第六章　第49课时　数列的综合应用(进阶课) 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“数列的综合应用”专题，依据高考评价体系梳理了等差数列与等比数列综合、传统文化中的数列建模、数列与函数交汇三大核心考点，通过典例分析明确综合计算、实际建模、跨知识融合的高频考查方向，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现高考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“真题引领+通性通法+素养提升”的复习策略，如以《张丘建算经》织布问题培养数学眼光，通过2022新高考Ⅱ卷举架结构题训练数学思维，总结“定义法求通项”“错位相减法求和”等解题模板，附易错提醒和模拟训练，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效组织复习教学。

第六章　数列 *第49课时　数列的综合应用(进阶课) [总体概览]　数列的综合问题、传统文化中的数列建模以及数列与其他知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等． *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 类型一　等差数列、等比数列的综合问题 [典例1]　(2025·大庆期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2． (1)若a3＋b3＝5，求T5； (2)若T3＝21，且数列{an}为递增数列，求数列{an}的前n项和Sn． *第49课时　数列的综合应用(进阶课) [解]　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，设公差为d，等比数列{bn}的前n项和为Tn，设公比为q， a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2， 得d＋q＝3．① 由a3＋b3＝5，得2d＋q2＝6，② 联立①②，解得 因此T5＝＝31． *第49课时　数列的综合应用(进阶课) (2)由b1＝1，T3＝21，得q2＋q－20＝0， 解得q＝－5或q＝4， 由于数列{an}为递增数列，所以d>0， 当q＝4时，由①得d＝－1(舍去)； 当q＝－5时，由①得d＝8， 则Sn＝n×(－1)＋×8＝4n2－5n． *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 通性通法：数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化． *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 【教用·备选题】 (人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4T13)类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对偶关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立． (1)根据上述说法，请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式； *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 名称 等差数列 等比数列 定义 an+1－an＝d   通项公式   bn＝b1qn-1＝bmqn-m 常用性质 ①a1＋an＝a2＋an-1＝a3＋an-2＝… ②an-k＋an+k＝2an(n>k) ③ ④ ① ② ③若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)， 则bnbm＝bkbl ④b1b2…bn＝ *第49课时　数列的综合应用(进阶课) (2)在等差数列中，若a2 018＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a4 035-n(n∈N*，n<4 035)．相应地，在等比数列中，若 b2 019＝1，请你类比推测出对偶的等式，并加以证明． *第49课时　数列的综合应用(进阶课) [解]　(1)根据上述说法，参照给出的信息推断出相关的对偶关系式如表： 名称 等差数列 等比数列 定义 an+1－an＝d ＝q 通项 公式 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d bn＝b1qn-1＝bmqn-m *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 常用 性质 ①a1＋an＝a2＋an-1 ＝a3＋an-2＝… ②an-k＋an+k＝2an(n>k) ③若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)， 则an＋am＝ak＋al ④a1＋a2＋…＋an＝ ①b1·bn＝b2·bn-1＝b3·bn-2＝… ②bn-k·bn+k＝(n>k) ③若m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)， 则bnbm＝bkbl ④b1b2…bn＝ *第49课时　数列的综合应用(进阶课) (2)类比推测出对偶的等式知，在等比数列中，若b2 019＝1， b1·b2…bn＝b1·b2…b4 037-n(n∈N*，n<4 037)； 证明如下： 由等比数列性质知bn+1b4 037-n＝bn+2b4 036-n＝…＝＝1； bnb4 038-n＝bn-1b4 039-n＝…＝＝1； 故当4 037－n>n，即n<时， bn+1·bn+2…b4 037-n＝＝1； *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 则b1·b2…bn＝b1·b2…b4 037-n． 同理当4 037－n<n，即4 037>n>时， b4 038-n·b4 039-n…bn＝＝1， b1·b2…bn＝b1·b2…b4 037-n． 综上所述，b1·b2…bn＝b1·b2…b4 037-n(n∈N*，n<4 037)． *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 类型二　传统文化中的数列建模 [典例2]　(多选)《张丘建算经》是我国古代有标志性的、内容丰富的数学名著之一，大约创作于公元5世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子在这一个月中第n天所织布的尺数为an，bn＝，对于数列{an}，{bn}，下列选项中正确的为(　　) A．b10＝8b5 B．{bn}是等比数列 C．a1b30＝105 D． √ √ *第49课时　数列的综合应用(进阶课) BD　[由题意可知，数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，由题意可得a1＝5，30a1＋＝390，解得d＝，所以an＝5＋(n－1)×． 因为bn＝＝2d(非零常数)，则数列{bn}是等比数列，B正确； 因为5d＝5×≠3，＝(2d)5＝25d≠23，所以b10≠8b5，A错误； a30＝a1＋29d＝5＋16＝21，所以a1b30＝5×221>105，C错误； a4＝a1＋3d＝5＋3×，a5＝a1＋4d＝5＋4×，D正确．故选BD．] *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 易错提醒：解题关键，抓住其中特征灵活运用数列知识分析、解决问题． *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 【教用·备选题】 (2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　) *第49课时　数列的综合应用(进阶课) A．0.75　　　　 B．0.8 C．0.85 D．0.9 √ *第49课时　数列的综合应用(进阶课) D　[如图，连接OA，延长AA1与x轴 交于点A2，则OA2＝4OD1． 因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差 数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以CC1＝DC1(k3－0.2)，BB1＝CB1(k3－0.1)，AA1＝k3BA1，即CC1＝OD1(k3－0.2)，BB1＝OD1(k3－0.1)，AA1＝k3OD1．又＝0.5，所以DD1＝0.5OD1，所以AA2＝0.5OD1＋OD1(k3－0.2)＋OD1(k3－0.1)＋k3OD1＝OD1(3k3＋0.2)，所以tan∠AOA2＝＝0.725，解得k3＝0.9．故选D．] *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 类型三　数列与其他知识的交汇问题 [典例3]　(2025·海口期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，若点(n，an)(n∈N*)都在函数f (x)＝2x的图象上，且Sn＝(n＋1)lobn． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝，记数列{cn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<． *第49课时　数列的综合应用(进阶课) [解]　(1)根据题意，点(n，an)(n∈N*)都在函数f (x)＝2x的图象上， 则an＝2n，易得数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列， 则Sn＝＝n(n＋1)， 又Sn＝(n＋1)lobn，所以bn＝， 故an＝2n，bn＝． *第49课时　数列的综合应用(进阶课) (2)证明：根据题意，由(1)的结论，得cn＝，c1＝，所以{cn}是以为公比的等比数列， 所以Tn＝． 因为n∈N*，函数Tn＝是增函数， 所以当n＝1时，Tn最小为，Tn≥， 又1－<1，所以Tn<≤Tn<． *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 通性通法：数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项公式或前n项和公式，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明． *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 【教用·备选题】 (2025·上海杨浦区月考节选)已知函数f (x)＝4sin xcos x－4cos2x．如果函数f (x)在(0，＋∞)上的零点从小到大排列后构成数列{an}，求{an}的前12项和． *第49课时　数列的综合应用(进阶课) [解]　函数f (x)＝4sin xcos x－4cos2x＝2sin 2x－2(cos 2x＋1)＝4sin－2的最小正周期为π， 当x∈(0，π)时，2x－， 令4sin－2＝0，即sin， 故2x－或2x－，解得x＝或x＝，所以函数f (x)在(0，π)上的零点分别为． 所以数列{a2n-1}是以为首项，π为公差的等差数列； 数列{a2n}是以为首项，π为公差的等差数列，则S12＝(a1＋a3＋…＋a11)＋(a2＋a4＋…＋a12)＝＝34π， 所以{an}的前12项和为34π． *第49课时　数列的综合应用(进阶课) 谢谢！ *第49课时　数列的综合应用(进阶课) $