2026年甘肃省高中招生学业水平考试数学评估试卷

**基本信息** 通过测量雕塑底座、演讲比赛概率等真实情境问题及“邻等对补四边形”探究任务，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计适配中考三轮冲刺，强化数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数、轴对称、整式运算|第7题用频率估计概率，培养数据意识| |填空题|6/24|因式分解、等腰三角形、反比例函数|第15题斜坡影子问题，体现几何直观| |解答题(三)|6/46|不等式组、概率计算、测量应用|第22题测量底座面积，强化应用意识| |解答题(四)|5/50|统计分析、圆的证明、二次函数|第26题新定义四边形探究，发展创新意识与推理能力|

甘肃省高中招生学业水平考试评估试卷（四） 一、选择题 1. D 2. A 3. B 4. D 5. C 6. B 7. A 8. C 9. A 10. D 二、填空题 11. 12. 13. 四 14. 15. 16. 三、解答题 17. 解：原式 ……………………………………分 18. 解：原不等式组为 解不等式，得； 解不等式，得 原不等式组的解集为 19. 解：原式 ，， 当时，原式 ………………………………………………………分 20. 解： （1）如图，射线 ， 即为所求. ． 解：连接 ，设射线 交 于点 ， 平分 ， ，， 的半径为 ， ， ， ， ． 21. 解： （1）画树状图如下图所示： 由上可得，所有可能出现的代表队一共有种； ……分 由 （1）可知，一共有种可能性，其中一男一女出现的情况有种， 故选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为，分 22. 解： （1）、的长为米，， ． 米； ， 米， 米； 分 如图，过点作于点， ， ， 米， ， 米， 底座的底面的面积为：平方米． 分 四、解答题 23. 解： （1）； 分 （2）B，该学生的A课程成绩小于A课程的中位数，B课程的成绩大于B课程的中位数； 分 （3）估计该年级A课程成绩超过75.8分的人数为300×=180（名）． ……8分 24. 解： ∵经过点（1，4），∴ 4=，解得k=4， ∴ 反比例函数的表达式y=． 把点，﹣1)代入，得﹣1=， 解得n=-4， ∴B（-4，-1）． 把点（1，4），（-4，-1）代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为； 分 （2）观察图象得：当＜-4或＜＜1时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， ∴ 不等式的解集为＜-4或＜＜1； 分 （3）设点的坐标为，， ①以，为对角线，则， 解得， ∴ ， ∴ ； ②以，为对角线，则， 解得， ∴ ， ∴ ； ③以，为对角线，则， 解得， ∴，∴，； 综上，当点的坐标为，或，或，时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 25. 证明：如图，连接， ∵点是的中点，∴=，　　， ∵⊥，为的直径，∴=， ∴，　， ∴ 为的直径，， ， ，是的垂直平分线， ， ，， ，　， 为的直径，是的切线； ，， ． ，，， ∽，， ，，， ，， ， 的半径为 ……………………………………分 26. 解：（1）观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图和图中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，故答案为：②④； ，理由： 如图，延长至点，使，连接， 四边形是邻等对补四边形， ， ，， ，　≌，　，， ，； …………………………………………………………分 如图，过点作于点， ， ，， 在中，， ； ，，，， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴ ， 当时，如图，连接，过作于， ∴ ， 在中，， 在中，， ∴ ，解得， ∵ ，，∴ ∽， ∴ ，即， ∴ ，，，； 当时，如图，连接， ∵ ，≌， ∴ ，故不符合题意，舍去； 当时，如图，连接，过点作于点， ∵ ，， ∴ ∽， ∴ ，即，解得， ∵ ，， ∴ ∽，，即， ∴ ，，，； 当时，如图，连接， ∵ ，≌， ∴ ，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或． 27. 解：（1）由于抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0）和点C（0，-4）， ∴， ∴抛物线的表达式为y=x2-3x-4=-， ∴顶点D的坐标为； （2）∵点A（-1，0），对称轴为直线x=，∴点B（4，0）， ∵B（4，0），C（0，-4），∴BC长为定值， 如图1，作点B关于原点的对称点B'，则B'（-4，0），连接B'D交y轴于点M，则B'M=BM， ，此时的周长最小，设直线的解析式为， ， 解得 ，， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为，； 以为边在的下方作等边，过点作轴的垂线，垂足为，连接，， 等边， ，，， ≌， ，， ． ， ， 点在以为圆心，为半径的上， ， 当点在线段上时，有最小值为； 当点在射线上时，有最大值为； 的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省高中招生学业水平考试评估试卷(四) 数 学 注意事项： 1. 全卷共计150分，考试用时120分钟。考生在答题前务必将学校、班级、姓名、学号、座号填写在试卷的相应位置上。 2. 要求用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔将答案直接写在考试卷上，字迹工整，卷面整洁。 3. 不得另加附页，附页上答题不得分。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；每小题给出的四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，无理数是 （ ） A.﹣3.14 B.﹣2 C. D. 2. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是 （ ） 3. 下列运算中正确的是 （ ） A. a2﹣a=a B. a•a2=a3 C. （a2）3=a5 D. （2ab2）3=6a3b6 4. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为 （ ） A． B． C． D． 6. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，下列推断错误的是 (　　) A. B. C. D. 7. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为，下列说法正确的是 (　　) A.小星定点投篮次，不一定能投中 B.小星定点投篮次，一定可以投中 C.小星定点投篮次，一定投中次 D.小星定点投篮次，一定投中次 8. 小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则下列关系式正确的是 (　　) A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为 (　　) A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，， 点从点出发，以的速度在矩形的边上沿运动，点与点重合时停止运动．设运动的时间为（单位：），的面积为单位：，则随变化的函数图象大致为 ( ) 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式： . 12. 一个等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 13. 反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限. 14. 如图，平分，平分，平分，点为射线上一点，以点为圆心，长为半径画圆．若，，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）． 15. 如图，斜坡的坡度：，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子的长为米，则大树的高为 米． 16. 如图，在中，，平分交边于点，，分别是，上的点，连接，若，，，则的最小值是 . 得 分 评卷人 三、解答题（本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分)计算： 18. 分)解不等式组： 19. 分)先化简：，再从，，中选择一个合适的数作为的值代入求值. 20. 分)如图、已知锐角中， 请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆：(不写作法，保留作图痕迹) 在的条件下，若，的半径为，则 ．(如需画草图，请使用图 21. （10分）某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，该市一中学经过初选，在七年级选出名同学，其中名女生，分别记为，，名男生，记为；在八年级选出名同学，其中名女生，记为，名男生，分别记为，．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛． 用列表法或画树状图法，求所有可能出现的代表队总数； 求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率． 22.分)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动. 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上； ②过点作 ，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为米； ③在点处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，， sin，， 请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)： 求线段和的长度； 求底座的底面的面积. 四、解答题（本大题共5个小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 分)某年级共有名学生．为了解该年级学生，两门课程的学习情况，从中随机抽取名学生进行测试、获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 、课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成组：，，，，，； ．课程成绩在这一组是： 　　　　　　　　　　　　　 ．，两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B 72.2 70 83 根据以上信息，回答下列问题： 写出表中的值为 ； 在此次测试中，某学生的课程成绩为分，课程成绩为分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填“”或“”），理由是 ； 假设该年级学生都参加此次测试，估计课程成绩超过分的人数. 24.分)如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于点， 求反比例函数和一次函数的表达式； 利用图象，直接写出不等式的解集； 已知点在轴上，点在反比例函数图象上．若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 25.分)如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连接交于点 求证:； 延长至点，使，连接 ① 求证:是的切线； ② 若，，求的半径. 26. 分)在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验、对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 操作判断：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． 性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质下面研究与对角线相关的性质． 如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ① 写出图中相等的角，并说明理由； ② 若，，，求的长(用含，，的式子表示 拓展应用：如图，在中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 27. 分)如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为 求抛物线的表达式及顶点的坐标； 在轴上是否存在一点，使得的周长最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 若点在以点为圆心，为半径的上，连接，以为边在的下方作等边，连接，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $