bn+1＝bn＋， 即bn+1－1＝(bn－1)， 所以数列{bn－1}是等比数列， 其首项为b1－1＝－1＝－， 所以bn－1＝－， 即bn＝1－， 所以＝1－＝1－， 所以an＝5n－3×2n-1． *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 法二：设an+1＋k×5n+1＝2(an＋k×5n)， 则an+1＝2an－3k×5n， 与an+1＝2an＋3×5n比较可得k＝－1， 所以an+1－5n+1＝2(an－5n)， 所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3， 公比为2的等比数列，所以an－5n＝－3×2n-1， 所以an＝5n－3×2n-1．] *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 通性通法：形如an+1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)， 在递推公式两边同除以qn+1，得的通项公式． *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 类型二　取倒数法 [典例4]　(多选)(2025·宜昌期中)已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A．为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ C．{an}为递增数列 D．的前n项和Sn＝4n+2－5n－2 √ √ *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) AB　[因为数列{an}满足a1＝1，an+1＝(n∈N*)， 所以＝15＋4×， 故＋5＝4， 又＋5＝6， 所以数列是首项为6，公比为4的等比数列， 故＋5＝6×4n-1，可得＝6×4n-1－5，可得an＝， 故{an}为递减数列， 故的前n项和Sn＝－5n＝2(4n－1)－5n． 故正确的只有AB． 故选AB．] *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 通性通法：形如an+1＝的形式，令bn＝，化归为bn+1＝pbn＋q型，求出的通项公式，再求an． *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 【教用·备选题】 (2025·广州月考)已知数列{an}满足an+1＝，且a1＝2，则a9＝ (　　) A． B． C． D． √ *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) A　[易知an≠0，an+1＝， 即－1＝－，又a1＝2，所以－1＝－， 所以数列是以－为首项，－为公比的等比数列， 从而－1＝－， 所以－1＝， 解得a9＝． 故选A．] *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 类型三　相邻项的差为特殊数列型 [典例5]　(2025·永州期末)已知数列{an}，a1＝a2＝1，an+2－5an+1＋6an＝0． (1)证明：数列{an+1－2an}，{an+1－3an}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)求数列{an}的前n项和Sn． *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) [解]　(1)证明：因为a1＝a2＝1，an+2－5an+1＋6an＝0， 所以an+2－2an+1＝3an+1－6an＝3(an+1－2an)， 所以a2－2a1＝－1， 故数列{an+1－2an}是以－1为首项，3为公比的等比数列． 由题意an+2－3an+1＝2an+1－6an＝2(an+1－3an)， 所以a2－3a1＝－2， 故数列{an+1－3an}是以－2为首项，2为公比的等比数列． *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) (2)由(1)得，an+1－2an＝－3n-1，an+1－3an＝－2n， 联立两式可得，an＝2n－3n-1． (3)因为an＝2n－3n-1，所以Sn＝2＋22＋…＋2n－(1＋3＋…＋3n-1) ＝ ＝2n+1－2－＝2n+1－． *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 【教用·备选题】 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an+1＝2an＋3an-1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝______________．   　[因为an+1＝2an＋3an-1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an+1＋an， 所以＝3， 又因为b1＝a2＋a1＝3， 所以{bn}是首项为3，公比为3的等比数列． 　 *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 所以bn＝an+1＋an＝3×3n-1＝3n， 从而， 不妨令cn＝，即cn+1＋cn＝， 故cn+1－＝－＝－，又因为c1－， 所以数列，公比为－的等比数列， 故cn－， 从而an＝．] *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 7 一、单项选择题 1．(2026·南昌模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an+1＝，则下列说法正确的是(　　) A．a10＝ B．an＝2－n C．{an}有最大值 D．{an}不是单调数列 √ 课时作业(四十七)　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 7 C　[由a1＝1，an+1＝，可得an+1＋1＝， 即， 又， 所以数列的等差数列， 即n，即an＝－1，可得a10＝－，故AB错误； 由{an}是递减数列，可得数列{an}有最大值，且为a1＝1，故C正确，D错误． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 7 2．已知数列{an}满足an+1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，则an＝(　　) A．2n－n B．2n＋n C．2n－1 D．2n＋1 √ *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 7 B　[因为an+1＝2an－n＋1， 设an+1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，化简得an+1＝2an＋xn＋y－x，对比原式解方程组得x＝－1，y＝0， 即an+1－(n＋1)＝2(an－n)， 所以＝2， 即数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，则an－n＝2·2n-1＝2n，所以an＝2n＋n．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 7 二、多项选择题 3．(2025·平顶山期末)已知数列{an}的首项a1＝，且满足an+1＝，则(　　) A．a3＝ B．数列为等比数列 C．数列的前n项和为Sn＝n＋2 D．数列{an}的通项公式为an＝ √ √ *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 7 AB　[由an+1＝－1＝， 又a1＝－1＝， ∴数列为公比的等比数列，选项B正确； ∴－1＝＋1＝， ∴an＝，则a3＝，选项A正确，选项D错误； ∵＋1， ∴Sn＝＋n＝＋n＝n＋1－，选项C错误．故选AB．] 题号 1 3 5 2 4 6 7 4．(2025·运城月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝3，an+1＝3an－2an-1(n≥2)，则下列说法正确的有(　　) A．数列{an+1－an}为等差数列 B．数列{an+1－2an}为等比数列 C．an＝2n－1 D．Sn＝2n+1－n－2 √ √ √ *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 7 BCD　[已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝3，an+1＝3an－2an-1 (n≥2)， 所以an+1－an＝2(an－an-1)， 则{an+1－an}是首项为a2－a1＝2，公比为2的等比数列，故A错误； 由an+1＝3an－2an-1得an+1－2an＝an－2an-1，a2－2a1＝1， 所以数列{an+1－2an}是首项为1，公比为1的等比数列，故B正确； 因为an+1－an＝2n， 所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1) ＝1＋2＋4＋…＋2n-1＝＝2n－1，故C正确； Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n+1－n－2，故D正确． 故选BCD．] 题号 1 3 5 2 4 6 7 三、填空题 5．(人教A版选择性必修第二册P41习题4.3T8)若数列{an}的首项a1＝1，且满足an+1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为______________，前10项和为______________．  an＝2n－1　2 036　[因为an+1＝2an＋1，所以an+1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2×2n-1＝2n，即an＝2n－1，所以S10＝a1＋a2＋…＋a10＝2＋22＋…＋210－10＝－10＝2 036．] an＝2n－1 2 036 *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 7 6．(2026·长沙开福区模拟)在数列{an}中，a1＝4，an+1＝5an＋2×5n，n∈N*，则数列{an}的通项公式为___________________．  an＝2(n＋1)·5n-1　[在数列{an}中，a1＝4，an+1＝5an＋2×5n，n∈N*， 等式两边同时除以5n+1， 可得， 设bn＝，则bn+1＝bn＋， 所以数列{bn}是首项为的等差数列． 由等差数列的通项公式可得bn＝(n－1)＝，an＝5nbn＝2(n＋1)·5n-1．] an＝2(n＋1)·5n-1 *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 7 四、解答题 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，Sn＝2＋an+1． (1)证明：数列{Sn－2}为等比数列； (2)记数列的前n项和为Tn，证明：Tn<2． *第47课时　由数列的递推关系求通项公式(进阶课) 题号 1 3 5 2 4 6 7 [证明]　(1)因为Sn＝2＋an+1＝2＋(Sn+1－Sn)， 所以2Sn＝Sn+1＋2，所以Sn+1－2＝2(Sn－2)， 因为S1－2≠0，所以Sn－2≠0，＝2， 故数列{Sn－2}为等比数列，首项为S1－2＝1，公比为2． (2)由(1)可知Sn－2＝2n-1， 所以， 所以Tn<1＋＋…＋＝2<2． 谢谢！ $