25.3 课时2 传播问题与平均增长率问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”，核心内容为传播问题（传染、分支）和平均增长率问题，通过传染病传播、植物分支等具体问题导入，衔接一元二次方程解法，以问题探究、列表分析为支架引导学生抽象数量关系。 其亮点是以“问题链”驱动探究，结合成本下降率比较等实例，培养数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。通过归纳公式、分类小结梳理知识，帮助学生构建体系，教师可直接应用实例提升教学效率。

25.3 实际问题与一元二次方程 课时2 传播问题与平均增长率问题 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.能正确分析实际问题中的数量关系，并列出一元二次方程解决相关实际问题. 2.通过解决“传播问题”，“平均增长率问题”，体验建立方程模型解决问题的一般过程. 学习目标 BY YUSHEN 22051 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 传染源记作A，其传染示意图如下： 问题1：某种传染病的传播速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 探究1：传播问题 新知探究 BY YUSHEN 22051 第2轮 ••• A 1 2 x 第1轮 第1轮传染后人数 x+1 A 第2轮传染后人数 x(x+1)+x+1 注意：不要忽视A的二次传染 新知探究 BY YUSHEN 22051 x1= , x2= . 根据示意图，列表如下： 解方程，得 答：平均一个人传染了________个人. 10 -12 (不合题意,舍去) 10 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. (1+x)2=121 注意：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验. 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2 根据题意，得 新知探究 BY YUSHEN 22051 第2种做法 以第2轮传染后的人数121为传染源，传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331人. 第一轮传染后的人数 第二轮传染后的人数 第三轮传染后的人数 (1+x)1 (1+x)2 第1种做法 以1人为传染源，3轮传染后的人数是： (1+x)3=(1+10)3=1331人. (1+x)3 思考1：按照这样的传染速度, 经过三轮传染后共有多少个人被传染?由此体会阻断病毒传播的必要性. 新知探究 BY YUSHEN 22051 思考2：观察上面的式子你发现了什么？并回答n轮传染后有多少人被传染? 发现了是第几轮传染后的人数就是(1+x)的几次方， 所以第n轮传染后的人数就是(1+x)n人. 新知探究 BY YUSHEN 22051 问题2：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？ 只有1个主干 1个主干产生 x个支干 1个支干产生x个小分支，所以x个支干会产生(x· x)个小分支 解：设每个支干长出x个小分支. 列方程 1 + x + x · x=91. 解方程，得x1 = 9，x2 = -10 (不合题意，舍去). 答：每个支干长出9个小分支. 新知探究 BY YUSHEN 22051 问题：两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 分析：甲种食品成本的年平均下降额为 (100006000)÷2＝2000 (元)， 乙种食品成本的年平均下降额为 (120007200)÷2＝2400 (元). 显然，乙种食品成本的年平均下降额较大. 但年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）. 探究2：平均变化率问题 新知探究 BY YUSHEN 22051 设甲种食品成本的年平均下降率为 两年前甲种食品成本 一年后甲种食品成本 两年后甲种食品成本 第一次下降率是 第二次下降率是 问题：两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 设甲种食品成本的年平均下降率为 ，则一年后甲种食品成本为元, 两年后甲种食品成本为元，于是有 =6000 解方程，得 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为. 0＜下降率＜ 1 问题：两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 设乙种食品成本的年平均下降率为 ，则一年后乙种食品成本为元, 两年后乙种食品成本为元，于是有 =7200 解方程，得 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为. 综上所述，甲乙两种食品成本的年平均下降率相同，都是. 问题：两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 甲乙两种食品的平均下降率相同；成本下降额较大的食品， 它的成本下降率不一定较大. 不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率. 年平均下降额 年平均下降率 甲 乙 新知探究 BY YUSHEN 22051 若平均增长(或降低)百分率为 x ， 增长(或降低)前的量是 a ， 增长(或降低) n 次后的量是 b ， 则它们的数量关系可表示为: . 其中增长用“+”表示，降低用“－”表示. 归纳 BY YUSHEN 22051 例1 ：小明同学在2024年秋季升入七年级时的身高是140 cm，小林同学在2024年秋季升入七年级时的身高是145 cm；在2026年秋季升入九年级时小明同学的身高是169.4 cm，小林同学的身高是170 cm，小明和小林谁身高的年平均增长率更大呢？ 解：设小明同学身高的年平均增长率为 x ，小林同学身高的年平均增长率为 y ，则可列得方程：140(1 + x)2 = 169.4 ①，145(1 + y)2 = 170 ②. 解方程①，得 x1 = 0.1 = 10%，x2 = - 2.1 (不符合题意，舍去). 解方程②，得 y1 ≈ 0.08 = 8%，y2 ≈ - 2.08 (不符合题意，舍去). 因为10% ＞ 8%，所以小明同学身高的年平均增长率更大. 典型例题 BY YUSHEN 22051 传播、平均变化率问题 平均变化率问题 下降率问题：基数为 , 下降率为 传播问题 传染传播问题：如果最初有个人感染，每轮传染中平均一个人了 个人，那么 轮传染后有 被传染 树干分支问题：如果主干长出 个支干，每个支干又长出个小分支，那么主干、支干和小分支总共有个. 第次下降 0＜下降率＜ 1 增长率问题：基数为 , 增长率为 次增长 增长率 ＞ 0 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1.有一株月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是 73，设每个支干长出 x 个小分支，根据题意可列方程为( ) B A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73 C.1+x2 =73 D.(1+x)2=73 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 2.电脑病毒感染的传播非常快，如果开始有 6 台电脑被感染，经过两轮感染后共有 2 400 台电脑被感染. 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑. 答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑. 解得x1=19 或 x2= -21 (舍去) 依题意得 6+6x+6x (1+x) =2 400 6 (1+x)2 =2 400 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 解：设该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为. 根据题意，得 整理，得 解得 不合题意，所以 答：该厂6月份、7月份产量的月平均增长率为20%. 3.某磷肥厂去年4月份生产磷肥500 t；因管理不善，5月份的磷肥产量减少了10%；从6月份起强化了管理，产量逐月上升，7月份产量达到648 t.求该厂6月份、7月份产量的月平均增长率. 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 4.某商场以每件25元的进价购进一批商品，售价定为每件40元，3月份销售250件，4月份、5月份该商品的销售量持续降低，在售价不变的前提下，5月份的销售量为160件. （1）求 月份该商品销售量的月平均下降率. 解：(1)设月份该商品销售量的月平均下降率为 . 根据题意，得 . 解得， （不合题意，舍去）. 答：月份该商品销售量的月平均下降率为 . 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 20 （2）从6月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客.经调查发现，基于5月份该商品的销售情况，当每件售价每降低1元时，月销售量就增加5件. 当该商品每件降价多少元时，商场销售该商品的月利润能达到2 100元? (2)设当商品每件降价 元时，商场销售该商品的月利润能达到2100元. 根据题意，得 解得 ， （不合题意，舍去）. 答：当该商品每件降价3元时，商场销售该商品的月利润能达到2100元. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 21 $