2026年甘肃高中招生学业水平考试评估试卷数学(五)

**基本信息** 甘肃省初中数学三轮冲刺评估卷，覆盖代数、几何、统计核心知识，融合《九章算术》文化、无人机测量等真实情境，通过动态问题（如动点与角的函数关系）和分层设计（基础到综合应用），考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数比较、方程根的判别、三视图|以纸杯主视图考查空间观念，体现几何直观| |填空题|6/24|因式分解、分式方程、圆内接三角形|矩形折叠问题考查创新意识，结合符号意识| |解答题|11/96|统计分析、圆的切线证明、二次函数应用|《九章算术》方程组渗透文化，足球抛物线模型强化应用意识，动态动点问题提升推理能力|

甘肃省高中招生学业水平考试评估试卷(五) 数 学 注意事项： 1. 全卷共计150分，考试用时120分钟。考生在答题前务必将学校、班级、姓名、学号、座号填写在试卷的相应位置上。 2. 要求用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔将答案直接写在考试卷上，字迹工整，卷面整洁。 3. 不得另加附页，附页上答题不得分。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；每小题给出的四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，最小的数是 （ ） A. B. C. D. 2. 不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 （ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. 如图，该纸杯的主视图是 （ ） 4. 下列计算正确的是 （ ） A. -=1 B.=a6 C. = D.=a 5. 如图，直线与直线，都相交．若，，则 (　　) A. B. C. D. 6. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 (　　) A. B. C. D. 7. 某公司拟推出由个盲盒组成的套装产品，现有个盲盒可供选择，统计这个盲盒的质量如图所示．序号为到号的盲盒已选定，这个盲盒质量的中位数恰好为，号盲盒从甲、乙、丙中选择个，号盲盒从丁、戊中选择个，使选定个盲盒质量的中位数仍为，可以选择 (　　) A. 甲、丁 B. 乙、戊 C. 丙、丁 D. 丙、戊 8. 《九章算术》中记载这样一个题：牛头和羊只共值金，牛头和羊只共值金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程组为 （　　） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是 (　　) A.4 B.5 C.8 D.10 10.如图，AC，BD是⊙O直径，且AC⊥BD，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O路线作匀速运动，设运动时间为t（秒），∠APB＝y（度），则下列图象中表示y与t之间 的函数关系最恰当的是 （　　） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11.分解因式:xy2-x＝___________________. 12.若m，n为实数，且（m+4）2＝0，则（m+n）2的值为_____. 13.已知关于x的分式方程有正数解，则k的取值范围为______ 14.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝28°，则∠A＝_______° 15. 将一张矩形纸片(四边形按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点若，，，则 . 16. 足球训练中球员从球门正前方米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．写出抛物线的函数表达式为 ；已知球门高为米，判断球 (填“能”或“不能”，忽略其他因素)射进球门； 三、解答题（本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分)计算：． 18. 分)解不等式组：并在数轴上表示其解集． 19. 分)化简： 20. 分)如图，在中，， 作的平分线交于点； 作边上的高； 在完成作图后，图中 21. 分)数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜、字谜、字谜、字谜，其中字谜、字谜是猜“数学名词”，字谜、字谜是猜“数学家人名”． 若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是 ； 若小云一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表法求小云抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率. 22. 分)如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为，求教学楼的高度．(精确到，参考数据：，， 四、解答题（本大题共5个小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 分)某地两块试验田中分别栽种了甲、乙两种小麦，为了考察这两种小麦的长势，分别从中随机抽取株麦苗，测得苗高(单位：如下表． 甲 乙 将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计表格和频数分布直方图． 苗高分组 甲种小麦的频数 小麦种类统计量 甲 乙 平均数 众数 中位数 方差 根据所给出的信息，解决下列问题： ， ，并补全乙种小麦的频数分布直方图； ， ； 甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是 (填甲或乙)；若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取株，试估计苗高在单位：的株数． 24.分)如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 求反比例函数和一次函数的解析式； 判断点是否在一次函数的图象上，并说明理由； 直接写出不等式的解集． 25. 分)如图，在中，，点在边上，以为半径的圆经过上的点，交于点，且 求证:是的切线； 连接，交于点，若，，求的长. 26.分)如图，，点在的平分线上，于点 【操作判断】如图，过点作于点，根据题意在图中画出，图中的度数为 度； 【问题探究】如图，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：； 【拓展延伸】点在射线上，连接，过点作交射线于点射线与射线相交于点，若，求的值. 27. 分)如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点 求抛物线的解析式； 当时，求的函数值的取值范围； 将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省高中招生学业水平考试评估试卷（五） 一、 选择题 1. D 2. B 3. A 4. D 5. B 6. C 7. C 8. A 9. B 10. C 二、填空题 11. 12. 1 13. 且 14. 62 15. 16. ，不能 三、解答题 17. 解：原式=． 18. 解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 19. 解：原式= 20. 解：（1）如图，射线BD即为所求； （2）如图，线段AE即为所求； （3）20． 21. 解：（1）； （2）根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的结果，其中小云抽取的字谜均是猜“数学家人名”的有种 小云抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率是． 22. 解：如图，延长 交直线 于点 ，则，由题意知 在 中，，即，解得 ， ， ，， ， ， 答：教学楼 的高度约为 四、解答题 23. 解：（1）2，4，补全乙种小麦的频数分布直方图如图； （2）13.5，13； （3）乙．∵ 乙种小麦方差是7.85，甲种小麦方差是8.65， ∴ 甲、乙两种小麦的苗高长势比较整齐的是乙， 由题可知：乙种小麦随机抽取株麦苗中苗高在有株， ∴ 若从栽种乙种小麦的试验田中随机抽取株，苗高在的株数为： 株． 24. 解：（1）将点代入得，解得， ， 把点代入得，解得， 点坐标为 ． 把点，代入得： 解得 . ………………分 把代入，， 点在一次函数的图象上 …………分 由图象得或时， ∴不等式k1x+b≥的解集为x≥2或-6≤x＜0. 25.解:（1）证明:连接OD， 在△OBD和△OBC中,OB＝DC, ∴△OBD≌△OBC,∴∠ODB＝∠OCB＝90°, ∵OD为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线; ………5分 （2）解:∵∠ODB＝90°，∴∠ODA＝90°，设⊙O的半径为x， 在Rt△AOD中，AO2＝OD+AD2，即（x+1）2＝x2，解得x＝1， ∴OD＝OC＝1,OA＝2,cos∠,∴∠AOD＝60°, ∵△OBD≌△OBC，∴∠DOB＝∠（180-60°）＝60°. ∴CF的长为 6.解:（1）如图1，PC即为所求;90; （2）证明:过点P作PC⊥OB于点C，由（1）知:四边形OAPC是矩形， ∵点P在∠AOB的平分线上,PA⊥OA,PC⊥OB,∴PA＝PC, ∴矩形OAPC是正方形， ∴OA＝AP＝PC＝OC,∠APC＝90°. ∵PN⊥PM,∴∠APM＝∠CPN＝90°-∠MPC,又∠A＝∠PCN＝90°,AP＝CP, ∴△APM≌△CPN,∴AM＝CN, ∴OM+ON＝OM+CN+OC＝OM+AM+AP＝OA+AP＝2AP; 3）① 当M在线段AO上时，如图2，延长NM，与PA的延长线相交于点G，由（2）知OM+ON＝2PA， 设OM＝x,∵ON＝30M,∴ON＝3x,∴AO＝PA＝2x, ∴AM＝AO-OM＝x＝OM, ∵∠AOB＝∠MAG＝90°,∠AMG＝∠OMN, ∴△AMG≌△OMN（ASA）,∴AG＝ON＝3x, ∵∠AOB＝90°,PA⊥OA,∴AP∥OB,∴△ONF∽△PGF, ∴，∴， ∴; ② 当点M在AO的延长线上时，如图3，过点P作PC⊥OB于点C，并延长交MN于G. 由（2）知:四边形OAPC是正方形， ∴OA＝AP＝PC＝OC,∠APC＝90°,PC∥AO, : PN⊥PM, ∴∠APM＝∠CPN＝90°-∠MPC、又∠A＝∠PCN＝90°,AP＝CP, ∴△APM≌△CPN,∴AM＝CN, ∴ON-OM＝OC+CN-OM＝AO+AM-OM＝AO+AO＝2AO, ∵ON＝3OM＝3x,∴AO＝x,CN＝AM＝2x, ∵PC∥AO,∴△CGN∽△OMN, ∴，即，∴， ∵ ，∴ ∽， ∴ =， ∴ ， ∴ ． 综上，的值为或． 27. 解：（1）∵ 抛物线y=x2-x+c与x轴交于点A（-1，0）， ∴ 1+1+c=0，解得c=-2， ∴ 抛物线的解析式为：y=x2-x-2； （2）∵y=x2-x-2的对称轴为直线x=-=，而0＜x≤2， ∴ 函数最小值为：y=--2=--2=-． 当x=0时，y=-2；当x=2时，y=4-2-2=0， ∴ 当0＜x≤2时函数值的取值范围为：-≤y≤0； （3）∵y=x2-x-2，当x=0时，y=-2， ∴ C（0，-2）， 当y=x2-x-2=0时， 解得：x1=-1，x2=2， ∴ B（2，0）， ∴ AB=3． 设直线AC为y=kx-2， ∴-k-2=0 ， ∴ k=-2， ∴ 直线AC为y=-2x-2． ∵ 抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，而顶点为， ∴ ， ∴ 点M在直线AC上， 如图，过点P作PG⊥AC于点G，连接MB，过点P作PH⊥MB于点H， ∵ A（-1，0），C（0，-2）， ∴ AC=，sin∠ACO==， ∵ 对称轴与y轴平行， ∴∠AMP=∠ACO， ∴ sin∠AMP==， ∴ PG=PM， 由抛物线的对称性可得：PG=PH， ∠MAB=∠MBA， ∴ PA+PM=PA+PG=PA+PH≤AH， ………11分 当，，三点共线时取等号，sin∠MAB====sin∠ABH=， ∴ =， ∴ ， 即 的最小值为：． …………………12分 学科网（北京）股份有限公司 $