5.3二次函数的应用 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数的应用，核心涵盖用待定系数法求表达式及解决实际问题，通过梳理三种表达式的适用条件、步骤及特殊技巧，搭建学习支架，衔接已学二次函数基础与实际应用。 其亮点是以“母题+变式”例题为载体，结合梯形面积、利润计算、拱桥隧道等实际问题，培养学生用数学眼光抽象模型、用数学思维推理运算、用数学语言表达结论的能力，课堂小结分类清晰，助力学生构建知识体系，提升应用能力，也为教师提供系统教学资源。

3 二次函数的应用 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 用待定系数法求二次函数的表达式 利用二次函数解决实际问题 知1－讲 感悟新知 知识点 用待定系数法求二次函数的表达式 1 1. 常见的二次函数表达式的适用条件 (1)一般式y=ax2+bx+c(a，b，c 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线上三点的 坐标； (2)顶点式y=a(x-h)2+k(a，h，k 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值； (3)交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a，x1，x2 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线与x 轴的两个交点(x1，0 )，(x2，0)。 感悟新知 2. 用待定系数法求二次函数表达式的步骤 (1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式。 (2)代：把已知点的坐标代入所设的二次函数表达式中，得到关于表达式中待定系数的方程或方程组。 (3)解：解此方程或方程组，求出待定系数的值。 (4)还原：将求出的待定系数还原到表达式中，求得表达式。 知1－讲 感悟新知 技巧提醒 特殊位置抛物线的表达式的求解技巧： 1. 顶点在原点，可设为y=ax2； 2.对称轴是y轴(或顶点在y 轴上)，可设为y=ax2+k； 3. 顶点在x 轴上，可设为y=a(x－h)2； 4. 抛物线过原点，可设为y=ax2+bx。 知1－讲 知1－练 感悟新知 【母题 教材P142随堂练习T2(1)】 如图5-3-1，抛物线y=x2+bx+c与x轴的一个交点为A，与y轴的交点为B，OA=OB=3。求此抛物线的表达式。 例1 解题秘方：紧扣利用待定系数法求二次函数表达式的步骤解决问题。 知1－练 感悟新知 解：∵OA=OB=3， ∴A(-3，0)，B(0，-3)。 将点A(-3，0)，B(0，-3)的坐标分别代入y=x2+bx+c， 得解得 ∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3。 知1－练 感悟新知 1-1. 将抛物线y=-x2 平移后经过A(1，-2)，B(3，-1)两点，求平移后的抛物线的表达式。 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 【母题 教材P142随堂练习T1】已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(-2，3)，且图象与y轴的交点在 y 轴正半轴上距原点4 个单位长度处，求这个二次函数的表达式。 例2 解题秘方：紧扣已知的顶点坐标，用待定系数法设出顶点式，求出函数的表达式。 知1－练 感悟新知 解：因为二次函数图象的顶点坐标为(-2，3)， 所以设函数表达式为 y=a[x-(-2)]2+3，即 y=a(x+2)2+3。 由题意可知函数图象经过点(0，4)， 将(0，4)代入 y=a(x+2)2+3，得4=a(0+2)2+3，解得a= ， 故这个二次函数的表达式为 y= (x+2)2+3= x2+x+4。 知1－练 感悟新知 2-1. 在二次函数y=ax2+bx+c 中，x 与y 的几组对应值如下表所示，求二次函数的表达式。 x … 0 1 2 … y … －2 1 －2 … 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 已知抛物线与x轴的交点是A(-2，0)，B(1，0)，且抛物线经过点C(2，8)，求该抛物线对应的函数表达式。 例3 解题秘方：紧扣交点式的函数表达式以及需要的条件，利用待定系数法求函数表达式。 知1－练 感悟新知 解：∵抛物线与 x 轴的交点是 A(-2，0)，B(1，0)， ∴可设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x+2)(x-1)。 ∵ 抛物线经过点C(2，8)，∴ 把点 C(2，8)的坐标代入 y= a(x+2)(x-1)，得8=a(2+2)×(2-1)，解得a=2。 ∴该抛物线对应的函数表达式为 y=2(x+2)(x-1)，即y=2x2+2x-4。 知1－练 感悟新知 3-1. 如图， 已知抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为直线x=2。求此抛物线的表达式。 知1－练 感悟新知 解：∵抛物线过点O(0，0)，且它的对称轴为直线x＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4，0)。 设抛物线的表达式为y＝ax(x－4)，把点A(5，5)的坐标代 入，得5a＝5，解得a＝1。 ∴此抛物线的表达式为y＝x2－4x。 感悟新知 知2－讲 知识点 利用二次函数解决实际问题 2 1. 常用方法：利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图象与性质去解决问题。 知2－讲 感悟新知 2. 一般步骤 (1)审：仔细审题，理清题意。 (2)找：找出问题中的变量和常量。 (3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题。 (4)解：根据已知条件，借助二次函数的表达式、图象与性质等求解实际问题。 (5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论。 知2－讲 感悟新知 要点解读 用二次函数解决实际问题时，审题是关键，检验容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系外，还要符合实际意义。 知2－练 感悟新知 如图 5-3-2，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C=120°。若新建墙BC与CD总长为12 m，求该梯形储料场ABCD的最大面积。 例4 解题秘方：紧扣求图形面积的方法建立二次函数关系，利用二次函数的性质解决面积最值问题。 知2－练 感悟新知 解：如图5-3-2，过点C作CE⊥AB于点E，设CD=x m，梯形储料场ABCD的面积为S m2，则BC=(12-x) m。 易知四边形ADCE为矩形， ∴AD=CE，CD=AE=x m，∠DCE=90°， ∴∠BCE= ∠BCD- ∠DCE=30°。 知2－练 感悟新知 在Rt △CBE中，∵∠CEB=90°，∠BCE=30°， ∴ BE=BC=(6-x) m。∴AD=CE=(6 -x) m，AB=AE+BE=x+6- x=(x+6) m。∴ S= (CD+AB)·AD= (x+ x+6)(6 -x) =-(x-4)2+24 。 ∴当x=4 时，S 取得最大值，S最大=24 。 ∴该梯形储料场ABCD的最大面积为24 m2。 知2－练 感悟新知 4-1. 如图， 为美化环境，某小区计划在一块长为 80 m、宽为50 m的矩形空地上修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，设通道的宽为a m。已知某园林公司修建通道的造价为80 元/m2，花圃的造价为100 元/m2，如果小区物业决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2 m且不超过6 m，则通道宽为多少米时，修建通 道和花圃的总造价最低，最低总造价为 多少元？ 知2－练 感悟新知 解：设修建通道和花圃的总造价为w元。 由题意得花圃的面积为(80－2a)(50－2a)＝ 4a2－260a＋4 000， ∴w＝80[50×80－(4a2－260a＋4 000)]＋100(4a2－260a＋4 000)＝80a2－5 200a＋400 000＝80(a－32.5)2＋315 500。 知2－练 感悟新知 ∵80>0，∴当a<32.5时，w随a的增大而减小。∵2≤a≤6， ∴当a＝6时，w取得最小值，最小值为80×(6－32.5)2＋315 500＝371 680。 即通道宽为6 m时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为371 680元。 知2－练 感悟新知 【母题中考·宿迁教材P144 例3】超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元(市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元)，每天可售出50件。根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件。 例5 解题秘方：紧扣利润问题中单件利润、销售量和总利润之间的关系建立函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题。 知2－练 感悟新知 (1)请写出y与x之间的函数表达式。 解：y=50-。 知2－练 感悟新知 (2)当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250 元？ 解：由题意得(50-)(40+x)=2250，解得x1=10，x2=50。 因为x+40 ≤ 60，所以 x ≤ 20。所以x=10。 故当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元。 销售量× 单件利润= 总利润 知2－练 感悟新知 (3)设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时，w最大？最大值是多少？ 解：由题意得 w=(50-)(40+x)=-(x-30)2+2 450。 因为-<0，所以当x<30 时，w随x 的增大而增大。 因为0≤x≤20，所以当x=20时，w最大，最大值是-×(20-30)2+2 450=2 400。 当顶点的横坐标不在自 变量的取值范围之内时， 最值不能在顶点处取 知2－练 感悟新知 5-1.[中考·内江] 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗。市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20 元，某商家用5 000 元购进的猪肉粽盒数与3 000 元购进的豆沙粽盒数相同。在销售中，该商家发现猪肉粽每盒的售价为52 元时，可售出180 盒；每盒售价提高1 元时，少售出10 盒。 知2－练 感悟新知 (1)求这两种粽子每盒的进价； 知2－练 感悟新知 (2)设猪肉粽每盒的售价为x 元(52≤x≤70)，y 表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y 关于x 的函数表达式并求出y 的最大值。 解：由题意得y＝(x－50)[180－10(x－52)]＝ －10x2＋1 200x－35 000＝－10(x－60)2＋1 000。 ∵52≤x≤70，－10<0， ∴当x＝60时，y取得最大值，为1 000。 知2－练 感悟新知 【母题 教材P146习题T5】如图5-3-3，一拱形隧道的轮廓是抛物线形，拱高6 m，跨度为20 m。 例6 思路导引： 知2－练 感悟新知 (1)建立适当的平面直角坐标系，求拱形隧道轮廓所在抛物线的表达式。 (2)拱形隧道下地平面是双向行车道(正中间是一条宽为2 m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽2 m、高3 m的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由。 知2－练 感悟新知 解：(方法一)(1)如图5-3-4，建立平面直角坐标系。 根据题意知点B，C的坐标分别是(10，0)，(0，6)。 设抛物线的表达式为y=ax2+6。 将点 B 的坐标代入y=ax2+6， 得 100a+6=0，解得 a=- 。 ∴抛物线的表达式为 y=- x2+6。 知2－练 感悟新知 (2)能。理由如下： 根据题意，得三辆汽车并排时最外侧到y 轴的距离为 + 3×2=7(m)。 当x=7 时，y=- ×72+6=3.06>3。 ∴能并排行驶三辆宽2 m、高3 m 的汽车。 知2－练 感悟新知 (方法二)(1)如图5-3-5，建立平面直角坐标系。 根据题意知点A，B，C的坐标分别是 (0，0)，(20，0)，(10，6)。 设抛物线的表达式为y=ax(x-20)。 将点C的坐标代入y=ax(x-20)， 得6=10a·(10-20)，解得a=- 。 ∴抛物线的表达式为y=- x(x-20)=- x2+ x。 已知抛物线与x 轴的两 个交点，可设交点式。 知2－练 感悟新知 (2)能。理由如下： 令y=3，则- x2+ x=3，即x2-20x+50=0。 解得x1=10+5 ，x2=10-5 。∴ =5 。 ∵ +3×2=7<5 ， ∴能并排行驶三辆宽2 m、高3 m 的汽车。 建立的平面直角坐标系不同，表达式也不同，但实际问题的结果不变。 知2－练 感悟新知 6-1. 某公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示。 知2－练 感悟新知 现对此展开研究：跨度 AB 为4 m，桥墩露出水面的高度AE，BF均为0.88 m，在距点A 水平距离为2 m 的地点，拱桥距离水面的高度为2.88 m，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+ k， 其中x(m)是拱桥上点与AE的水平距离，y(m)是拱桥距水面的高度。 知2－练 感悟新知 (1)求抛物线的表达式； 知2－练 感悟新知 (2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置航行警戒线，并且CE=DF， 要求满员后游船能从C，D 两点之间安全通过， 则C 处距桥墩AE 的距离CE 至少为多少米？( 游船参数： 长5.7m，宽 2.2 m，满员后游船露出水面高度为2.16 m) 知2－练 感悟新知 二次函数的应用 分类 数学 模型 图形面积 利润问题 抛物线形问题 转化 二次函数 增减性 最值 实际问题 求二次函数的表达式 课堂小结 解：设将抛物线y＝－x2平移后的抛物线的表达式为 y＝－x2＋bx＋c。把点A(1，－2)，B(3，－1)的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴平移后的抛物线的表达式为y＝－x2＋x－。 解：根据表格数据可得，二次函数图象的对称轴是直线x＝＝1，∴顶点坐标为(1，1)。 ∴可设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋1。 ∵图象过点(0，－2)，∴－2＝a(0－1)2＋1，解得a＝－3。 ∴二次函数的表达式为y＝－3(x－1)2＋1。 解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为(n＋20)元。由题意得＝。解得n＝30。 经检验：n＝30是原方程的解且符合题意， ∴n＋20＝50。答：猪肉粽每盒的进价为50元，豆沙粽每盒的进价为30元。 解：由题意可知，抛物线顶点坐标为(2，2.88)，点A的坐标为(0，0.88)， 故抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋2.88，将点A(0，0.88)的坐标代入，得0.88＝4a＋2.88，解得a＝－。 ∴抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋2.88。 解：在y＝－(x－2)2＋2.88中，令y＝2.16， 则2.16＝－(x－2)2＋2.88，解得x＝3.2或x＝0.8。 3．2－0.8＝2.4(m)>2.2 m， ∴满员后游船能从C，D两点之间安全通过，C处距桥墩AE的距离CE至少为0.8 m。 $