广东珠海市麒麟中学2025-2026学年第二学期高二5月月考数学试题

**基本信息** 以AI新药筛选、社交推理游戏等真实情境为载体，融合导数、概率、排列组合等核心知识，梯度设计考察数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数运算、集合元素、两点分布|第7题结合AI筛选考条件概率，体现科技前沿| |多选|3/18|分布列、排列组合、悬链线函数|第11题以悬链线为背景，考察函数性质与逻辑推理| |填空|3/15|切线方程、整除问题、电路概率|第14题电路系统概率，强化数学建模与数据意识| |解答|5/77|二项式定理、函数单调性、游戏搜索|第18题社交推理游戏情境，综合考察排列组合与分步计数原理，凸显应用意识|

高二5月月考参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C D A C A ABC BD 题号 11 答案 BC 一、单选题 1．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：由，故B错误； 选项C：由，故C错误； 选项D：由，故D正确 2．集合，，从，中各取一个元素，作为点的坐标，可以得到不同的点的个数是（   ） A．12 B．11 C．6 D．5 【答案】B 【详解】从中取一个元素作为横坐标，从中取一个元素作为纵坐标，共有个； 从中取一个元素作为横坐标，从中取一个元素作为纵坐标，共有个； 又点重复，故可以得到不同的点的个数是个． 3．若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点分布求，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解. 【详解】由题意可知，，所以， ，， . 4．已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题意得：， 又是的一个极值点，所以，所以， 所以，所以. 5．某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．36种 【答案】D 【详解】先将甲、乙、丙、丁四个区分成三组，即任意选两个成为一组，剩余两个各自一组，共种， 再将分好的三组不同的区分配给三组工作人员，共有种分配方法； 因此共种. 故选：D 6．设点是曲线上的任意一点，则曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 所以. 所以曲线在点处切线的斜率. 因为，所以. 7．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 8．从标有，，，，的五张卡片中随机选取张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个偶数大于2026的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先计算从，，，，这五张卡片选取4张组成的四位偶数的个数： 当个位数是时，直接从其余4个数中选3个作全排列，有个； 当个位数是或时，先填个位数，再填千位数，最后填中间两个数，有种， 所以组成的四位数的偶数共有个； 再计算上述四位偶数中大于2026的数的个数： 当千位数是时，比2026大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，比2026大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种； 当千位数是时，分成两类情况：①个位是且比2026大，在余下的3个数中任选2个作全排列，有种， ②个位是且比2026大的偶数有，共5种， 综上，比2026大的偶数共有种， 故所求概率为. 二、多选题 9．已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 2 3 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由离散型随机变量分布列的性质知，故A正确； 由知，，，， 均值，C正确； 方差，故D错误，B正确． 故选：ABC. 10．2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（    ） A．男生不能排在一起，共有54种排法 B．男生排在一起、女生排在一起，共有24种排法 C．男生必须排在一起，共有24种排法 D．男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法 【答案】BD 【详解】在A选项中，男生不相邻，用插空法： 先排3名女生，再把男生插到女生的空隙中： 则总排法 = ，A错误， 在B选项中，利用捆绑法：把男生捆绑为1个整体，女生捆绑为1个整体， 则总排法 = ，B正确， 在C选项中，仅要求男生相邻，用捆绑法： 把2名男生捆绑为1个整体，和3名女生共4个元素全排列， 再算男生内部排列：则总排法 = ，C错误， 在D选项中，2男3女要满足男女都不相邻， 仅能排列为女-男-女-男-女结构， 则总排法 = ，D正确. 11．悬链线是指两端固定的一条均匀、柔软的链条，在重力的作用下所呈现的曲线形状，例如悬索桥、电线等都自然呈现这一形状.数学家和物理学家计算发现，悬链线是不同于抛物线的一类曲线，在特定的坐标系下，其函数解析式可以表示为（其中a，b是非零常数），对于函数，以下结论正确的是（    ） A．若，则为单调递增函数 B．若，则存在最大值或最小值 C．是为偶函数的充要条件 D．是为奇函数的充分不必要条件 【答案】BC 【详解】 对于A，因为，所以，又， 若，则恒成立，则为单调递增函数， 若，则恒成立，则为单调递减函数， 故A错误； 对于B，，因为，所以， 令得， 若，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 则函数存在唯一的极小值，则该极小值为的最小值； 若，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则函数存在唯一的极大值，则该极大值为的最大值； 所以当时，存在最大值或最小值，故B正确. 对于C，因为函数定义域为R关于原点对称， 当时，，故函数为偶函数，即充分性成立； 当函数为偶函数时，，故， 即，由于的任意性，不一定为0，故，即必要性成立； 所以是函数为偶函数的充要条件，故C正确； 对于D，因为函数定义域为R关于原点对称， 当时，， 故函数为奇函数，即充分性成立； 当函数为奇函数时，， 因为，，故，即必要性成立； 所以是函数为奇函数的充要条件，故D错误； 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题AB选项的解决关键是，结合的符号，分类讨论的正负情况，利用导数研究的性质，从而得解. 三、填空题 12．已知函数，则函数在处的切线方程是_____________.（请用直线的一般式方程作答） 【答案】 【详解】由题可得：，所以，解得：, 所以，则函数在处的切线方程是，即; 故答案为： 13．已知，且恰能被6整除，则m的最小正整数取值为______． 【答案】5 【详解】 因为能被整除， 所以除以的余数是，故的最小正整数为. 14.如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 【答案】 【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，， 则，可得， 在电路系统正常工作的条件下，可知系统均正常工作，对应概率为， 则，可得，， 则，所以. 四、解答题 15．已知 展开式共有11项. (1)求 以及 的值； (2)求 的值； 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）法一：（赋值法）二项式展开式的项数为，(1分) 由题知展开式共11项，因此，得，(2分) 令，得，(3分) 即，(4分) 令，代入等式得：，(5分) 因此；(6分) 法二：二项式定理展开计算 的通项为 (1分) 是项的系数, (2分) 对应=. (4分) 先求所有系数的和,(5分) 再减去，结果仍为0.(6分) （2） 展开式中，系数的符号由决定，(7分) 即对应将原式中换为后的系数，(8分) 等价于令代入原式：(10分) 计算得，(12分) 因此结果为；(13分) 16．已知函数，且． (1)求a的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为 【详解】（1）由，可得，(1分) 因为，所以，(3分) 解得；(4分) （2）法一：由（1）得，(5分)函数的定义域为.(6分) ，(7分) 令，得，所以，(9分) 又，解得，所以函数在上单调递增.(10分) 令，得，所以，(12分) 又，解得，所以函数在上单调递减.(14分) 所以的单调递减区间为，单调递增区间为.(15分) 法二：采用二阶导数验证单调性 (5分) 令,(6分) 求二阶导数： (8分) 因为所以.说明在上单调递增.(10分) 又 所以递减；(12分) , 递增.(14分) 所以的单调递减区间为，单调递增区间为.(15分) 17．某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关. (1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率； (2)记为甲同学的总得分，求的分布列及期望； (3)已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率. 【答案】(1) (2) 0 2 3 5 7 8 10 期望为 (3) 【详解】（1）设事件D表示乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确， .(3分) （2）可能的取值有, (4分) (5分) (6分) (7分)(随机变量的概率任意写对2个得1分，4个得2分，7个都对得4分) 所以的分布列为： 0 2 3 5 7 8 10 (8分) （3）记为乙同学的总得分，可能的取值有， 则,，， ，， (12分)(随机变量的概率任意写对2个得1分，4个得2分，7个都对得4分) 设事件表示乙获胜，事件表示甲的总分不低于5分，因为，(13分) (14分) 则.(15分) 18．近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名不同的玩家扮演“麻瓜”、4名不同的玩家扮演“魔法师”参与游戏. 游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份. 游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止. (1)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？（用数字作答） (2)若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”且第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？（用数字作答） (3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？ 【答案】(1)576 (2)103680 (3)10 【详解】(1)第5次搜索恰为最后一个“魔法师”， 则另3个在前4次搜索中出现，从而前4次有一个“麻瓜”出现，(2分) 所以共有种不同的搜索方法.(4分) (2)先排前4次搜索，只能取“麻瓜”，有种不同的搜索方法，(5分) 再从4个“魔法师”中选2个排在第5次和第10次的位置上搜索，有种搜索方法，(6分) 再排余下4个的搜索位置，有种搜索方法.(7分) 所以共有种不同的搜索方法.(用排列组合数表示得8分，数字表示得9分) (3) 法一：以树状图列出第1~4次传花的可能性(画出树状图得13分) 若第5次是花传给了甲，则第4次必定不会传到甲手上，所以第5次花传给甲的结果只能由第4次传到乙或者丙手上产生，共10种可能线路.(15分) 对于第4次花传到乙或者丙手上的情况，第5次必定传给甲或者另外一人，因此第5次花传给甲的可能线路为(17分) 法二：由于甲是第1次传花的人，因此第2次传花时，甲不能再次拿到花. 这意味着在第2次传花时，花必须传给乙或丙.(10分) 同样，第3次传花时，花不能回到前一次传花的人手中. 因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况.(11分) 设为经过次传花后花在甲手上的线路数，其中.(12分) 则为经过次传花后花在甲手上的线路数，即经过次传花后花不在甲手上的线路数(13分) 所以为经过次传花的总线路，每一次传花均有两种方向（顺时针或逆时针）， 则，.(15分) 所以，，，，(16分) 综上，5次传花后花在甲手上的可能线路有10种.(17分) 19．已知函数 (1)当时，求函数在上的值域； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，.(1分) 所以，.(2分) 由；由.(3分) 所以在上单调递增，在上单调递减. (4分) 所以.(5分) 又，.(6分) 所以当时，函数的值域为.(7分) （2）法一：当时，(8分) 令 , . ， . 所以 在 上递增..(写出 递增得10分) 当 时， 故 即 在 上递增. 故 ，满足条件. (求出得12分) 当 时， 故 即 在 上递减. 故 ，不满足条件.(求出得13分) 当 时，，又因为 在 上递增则 在 存在唯一的零点，记为. 当 时 故 递减，当 时 故 递增. 所以 在 上的最小值是 .(求出 在 上的最小值是 得14分) 结合 = 0 得到 代入得到 = . 令 ，，. 因为 , 所以在 上恒成立，即 从而不满足条件.(求出得16分) 综上， 的范围是.(17分) 法二：当时，(8分) 当 时，不等式恒成立.(9分) 当 时，不等式等价于. 令 (11分) 再令 . 因为 , 所以在 上恒成立，即 所以 在 上递增. (13分) 因此 (14分) 因为 所.(16分) 综上， 的范围是.(17分) 法三：当时，(8分) 当 时，不等式恒成立.(9分) 当 时，不等式等价于. 令 (11分) 再令 . 因为 , 所以在 上恒成立，即 所以 在 上递增. (13分) 令 . 因为 , 所以 在 上递减又因为 因此 , . 所以 , 从而 (14分) 令 ,. 所以 在 上递增又因为 因此 , . 所以 在 上递增又因为 因此 , . 所以 从而 (15分) 因为 又因为 所以.(16分) 综上， 的范围是.(17分) 法四：当时，(8分) 令 , . ， .(写出一阶导给9分，二阶导给10分) 因为 所以不等式成立的必要条件是 (11分) 下证不等式成立的充分条件是 当 时，由于 所以 在 上递增. (13分) 又因为 从而 所以 在 上递增.(15分) 又因为 从而 . 不等式成立.(16分) 综上，不等式成立的充要条件是 (17分) 法五：当时，(8分) 令 , . .(9分) 因为 所以不等式成立的必要条件是 (10分) 下证不等式成立的充分条件是 当 时，由于所以. (11分) 令 . ， . 所以 在 上递增. (12分) 又因为 从而 所以 在 上递增. (14分) 又因为 从而 . 所以,不等式成立.(16分) 综上，不等式成立的充要条件是 (17分) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期高二5月月考 数 学 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、试室、座位号和准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．集合，，从，中各取一个元素，作为点的坐标，可以得到不同的点的个数是（   ） A．12 B．11 C．6 D．5 3．若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．36种 6．设点是曲线上的任意一点，则曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 8．从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个偶数大于2026的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（    ） A．男生不能排在一起，共有54种排法 B．男生排在一起、女生排在一起，共有24种排法 C．男生必须排在一起，共有24种排法 D．男生互不相邻且女生也互不相邻，有12种排法 11．悬链线是指两端固定的一条均匀、柔软的链条，在重力的作用下所呈现的曲线形状，例如悬索桥、电线等都自然呈现这一形状.数学家和物理学家计算发现，悬链线是不同于抛物线的一类曲线，在特定的坐标系下，其函数解析式可以表示为（其中a，b是非零常数），对于函数，以下结论正确的是（    ） A．若，则为单调递增函数 B．若，则存在最大值或最小值 C．是为偶函数的充要条件 D．是为奇函数的充分不必要条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 13．已知恰能被6整除，则m的最小正整数取值为______． 14.如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.本小题13分 已知 展开式共有11项。 (1)求 以及 的值； (2)求 的值； 16.本小题15分 已知函数，且。 (1)求a的值； (2)求的单调区间。 17.本小题15分 某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关。 (1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率； (2)记为甲同学的总得分，求的分布列及期望； (3)已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率。 18.本小题17分 近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，既能娱乐和休闲，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力。某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名不同的玩家扮演“麻瓜”、4名不同的玩家扮演“魔法师”参与游戏。游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份。游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止。 (1)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？（用数字作答） (2)若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”且第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？（用数字作答） (3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员。三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人。试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？ 19.本小题17分 已知函数 (1)当时，求函数在上的值域； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围。 第12页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $