2026年甘肃省高中招生学业水平考试评估试卷数学 （二）

甘肃省高中招生学业水平考试评估试卷（二） 一、选择题 1.D2.C3.A4.A5.B6.C7.B8.D9.C10.C 二、填空题 11.7x+3)x-3) 2.213.314.215.9169 三、解答题 17.解：原式=33×后×22-62=122-62=62. .6分 3x-2<0① 18.解：{<包 ①得，x<子由②得，Xx公3， 4分 原不等式组的解集为：-3<x<号…5分 ∴.整数解为：-3，-2，-1,0. 3a-6b+3b3(a-b)3 19.解：原式=a-bya-ba-b yab-1=0,a-b=1,4原式号=3 6分 20.解：(1)如图所示：AE是CD的垂线， 3分 (2)证明：AC=AD,AE是CD的垂线， AE垂直平分CD,CE=DE, ∴∠ACD=∠ADC,∠ECD=∠EDC, ∴∠EDA=∠CDA+∠EDC=∠ACD+∠ECD=90°， ∴.DE⊥AB. 第20题图 21.解：画树状图得： 开始 甲口袋 2 乙口袋 丙日袋676767676 7 6 (1)~共有12种等可能的结果，取出的3个小球上恰好有一个偶数数字的有5种情况， :取出的3个小球上恰好有一个偶数数字的概率是： (2)共有12种等可能的结果，取出的3个小球上全是奇数数字的有2种情况， “取出的3个小球上全是奇数数字的餐幸是品-君 22.解：(1)如图1，过点B作BE⊥AC于点E,由题意得 ∠CAB=90°-30°=60°，∠ABC=90°-15°=75°， ∴.∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=45°， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=2千米， ∴BE=AB·sinBAE=2·sin60°=V3千米， 在Rt△BCE中，BC=E=5≈6≈2.5千米， sintBCE sin45 BC的长度约为2.5千米； (2)如图2，过点C作CF⊥AD于点F, 在Rt△ABE中，AE=AB·cos∠BAE=2·cos60°=1千米， AC=AE+CE=(1+1W3)千米， 在Rt△AFC中，CF=AC·sin-CAF=(1+W3),sin30°=1+3 2 AF=AC·COs-CAF=(1+13)·cos30°=3+3， 2 在Rt△DCF中，∠DCF=30°，∠DFC=90°， DF=CF.tan∠DcF=1+3.tan30°=3+3 2 6 mr0p-1+3=3+s CD=-CF 2 3 …10吩 0 西 ◆东 60 南 30p B 第22题图1 .6h CD+BC=3+3+W6≈4.03千米)， AD+AB=DF+AF+AB=3+3+3+3+2≈5.15干米)， 6 2 4.03<5.15,·甲选择的路线较近. 10分 四、解答题 23.解：任务1：a=200-15-70-50-25=40; 任务2：15×4+50X5+70X6+50×7+15×8=6, 200 故乙园样本数据的平均数为6； 任务3：① 6分 任务4：甲园样本数据的一级率为：0°×100%=45%， 乙园样本数据的一级率为：0”×100%=60%， ·乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率， 乙园的柑橘品质更优.8分 24.解：(1)依题意把A(-6,1)代入y,得出1=。，解得m=6,反比例函数解析式为 v …4分 2 第24题图1 把8(1，代入y=中，得出n=6,8(1,6). 把A(-6,1)和B(1,-6)分别代入y=kx+b, 得16二中名解得化=号 .一次函数的解析式为y=-x-5; (2)如图1，记直线AB与直线x=-2的交点为C. y=-x-5, ∴当x=-2时，则y=-X-5=2-5=-3, C(-2,-3). P是直线x=-2上的一个动点，设点P(-2,p). ~△PAB的面积为21， 1 1 1 1 2×PC×xA-2川+2×PC×|xB-2l=2×PC×|XA-X=2×PCX(xg-xA)=21. 即吃×|-3-pl×7=21, 由（海出y=兰 :点Q在反比例函数y=‘位于第四象限的图象上， 如图2，点Q在点B的右边时， △QAB的面积为21，A(-6,1)和B(1,-6), )； …6分 第24题图2 |-3-p|=6,解得p=3或-9，·点P坐标为(-2,3)或(-2，-9)： ·设点Q的坐标为q,g(q>0). 1 61 6 21=1+6)×a+62x1+61×(1+6卧2a+6)x1+g2×a-1)×g+61. 整理得21=7x(g+6)智是<q46)×号+62(q1)×-+6, 491 解得q=3（负值已舍去). 经检验q=3是原方程的解，：Q点坐标为(3,2) 如图3，点Q在点B的左边时， △QAB的面积为21，A(-6,1)和B(1,6), 21=(1+6)×号+1x8+1)×g+61学(1+6)×(1+6)子(1-g×-6+9, 整理得21-7×+1号+×阳+6量（1g)×6+9, 解得0<q=11十15<1，符合题意，q=1115<0,不符合题意，则=1+15 2 2 2 故Q-11+145,-11+145 2 2 综上：Q点坐标为(3,2)或(+15,11+45). 2 2 ……10分 第24题图3 25.解：(1)证明：AB为⊙O的直径，∠ACB=90°，∠ABC+∠CAB=90° CD⊥AB于点D,∠ADC=∠BDC=90°， ∴∠ACD+∠CAB=90°，.∠ACD=∠ABC, 'BC平分∠ABE,∴.∠CBE=∠ABC=∠ACD, '∠CBE=∠CAE,.∠CAE=∠ACD, ..AF=CF; …5分 (2)CG=5,BG=35,..BC=CG+BG=4/5, 由(1)可知，∠CAE=∠ACD,∠ACD=∠ABC,∴∠CAG=∠ABC, y∠ACG=∠BCA,aACG-△BCA,小能-2 ..AC2 BC.CG 20,..AC=25,..AB2 AC2 +BC2 100, AB=10,⊙0的半径为5， SAARC =ACBC=AB.CD.CD-AC-C4. AB 10 ÷AD=VAC2-CD2=(25)2-42=2, 设DF=X,则AF=CF=CD-DF=4-X, 在Rt△ADF中，AP2=AD2+DP3,4-x刘2=22+x,解得x= 即线段DF的长为号 第25题图 26.证明：(1)如图1∠ACB=90°，CD是高， ∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°， ∴.∠B=∠ACD. AE是角平分线，·LCAF=LDAF. 'LCFE=∠CAF+LACD,∠CEF=∠DAF+∠B, ..LCEF LCFE; …4分 (2)解：如图2，相等；理由如下： AF为LBAG的平分线，∴∠GAF=∠DAF. CD为AB边上的高，∠ACB=90°， .LADF=∠ACE=90°. 又'∠CAE=∠GAF,AF平分LBAG, .∠CAE=LDAF=LGAF,90°-LCAE=90°-∠DAF, .∠CEF=LCFE; (3)解：如图3，∠M+∠CFE=90°.理由如下： C,A,G三点共线，AE,AN分别为LCAB,∠BAG的平分线， ∠EAN=90°，∠MAE=90°，∠M+∠CEF=90°， LCEF=∠EAB+∠B, ∠CFE=∠EAC+∠ACD,∠ACD=∠B, ∴.∠CEF=∠CFE, ∴∠M+∠CFE=90°. N D 第26题图3 27.解：(1)2a+b=0,由a=1得b=-2a=-2,又c=-1, ∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-1. y=x2-2x-1=(x-1)2-2, ∴.该抛物线顶点P的坐标为（1，-2)； (2)如图1，过点M(m,1)作MH⊥x轴，垂足为H,m>1,则∠MH0=90°，HM=1, OH=m. 在Rt△MOH中，HM2+OH2=OM2,OM=3 2 1+m2=(吗解得m1-号m= 3 ·点M的坐标为， 2a+b=0,即-名=1.抛物线y=a2-2ax十c的对称轴为x=1. 对称轴与x轴相交于点D,OD=1,∠ODP=90°. 在Rt△OPD中，OD2+PD2=OP2,OP=3, 1+PD2=(受)，解得PD=多负值舍去。 由a>0,得该抛物线顶点P的坐标为1，习， 该抛物线的解析式为y=a收-1)2 六点，在该抛物线上，有1=a(-1) .a=10 (3)如图2，过点M(m,1)作MH1x轴，垂足为H,m>1 则∠MH0=90°，HM=1,OH=m,DH=OH-0D=m-1, 在Rt△DMH中，DM2=DH2+HM2=(m-1)2+1. 过点N作NK⊥x轴，垂足为K,则∠DKN=90°. '∠MDN=90°，DM=DN, 又∠DNK=90°-∠NDK=∠MDH, ∴.△NDK兰△DMH(AAS). ..DK MH=1,NK DH m-1, 第27题图1 .点N的坐标为(2,1-m) 在Rt△DMN中，∠DMN=∠DNM=45°， MN2 DM2 +DN2 2DM2,MN =2DM. NE+NF=V2DM,·ME=NF. 在△DMN的外部，作∠DNG=∠DME=45°，且NG=DM,连接GF,MF,DE,得 ∠MNG=∠DNM+∠DNG=90°， ∴△GNF兰△DME(SAS),∴.GF=DE,∴.DE+MF=GF+MF≥GM. 当满足G,F,M三点共线，即点F落在线段GM上时，DE+MF取得最小值，即GM= V15. 在Rt△GMN中，GM2=NG2+MW2=3DM2,·(W15)2=3DM2,得DM2=5 ∴(m-1)2+1=5,解得m1=3,m2=-1(舍). 点M的坐标为(3,1)，点N的坐标为（2，-2) ~点M(3,1),N（2,-2)都在抛物线y=ax2-2ax+c上， 1=9a-6a+C,-2=4a-4a+C,a=1.12分 甘肃省高中招生学业水平考试评估试卷(二) 数 学 注意事项： 1. 全卷共计150分，考试用时120分钟。考生在答题前务必将学校、班级、姓名、学号、座号填写在试卷的相应位置上。 2. 要求用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔将答案直接写在考试卷上，字迹工整，卷面整洁。 3. 不得另加附页，附页上答题不得分。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；每小题给出的四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最小的数是 （ ） A. 0 B. 3 C. D. –2 2. 下列方程中，是一元二次方程的是 （ ） A. 3x–y=0 B. -2x=0 C. x2-2x=4 D. 5x–6=0 3. 椽卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾．如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是 （ ） 4. 如图，是的直径，若，则的度数等于 (　　) A. B. C. D. 5. 如图是正方体的表面展开图，将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是 （　　） A. B点 B. C点 C. D点 D. E点 6. 如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接若，，则 (　　) A. B. C. D. 7. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩(百分制选手李林控球技能得分，投球技能得分，李林的综合成绩为 (　　) A.分 B.分 C.分 D.分 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年亩钱，第二年亩钱，第三年亩钱，三年共得钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有亩，可列方程为 (　　) A. B. C. D. 9. 如图，内接于，为的直径，平分交于，若，则的长为 (　　) A. B. C. D. 10. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为，该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是 (　　) 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解： . 12. 已知是方程的一个根，则实数的值是_____. 13. 已知都是实数．若，则 . 14. 如图，在中，，，平分交于点若，则的长度为 . 15. 如图，已知正方形边长为，为边上一点，以点为中心，将按逆时针方向旋转得，连接，分别交，于点，若，则 . 16. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点处)的高度是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 m，高度是 m．若实心球落地点为，则 m. 三、解答题（本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分)计算：． 18. 分)解不等式组：并写出它的所有整数解． 19. 分)已知，求代数式的值． 20. 分)如图，在中，，点在上，且，连接 请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线(保留作图痕迹，不写作法)； 若中所作的垂线交边于点，连接求证： 21. 分)甲口袋中装有个相同小球，它们分别写有数字，；乙口袋中装有个相同小球，它们分别写有数字，，；丙口袋中装有个相同小球，它们分别写有数字，从三个口袋中各随机取出个小球．用画树状图或列表法求： 取出的个小球上恰好有一个偶数的概率； 取出的个小球上全是奇数的概率. 22. 分)如图所示，，，，分别是某公园四个景点，在的正东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏东方向，且在的北偏西方向，千米参考数据：，， 求的长度(结果精确到千米)； 甲、乙两人从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：请通过计算说明谁选择的路线较近？ 四、解答题（本大题共5个小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23.分)某村有甲、乙两块无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取个在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用单位：表示将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 3.5⩽x<4.5 4.5⩽x<5.5 5.5⩽x<6.5 6.5⩽x<7.5 7.5⩽x⩽8.5 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务 求图中的值． 【数据分析与运用】 任务 ，，，，五组数据的平均数分别取为，，，，，计算乙园样本数据的平均数． 任务 下列结论一定正确的是 填正确结论的序号) ① 两园样本数据的中位数均在组； ② 两园样本数据的众数均在组； ③ 两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务 结合市场情况，将，两组的柑橘认定为一级，组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 24. 分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点. 求反比例函数和一次函数的解析式； 是直线上的一个动点，的面积为，求点坐标； 点在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为，请直接写出点坐标. 25.分)如图，为的直径，为上一点，连接，，过作于点，在上取一点，连接，且满足平分，连接，分别交，于点， 求证：； 若，，求的半径及线段的长. 26.分)小明在学习过程中，对一个问题做如下探究： 【习题回顾】如图，在中，，是角平分线，是高，，相交于点求证：； 【变式思考】如图，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，判断与还相等吗？并说明理由； 【探究延伸】如图，在中，在上存在一点，使得，的角平分线交于点，交于点的外角的平分线所在直线与的延长线交于点，请直接写出与之间的数量关系. 27. 分)已知抛物线，，为常数，的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，，为坐标原点. 当，时求该抛物线顶点的坐标； 当时，求的值； 若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $