5.2二次函数的图象 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的图象与性质，从y=x²、y=-x²入手，逐步学习y=ax²、y=ax²+c、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k及一般式，通过递进式讲解构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于采用表格对比、平移规律口诀和“逐点导讲练”模式，结合数学思维和数学眼光，如通过y=ax²与y=ax²+c的平移对比培养空间观念，例题训练参数求解提升推理能力。学生能系统掌握知识，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

2 二次函数的图象 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 二次函数 y=x2 和 y=-x2 的图象与性质 二次函数 y=ax2 的图象与性质 二次函数 y=ax2+c 的图象与性质 二次函数 y=a(x-h)2 的图象与性质 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质 知1－讲 感悟新知 知识点 二次函数 y=x2 和 y=-x2 的图象与性质 1 1. 画二次函数 y=x2 的图象，一般用描点法，具体步骤如下： (1)列表：先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地各取2 个点。 (2)描点：在平面直角坐标系中，先将y 轴一侧的2 个点描出来，然后根据对称关系找到y 轴另一侧的2 个点并描出。 (3)连线：按照自变量由小到大(或由大到小)的顺序，把所描各点用光滑的曲线顺次连起来。 感悟新知 2. 二次函数y=x2 的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y 轴对称。对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点。 二次函数y=x2 的图象也称为抛物线y=x2。 二次函数y=-x2 的图象可类比y=x2 的图象来画，二者的图象与性质的区别和联系如下表。 知1－讲 感悟新知 知1－讲 二次函数 y=x2 y=-x2 图象 图象形状 抛物线 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴(或直线x=0) 顶点坐标 (0，0) 感悟新知 知1－讲 增减性 当x<0 时，y 的值随x 值的增大而减小；当x>0 时，y的值随x 值的增大而增大 当x<0 时，y 的值随x 值的增大而增大；当x>0 时，y 的值随x 值的增大而减小 最值 当x=0 时，y 最小值=0 当x=0 时，y 最大值=0 联系 (1)自变量x 的取值范围都是全体实数； (2)若把函数y=x2 的图象和函数y=-x2 的图象画在同一平面直角坐标系中，则两个图象既关于x 轴成轴对称，又关于原点成中心对称 感悟新知 知1－讲 特别提醒 1.二次函数y=x2的自变量的取值范围是全体实数，故应以原点(0，0)为中心对称取值。 2.二次函数图象的两端是无限伸展的，画图象时要画“出头”。 3. 对于二次函数，一般从图象特征(开口方向、顶点坐标、对称轴)、函数变化(增减性)、最(大或小)值等方面加以研究。 知1－练 感悟新知 已知y=xk2-2是y关于x的二次函数，其图象为抛物线。 例1 解题秘方：紧扣二次函数y=x2 和 y=-x2 的图象与性质求待定字母的值或取值范围。 知1－练 感悟新知 (1)求满足条件的k的值。 解：由题意，得k2-2=2，≠ 0，解得k=±2。 知1－练 感悟新知 (2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标。当x 为何值时，y的值随x值的增大而增大？ 解：当k=2 时，函数关系式为y=x2，此抛物线有最低点，∵这个最低点为抛物线的顶点，∴最低点的坐标为(0，0)。当x>0 时，y 的值随x 值的增大而增大。 知1－练 感悟新知 (3)k为何值时，二次函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？ 解：当 k=-2 时，函数关系式为y=-x2，该二次函数有最大值，∵二次函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，抛物线顶点坐标为(0，0)，∴二次函数的最大值为 0，当 x>0 时，y 的值随x 值的增大而减小。 知1－练 感悟新知 1-1. 如图，A，B 为函数y=x2 图象上两点，且线段AB 垂直于y 轴，若AB=8， 则点A 的坐标为( ) A.(4，4) B.(4，16) C.(-4，4) D.(-4，16) D 知1－练 感悟新知 1-2. 若点(0，y1)，(1， y2)，(2，y3)都在二次函数y=x2 的图象上， 则( ) A. y3 > y2 > y1 B. y2 > y1 > y3 C. y1 > y3 > y2 D. y3 > y1 > y2 A 感悟新知 知2－讲 知识点 二次函数 y=ax2 的图象与性质 2 1. 二次函数y=ax2(a ≠ 0)的图象与性质 感悟新知 知2－讲 二次函数 a ＞ 0 a ＜ 0 图象 图象形状 抛物线 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴(或直线x=0) 顶点坐标 (0，0) 感悟新知 知2－讲 增减性 在对称轴的左侧，即x＜ 0时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即x＞0 时，y随x 的增大而增大 在对称轴的左侧，即x＜0时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即x＞0 时，y 随x 的增大而减小 最值 当x=0 时，y 最小值=0 当x=0 时，y 最大值=0 感悟新知 知2－讲 2. 抛物线y=ax2 中a 的作用 知2－讲 感悟新知 要点解读 1.判断二次函数的增减性的技巧： 以抛物线的对称轴为界，自左向右看，“上坡路”就是y随x的增大而增大，“下坡路”就是y随x的增大而减小。 2.在同一平面直角坐标系中，二次函数y=-ax2(a ≠0)与y=ax2(a ≠ 0)的图象关于x 轴对称。 知2－练 感悟新知 如图5-2-1，四个二次函数的图象分别对应：① y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2。已知①与③，②与④分别关于x轴对称。 例2 解题秘方：紧扣“a 的符号”及“|a| 的大小”采用数形结合思想进行解答。 知2－练 感悟新知 (1)比较a，b，c，d 的大小； 解：由抛物线的开口方向，知a>0，b>0，c<0，d<0。 由抛物线的开口大小，知|a|>|b|，|c|>|d|， 因此 a>b，c<d。所以a>b>d>c。 开口越大，二次项系数的绝对值越小。 知2－练 感悟新知 (2)说明a 与c，b 与d 的数量关系。 解：因为①与③，②与④分别关于x 轴对称， 所以①与③，②与④的开口大小相同，方向相反。 所以a+c=0，b+d=0。 知2－练 感悟新知 2-1. 若二次函数 y=axa2-2 的图象开口向下，则a 的值为 ( ) A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 2-2. 抛物线y= x2，y= -4x2，y=-x2，y=5x2 中开口最大的是 ( ) A. y= x2 B. y=-4x2 C. y=-x2 D. y=5x2 B A 知2－练 感悟新知 已知函数y=(m+2)xm2+m-4 是关于x的二次函数。 例3 解题秘方：按对称轴的左、右两侧，分x>0 和x<0 两种情况讨论函数的增减性。 知2－练 感悟新知 (1)求满足条件的m的值。 解：由题意，得m2+m- 4 = 2 ， m+ 2 ≠ 0， 解得m=2 或m=-3。 ∴当m=2 或m=-3 时，该函数为二次函数。 知2－练 感悟新知 (2)当m为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 解：若其图象有最低点，则抛物线的开口向上， ∴m+2>0，即m>-2。∴m=2。 ∵这个最低点为抛物线的顶点， ∴当m=2时，其图象有最低点，最低点的坐标为(0，0)。 当x>0 时，y 随x 的增大而增大。 知2－练 感悟新知 (3)当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 解：若函数有最大值，则抛物线的开口向下， ∴m+2<0，即m<-2。∴m=-3。 ∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，顶点坐标为(0，0)， ∴当m=-3 时，函数有最大值0。 当x>0 时，y 随x 的增大而减小。 知2－练 感悟新知 3-1. 已知二次函数y=(2-a)xa2-14，在其图象对称轴的左侧，y 随x的增大而减小，则a 的值为( ) A. 4 B.±4 C. -4 D. 0 C 知2－练 感悟新知 3-2. 关于二次函数y=ax2(a ≠ 0)的说法： ① x ＞ 0 时，y 随x 的增大而增大； ② a越大，图象开口越小； ③图象的对称轴是y 轴； ④当a ＞0 时，若A(x1， y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两点，且满足x1 < x2 < 0，则y1 ＞ y2 ＞ 0。 其中正确的是________(填序号)。 ③④ 知3－讲 感悟新知 知识点 二次函数 y=ax2+c 的图象与性质 3 二次函数 y=ax2+c 的图象与性质 感悟新知 知3－讲 y=ax2+c a>0 a<0 c>0 c<0 c>0 c<0 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) 对称轴 y 轴(或直线x=0) 感悟新知 知3－讲 增减性与y= ax2 相同 当x<0 时，y 随x 的增大而减小；当x>0 时，y随x 的增大而增大 当x<0 时，y 随x的增大而增大；当x>0 时，y 随x的增大而减小 最值 当x=0 时，y 最小值=0 当x=0 时，y 最大值=0 感悟新知 知3－讲 平移规律口诀 上加下减，纵变横不变。 1. 当c>0 时： 感悟新知 知3－讲 2. 当c<0 时： 3. 形如y=ax2+c(a≠0)的二次函数抛物线顶点在y 轴上。 知3－练 感悟新知 【母题 教材P134随堂练习T2】画出函数y=-x2+1 与 y=-x2-1 的图象，并根据图象回答下列问题。 例4 解题秘方：紧扣抛物线y=ax2+c 与抛物线 y=ax2 间的关系及图象的平移规律解答。 知3－练 感悟新知 (1)抛物线y=-x2+1 经过怎样的平移能得到抛物线y=-x2-1 ？ 解：列表如下： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y= -x2+ 1 … -8 -3 0 1 0 -3 -8 … y= -x2- 1 … -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 … 知3－练 感悟新知 描点、连线，即得到这两个函数的图象，如图5-2-2。 知3－练 感悟新知 (1)由图象可以看出，抛物线y=-x2+1 向下平移2 个单位长度能得到抛物线 y=-x2-1。 知3－练 感悟新知 (2)对于函数 y=-x2+1，其图象与 x 轴的交点的坐标是_____________ ，对称轴是________ ，顶点坐标是_______。 (-1，0)，(1，0) y 轴 (0，1) 知3－练 感悟新知 4-1. 二次函数y=-x2-2的图象大致是( ) D 知3－练 感悟新知 4-2. 把抛物线 y=ax2+c向上平移4 个单位长度，得到的抛物线的表达式为y=-2x2， 则a，c 的值分别为( ) A. 2，4 B. -2，-4 C. -2，4 D. 2，-4 B 感悟新知 知4－讲 知识点 二次函数 y=a(x-h)2 的图象与性质 4 1. 二次函数 y=a(x-h)2的图象与性质 感悟新知 知4－讲 函数 y=a(x-h)2(a＞0) y=a(x-h)2(a＜0) 图象 顶点坐标 (h，0) 对称轴 直线 x=h 顶点位置 当h>0 时，顶点在y轴的右侧(即x轴的正半轴上)； 当h<0 时，顶点在y轴的左侧(即x轴的负半轴上) 开口方向 向上 向下 感悟新知 知4－讲 增减性 当x<h 时，y 随x 的增大而减小；当x>h 时，y 随x 的增大而增大 当x<h 时，y 随x 的增大而增大；当x>h 时，y 随x 的增大而减小 最值 当x=h 时，y 最小值=0 当x=h 时，y 最大值=0 感悟新知 知4－讲 2. 二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数 y=ax2 的图象的关系它们的形状(开口大小、方向)相同，只是位置不同，二次函数y=a(x-h)2 的图象可由二次函数y=ax2 的图象左右平移|h| 个单位长度得到。 知4－讲 感悟新知 特别解读 平移规律：左加右减，横变纵不变。 1. 当h<0 时： 知4－讲 感悟新知 2. 当h>0 时： 3. 形如y=a (x-h)2 (a≠0)的二次函数抛物线顶点在x 轴上。 知4－练 感悟新知 【母题 教材P135随堂练习T1 】在同一平面直角坐标系中，画出函数y= x2，y= (x+1)2与y= (x-1)2 的图象，并根据图象回答下列问题： 例5 思路导引： 知4－练 感悟新知 解：列表： x … －2 －1 0 1 2 … y=x2 … 2 0 2 … y=(x＋1)2 … 0 2 … y=(x－1)2 … 2 0 … 知4－练 感悟新知 描点、连线即得这三个函数的图象，如图 5-2-3 所示。 知4－练 感悟新知 (1)抛物线y= x2 向_____平移_____个单位长度，可得到抛物线y= (x+1)2； (2)抛物线y= x2 向_____平移_____个单位长度，可得到抛物线y= (x-1)2； 左 1 右 1 知4－练 感悟新知 (3)对于函数y= (x+1)2，当x= _____时，y取最_____值，为 _____ ； (4)抛物线y= (x-1)2 的开口向_____ ，对称轴是_______ ，顶点坐标是_____ ，当x> ____ 时，y随x的增大而增大。 -1 小 0 上 直线 x=1 (1，0) 1 知4－练 感悟新知 5-1.[月考·温州] 将抛物线y=x2 向左平移 5 个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式是( ) A. y=-x2+5 B. y=x2+5 C. y=(x-5)2 D. y=(x+5)2 D 知4－练 感悟新知 5-2. 对于二次函数y= -2(x+1)2 的图象， 下列说法错误的是 (　　) A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=-1 C. 当x<-1 时，y 随x 的增大而增大 D. 与x 轴有两个交点 D 知4－练 感悟新知 5-3. 顶点坐标为(6，0)， 开口向上，形状与函数y = - x 2 的图象相同的抛物线对应的函数表达式为______________。 知4－练 感悟新知 5-4. 若抛物线y=3(x+2)2 的图象上有三个点A(-3，y1)，B(0，y2)， C(1，y3)，则y1，y2，y3 的大小关系为__________。 y3>y2>y1 知5－讲 感悟新知 知识点 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象与性质 5 1. 二次函数y=a(x-h)2+k 的图象与性质 感悟新知 知5－讲 函数 y=a(x-h)2+k(a>0) y=a(x-h)2+k(a＜0) 图象 感悟新知 知5－讲 函数 y=a(x-h)2+k(a>0) y=a(x-h)2+k(a＜0) 顶点坐标 (h，k) 顶点位置 当h>0，k>0 时，顶点在第一象限；当h<0，k>0 时，顶点在第二象限；当h<0，k<0 时，顶点在第三象限；当h>0，k<0 时，顶点在第四象限 对称轴 直线x=h 开口方向 向上 向下 最值 当x=h 时，y 最小值=k 当x=h 时，y 最大值=k 感悟新知 知5－讲 2. 二次函数y=a(x-h)2 +k 的图象与二次函数y=ax2的图象的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是位置不 同；二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象可由二次函数y=ax2的图象平移得到，如图5-2-4。 感悟新知 知5－讲 2. 二次函数y=a(x-h)2 +k 的图象与二次函数y=ax2的图象的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是位置不 同；二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象可由二次函数y=ax2的图象平移得到，如图5-2-4。 感悟新知 知5－讲 感悟新知 知5－讲 特别解读 1. 从y=a(x-h)2+k(a≠0)中可以直接得出抛物线的顶点坐标为(h，k)，所以通常把它称为二次函数的顶点式。 2. 将二次函数y=ax2的图象左、右平移|h| 个单位长度得到二次函数y = a(x-h)2 的图象，再将二次函数y=a(x-h)2的图象上下平移|k|个单位长度得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象。 感悟新知 知5－讲 3. a 确定二次函数图象的开口方向和开口大小，h 确定二次函数图象的对称轴的位置。 4. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，左右平移时，只针对x 进行变化，而上下平移时，只针对常数k 进行变化，可简记为左加右减自变量，上加下减常数项。 知5－练 感悟新知 已知抛物线 y=a(x-h)2+k 是由抛物线y=-x2向上平移2 个单位长度，再向右平移1 个单位长度得到的。 例6 解题秘方：紧扣特殊形式的二次函数间的关系进行解答。 知5－练 感悟新知 (1)求出 a，h，k 的值。 解：∵抛物线y=- x2 向上平移2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后得到的抛物线是y=- (x-1)2+2， ∴ a=- ，h=1，k=2。 知5－练 感悟新知 (2)在同一平面直角坐标系中，画出 y=a(x-h)2+k 与y=- x2 的图象。 解：函数 y=-(x-1)2+2 与y=-x2 的图象如图 5-2-5 所示。 知5－练 感悟新知 (3)观察 y=a(x-h)2+k 的图象，当x______时，y随x的增大而增大； 当 x ______ 时，函数有最______值，最______值是______ 。 (4)观察y=a(x-h)2+k的图象，对于一切x的值，y的取值范围是什么？ <1 =1 大 大 2 由图象知，对于一切x 的值，总有y ≤ 2。 知5－练 感悟新知 6-1. 将抛物线 y=(x-2)2-4 向右平移2 个单位长度，再向上平移1个单位长度后的抛物线的顶点坐标为( ) A.(4，-3) B.(0，-3) C.(3，-2) D.(-3，-2) A 知5－练 感悟新知 6-2. 二次函数y=(x-m)2-1， 当x≤3 时，y 随x的增大而减小，则m 的取值范围是______。 m≥3 感悟新知 知6－讲 知识点 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质 6 1. 二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a，b，c 为常数，a ≠ 0)与二次函数y=a(x-h)2 +k的互化：y=ax2+bx+c=a(x+)2+ 。 感悟新知 知6－讲 2. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象的画法 把二次函数y=ax2+bx+c 化成 y=a(x-h)2+k 的形式。 方法一：描点法。利用顶点、对称轴、与x 轴、y 轴的交点画图象。 方法二：平移法。作出二次函数 y=ax2 的图象，然后平移，使其顶点平移到点(h，k)处。 感悟新知 知6－讲 3. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质 感悟新知 知6－讲 函数 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a ≠ 0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=- 顶点坐标 (-，) 感悟新知 知6－讲 增减性 当x<- 时，y 随x 的增大而减小；当 x>- 时，y 随x 的增大而增大 当x<- 时，y 随x 的增大而增大； 当x>- 时，y 随x 的增大而减小 最值 当x=- 时，y最小值= 当x=- 时，y 最大值= 知6－讲 感悟新知 活学巧记 曲线名叫抛物线， 线轴交点是顶点，顶点纵标是最值， 如果要画抛物线，描点平移两条路。 提取配方定顶点，平移描点皆成图。 列表描点后连线，五点大致定全图。 若要平移也不难，先画基础抛物线， 顶点移到新位置，开口大小都不变。 知6－练 感悟新知 【母题 教材P138随堂练习T1】已知抛物线y=2x2-4x-6。 例7 解题秘方：把抛物线表达式转化为顶点式，求出抛物线的对称轴、顶点坐标和增减性；类比求一次函数图象与坐标轴的交点坐标的方法，求图象与 x 轴的交点坐标，令 y=0，再解方程；求图象与 y 轴的交点坐标，令x=0，再代入求值。 知6－练 感悟新知 (1)求抛物线的对称轴和顶点坐标。 解：y=2x2-4x-6=2(x2-2x)-6=2(x-1)2-8， 所以抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-8)。 知6－练 感悟新知 (2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标。 解：令y=0，得2x2-4x-6=0，解得x1=-1，x2=3。 所以抛物线与x 轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)。 令x=0，得y=-6。所以抛物线与y轴的交点坐标为 (0，-6)。 知6－练 感悟新知 (3)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 解：当x>1 时，y 随x 的增大而增大。 知6－练 感悟新知 7-1. 已知二次函数y=2x2-4x+5，当函数值y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是( ) A. x ＜ 1 B. x ＞ 1 C. x ＜ 2 D. x ＞ 2 7-2. 已知二次函数y=x2- 4x+m 的最小值是-2，则m的值为_________ 。 B 2 二次函数的图象 二次函数 的图象 开口方向 对称轴 增减性 顶点 各抛物线之间 的平移规律 课堂小结 y＝(x－6)2 $