5.1认识二次函数 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件围绕“认识二次函数”展开，涵盖定义、三要素、特殊形式及建模步骤，通过对比一次函数导入，以“逐点导讲练”为支架，衔接前后知识，帮助学生从已知过渡到新知。 其亮点在于结合童装销售、正方形面积等实例，通过辨析定义（如例1判断函数类型）和建模应用（如例2利润计算），培养数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识）。采用讲练结合与课堂小结，助力学生理解应用，教师教学更具针对性。

1 认识二次函数 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 二次函数的定义 建立二次函数模型表示变量间的关系 知1－讲 感悟新知 知识点 二次函数的定义 1 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y 之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，那么称y是x的二次函数。其中，x 是自变量，a，b，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 感悟新知 2. 确定二次函数的“三要素” (1)含有自变量的代数式必须是整式； (2)化简后自变量的最高次数是2； (3)二次项系数不等于0。 知1－讲 感悟新知 特别解读 二次函数的特殊形式： 1.只含二次项，即y=ax2(a ≠ 0，b=0，c=0)； 2.不含一次项，即y=ax2+c(a ≠ 0，b=0，c ≠ 0)； 3.不含常数项，即y=ax2+bx(a ≠ 0，b ≠ 0，c=0)。 知1－讲 知1－练 感悟新知 【母题 教材P130随堂练习T1】下列函数表达式中一定为二次函数的是( ) A. y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C. s=2t2-2t+1 D. y=x2+ 例1 知1－练 感悟新知 解题秘方：紧扣二次函数的定义识别，y=ax2+bx+c(a ≠ 0)是二次函数，注意二次函数等号左右两边都是整式。 解：y=3x-1 是一次函数，故A 错误； y=ax2+bx+c 不一定是二次函数，故B 错误； s=2t2-2t+1 是二次函数，故C 正确； y=x2+不是二次函数，故D 错误。 a是不是0未知。 不是整式。 答案：C 知1－练 感悟新知 1-1.下列函数中，y 一定是x 的二次函数的是( ) A. y= B. y=(x+3)(x-3) C. y=-(x+5)2+x2 D. y=ax2+bx+c B 感悟新知 知2－讲 知识点 建立二次函数模型表示变量间的关系 2 建立二次函数模型的一般步骤 (1)审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言。 (2)找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式。 (3)列二次函数表达式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示并把它整理成二次函数的一般形式。 知2－讲 感悟新知 特别提醒 1.建立二次函数的模型与建立一元二次方程的模型类似，不同的是需将它转化为用含一个未知数(自变量)的代数式表示另一个未知数(函数)的形式。 2.自变量的取值范围应使实际问题有意义。 知2－练 感悟新知 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件。为了促销，该网店决定降价销售。市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖30件。已知该款童装每件的成本价为40元，设该款童装每件的售价为x元，每星期的销售量为y件。 例2 解题秘方：紧扣销售量和销售利润的基本关系式解答。 知2－练 感悟新知 (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围。 解：y=300+30(60-x)=-30x+2 100(40 ≤ x ≤ 60)。 自变量x要满足实际意义： ①售价大于或等于成本价； ②式子中(60-x)大于或等于0。 知2－练 感悟新知 (2)设每星期的销售利润为W元，求W与x之间的函数表达式。 解：W=(x-40)(-30x+2 100)=-30x2+3 300x-84 000。 知2－练 感悟新知 (3)若每星期的销售利润为6 480元，则该款童装每件的售价为多少元？ 解：根据题意，得-30x2+3 300x-84 000=6 480。 解这个方程，得x1=58，x2=52。 答：该款童装每件的售价为58 元或52 元。 知2－练 感悟新知 2-1. 某公司投入80 万元(80 万元只计入第一年成本)研发费成功研发出一种新产品。公司按订单生产(产量= 销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6 元/ 件。此产品年销售量y(万件)与售价x(元/ 件)之间满足函数关系式y=-x+26。 知2－练 感悟新知 (1)求这种产品第一年的利润w(万元)与售价(x 元/ 件)之间的函数关系式； 解：w＝(x－6)(－x＋26)－80＝－x2＋32x－236。 知2－练 感悟新知 (2)若该产品第一年的利润为20 万元，求该产品第一年的售价是多少元/ 件。 解：当w＝20时，有20＝－x2＋32x－236， 解得x1＝x2＝16。 答：该产品第一年的售价是16元/件。 知2－练 感悟新知 两个正方形的周长之和是24 cm，其中一个正方形的边长为x cm。若两个正方形的面积之和为y cm2，则y 与x之间的函数关系式是( ) A. y=2x2-48x+576 B. y=17x2-192x+576 C. y=2x2-12x+36 D. y=17x2-48x+36 例3 解题秘方：用含x 的式子表示出另一个正方形的边长，再由正方形面积公式计算即可。 知2－练 感悟新知 解：∵其中一个正方形的边长为x cm， ∴其中一个正方形的周长为4x cm。 ∴另一个正方形的周长为(24-4x) cm。 ∴另一个正方形的边长为(24-4x)÷4=(6-x)cm。 ∴两个正方形的面积之和y=x2+(6-x)2=2x2-12x+36。 答案：C 知2－练 感悟新知 3-1. 在△ ABC 中，已知 边BC 的长为x(x> 0)，BC 边上的高比BC 长的2 倍多1，则三角形的面积y 与x 之间的函数关系式为( ) A. y= x(2x-1) B. y=- x(2x-1) C. y=x2+ x D. y=-x2- x C 认识二次函数 二次函数 定义 三要素 表达式 y=ax2(a ≠ 0) y=ax2+c(a≠ 0) y=ax2+bx(a ≠0) y=ax2+bx+c(a ≠0) 课堂小结 $