2026年甘肃高中招生学业水平考试评估试卷数学（六）

**基本信息** 聚焦三轮冲刺，通过圆与等边三角形综合、自动扶梯改造应用、篮球联赛统计分析等题，考查数学抽象、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、运算、几何初步|结合原点对称求函数表达式，考查空间观念| |填空题|6/24|因式分解、分式意义、文化题|以元朝《算术启蒙》追及问题为素材，渗透文化传承| |解答题|11/96|函数综合、圆的切线证明、动态几何|自动扶梯改造问题体现模型意识，菱形动点函数图象考查几何直观与创新意识|

甘肃省高中招生学业水平考试评估试卷(六) 数 学 注意事项： 1. 全卷共计分，考试用时分钟。考生在答题前务必将学校、班级、姓名、学号、座号填写在试卷的相应位置上。 2. 要求用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔将答案直接写在考试卷上，字迹工整，卷面整洁。 3. 不得另加附页，附页上答题不得分。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；每小题给出的四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列实数是无理数的是 (　　) A. B. C. D. 2. 某地区年元旦的最高气温为，最低气温为，那么该地区这天的最低气温比最高气温低 (　　) A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是 (　　) A. B. C. D. 4. 如图，，若，，则的度数为 (　　) A. B. C. D. 5. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 (　　) A. B. C. D. 6. 如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是 (　　) A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，于点，是边的中点，则的长为 (　　) A. B. C. D. 8. 某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得分，负一场得分．八年级一班在场比赛中得分．设该班胜场，负场，则根据题意，下列方程组中正确的是 (　　) A. B. C. D. 9. 如图，是边长为的等边的外接圆，点是的中点，连接，以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为 (　　) A. B. C. D. 10. 如图，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图所示，当点运动到中点时，的长为 (　　) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式： . 12. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ． 13. 在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，则快马追上慢马需要的天数是 . 14. 某厂加工了个工件，质检员从中随机抽取个工件检测了它们的质量(单位：，得到的数据如下： 当一个工件的质量单位：满足时，评定该工件为一等品. 根据以上数据，估计这个工件中一等品的个数是 . 15. 如图，在菱形中，点，分别是边，的中点，连接，若，，则的长为 . 16. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到连接，当时， . 三、解答题（本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分)计算： 18. 分)解不等式组： 19. 分)化简：． 20. 分)如图，已知直线，直线分别与交于点， 请用尺规作图法，在线段上求作一点，使点到的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法) 21. 分)甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，，，除正面的代数式不同外，其余均相同． 第一次和 a+b 2a+b a-b a+b 2a+2b 2a 2a+b a-b 2a 将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当，时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； 将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简)，并求出和为单项式的概率． 22. 分)某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为 m，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度的长．(结果精确到 m，参考数据：，， 四、解答题（本大题共5个小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 分)为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 根据以上信息，回答下列问题． 这六场比赛中，得分更稳定的队员是 (填“甲”或“乙”)；甲队员得分的中位数为分，乙队员得分的中位数为 分. 请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好. 规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好. 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 24. 分)如图、中，，，、，反比例函数的图象与交于点，与交于点 求、的值； 点为反比例函数图象上一动点(点在，之间运动，不与，重合过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标. 25. 分)如图，是的直径，点是上异于，的点，连接，，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且 求证：是的切线； 若，，求的长. 26. 分)有公共顶点的正方形与正方形按如图所示放置，点，分别在边和上，连接，，点是的中点，连接交于点 【观察猜想】线段与之间的数量关系是 ，位置关系是 ； 【探究证明】将图中的正方形绕点顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？并说明理由. 【】若正方形的边长为，将其沿翻折，点的对应点恰好落在边上，有最小值吗？如果有，请求出最小值，如果没有，请说明理由. 27. 分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点为原抛物线上点的对应点，新抛物线顶点为，它与轴交于点，连接，， 求原抛物线对应的函数表达式； 在原抛物线或新抛物线上找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并求出点的坐标； 若点是轴上的一个动点，且在点的上方，过点作的平行线，分别交两条抛物线于点，，且点，分别在轴的两侧，当时，请直接写出点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省高中招生学业水平考试评估试卷 (六) 一、 选择题 1. D 2. C 3. A 4. B 5. C 6. B 7. A 8. D 9. B 10. C 二、填空题 11. 12. 13. 14. 15. 16. 或 三、解答题 17. 解：原式= ………………………………………………………分 18. 解： 解不等式，得，解不等式，得， 不等式组的解集为 19. 解：原式 20. 解：如图，点即为所作． …………………………………………………………………分 21. 解： （1）当，时，，，， . 取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：； ……分 （2）补全表格如下： 第一次和第二次 a+b 2a+b a-b a+b 2a+2b 3a+2b 2a 2a+b 3a+2b 4a+2b 3a a-b 2a 3a 2a-2b ……分 所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种， 和为单项式的概率为． ……分 22. 解：在中，，， ，， 在中，，， ， 、 答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为、 ……分 四、解答题 23. 解： （1）甲，； （2）因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好；（答案不唯一、合理即可） ………………………………………………………分 （3）甲的综合得分为：=36.5、 乙的综合得分为：=38． 、 乙队员表现更好 24. 解：（1）∵A（-2、0），C（6，0）、 ∴AC=8． 又∵ AC=BC、 ∴BC=8． ∵∠ACB=90° ， ∴点B（6，8）、 设直线AB的函数表达式为y=ax+b． 将A （-2、0）、B （6、8）代入y=ax+b，得，解得， ∴直线AB的函数表达式为y=x+2． 将点D（m、4）代入y=x+2、得4=m+2，解得m=2，∴ D（2，4）． 将D（2，4）代入y=，得k=8． （2）延长NP交y轴于点Q，交AB于点L． ∵ AC=BC、∠BCA=90°、 ∴ ∠BAC=45° ∵ PN∥x轴， ∴∠BLN=∠BAC=45°，∠NQM=90°． ∵ PM∥AB、 ∴∠MPL=∠BLP=45°， ∴∠QMP=∠QPM=45°， ∴QM=QP． 设点P的坐标为，则， ， ∴ ． ∴． ∴ 当时，有最大值，此时． 25. 解：（1）证明：连接OC， ∵ OC=OB， ∴∠OCB=∠ABC， ∵∠ABC=∠DCA， ∴∠OCB=∠DCA， 又∵ AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90° ， ∴∠ACO+∠OCB=90° ， ∴∠DCA+∠ACO=90° ， 即∠DCO=90° ， ∴ DC⊥OC， ∵ OC是半径． ∴ DC是⊙O的切线． （2）解：∵ ，且OA=OB，设OA=OB=2x，OD=3x， ∴ DB=OD+OB=5x， ∴ ， 又∵ BE⊥DC，DC⊥OC， ∴ OC∥BE， ∴△DCO∽△DEB， ∴ ， ∵ BE=3， ∴ OC=， ∴ 2x=， ∴ x=， ∴ AD=OD-OA=x=，即AD的长为． 26. 解：（1）∵ 四边形ABCD和四边形AECF都是正方形， ∴ AD=AB，AE=AF，∠DAE=∠BAF=90° ， ∴△DAE≌△BAF， ∴DE=BF，∠ADE=∠ABF， ∵ M是BF的中点， ∴ AM＝， ∴ ，∴ ； ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ， 故答案为：，； 成立，理由如下： 如图，延长到点，使 ，连接 ，则 ， ，， ≌， ，，， ，，， ， 同理， ，， ，≌， ，， ， ，； 如图，延长到点，使 ，连接交于点，连接，， ，， 垂直平分，， 由翻折得 ，， ，≌， ，， ，， 当点 与点 重合时，，此时 的值最小， 的值也最小， ，，， ， 的最小值为 27. 解：由抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），B（0，3）， ∴原抛物线对应的函数表达式为：y=x2+4x+3； (2)由得：原抛物线为：y=x2+4x+3=-1，故顶点C的坐标为（-2，-1） ∵新抛物线上的点D（3，-1）为原抛物线上点A的对应点， ∴原抛物线向右平移4个单位，向下平移1个单位得到新抛物线， ∴新抛物线对应的函数表达式为：y=-1-1=-2、 即y=x2-4x+2， 故新抛物线顶E的坐标为（2，-2），与y轴交点G的坐标为（0，2）． 以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形、点F不可能在CE下方、故如图所示， 当平行四边形为▱CEGF时， 点F坐标为（0-4，2+1），即（-4，3）， 根据平移性质可知：，一定在原抛物线上； 当平行四边形为时， 点坐标为，，即，， 此时；故不在新抛物线上， 综上所述，以点，，，为顶点的四边形是时，点的坐标为，； ，， 点到点的平移方式和点到点的平移方式相同， 设在左侧，坐标为，，则点的坐标为 ，， 由图可知，点在新抛物线上，点在原抛物线上， 解得， 即点坐标为，， 点坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， 即直线的函数解析式为． 故直线与轴交点的坐标为．……………………………………分 学科网（北京）股份有限公司 $