25.3实际问题与一元二次方程（第2课时传播、下降率问题）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的传播问题与下降率问题，通过回顾几何问题“审设列解验答”步骤，对比静态与动态数量关系，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生理解两类问题的数量关系差异。 其亮点在于分步拆解传播过程、对比下降额与下降率，培养抽象能力和推理意识，构建 \(a(1±x)^n\) 统一模型体现模型观念，结合诺如病毒传播、商品降价等实例增强应用意识。学生能提升分析问题能力，教师可获得结构化教学资源以提高教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 25.3.2 传播、下降率问题 学 习 目 标 1 2 3 能根据传播问题、下降率问题中的数量关系列出一元二次方程并正确求解. 理解并掌握两类问题的基本数学模型，能根据实际意义检验解的合理性. 经历分步拆解传播过程、对比计算下降额与下降率的过程，提升分析问题和逻辑推理能力. 新课引入 思考 上节课我们学习了用一元二次方程解决几何图形问题，你还记得解决这个问题我们经历了哪几个步骤？ 解决实际问题的步骤：审、设、列、解、验、答 这个问题中的数量关系是什么？ 矩形面积 = 长 × 宽，是基于图形公式的静态数量关系. 本节课我们就来学习实际问题中的——传播问题、下降率问题 在生活中，除了几何问题，还有很多动态变化的现象，比如传染病的传播、消息的扩散、商品价格的涨跌等。这些问题的数量关系和几何问题有什么不同？ 3 新知探究 探究一：传播问题 探究 某种传染病的传染速度很快，如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 传染源 1 人 【分析】 假设1 个传染源每人传染 人 第一轮被传染者 人 第二轮被传染者 人 第一轮 第二轮 第二轮 想一想 第二轮为什么会有个人？ 4 新知探究 思考 两轮后总患者数为多少？ 第一轮被传染的人在第二轮会成为新的传染源，因此第二轮会有个人，这是传播问题呈指数级增长的根本原因. 两轮后总患者 = 初始 1 人 + 第一轮新增 人 + 第二轮新增 人 整理后得 解方程得 想一想 这两个解都是满足题意吗？ 传染人数不能为负数，因此舍去 最终每轮平均 1人传染 10 人。 5 新知探究 思考 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人被传染？ 两轮后 121 人 第三轮新增人 三轮后共人 或者直接用模型人 从1人到 1331 人仅用了三轮，这说明了什么？ 想一想 6 知识小结 思考 传播问题中的数量有什么关系呢？ 如果初始有 个传染源，每轮平均 1 人传染 人，经过 轮传染后 有 个人被传染 传染病模型演示器 强调：为初始量 为每轮平均增长率(传染数) 为增长轮次。 点击图标演示 7 新知巩固 传播类问题 在化学老师的讲解下，小明同学第一个学会电解水实验，在接下来的分组实验课中，第一节课他教会了若干名同学，第二节课已经会做实验的同学每个人也教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了．问每个人一节课教会了多少名同学? 【详解】解：设每个人一节课教会名同学，则第一节课教会名同学，第二节课教会名同学， 根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：每个人一节课教会6名同学． 【分析】设每个人一节课教会名同学，则第一节课教会名同学，第二节课教会名同学，根据“经过两节课全班49人恰好都会做这个实验了”，可列出关于的一元二次方程. 8 新知探究 下降率问题模型 探究 两年前生产 甲种食品的成本是 10000 元，生产 乙种食品的成本是 12000 元。现在生产 甲种食品的成本是 6000 元，生产 乙种食品的成本是 7200 元。哪种食品成本的年平均下降率较大？ 想一想 乙的年平均下降额比甲大，是不是说明乙的成本下降得更快？ 甲年平均下降额： (10000-6000)÷2=2000 元； 乙年平均下降额： (12000-7200)÷2=2400 元 9 新知探究 设甲种食品成本的年平均下降率为 一年后甲的成本： 元 两年后甲的成本：元 列方程： 解得： 下降率不能大于 否则成本会变成负数，因此舍去 5，甲的年平均下降率约为 . 想一想 哪个解符合题意？为什么？ 10 新知探究 自主学习 独立完成乙种食品年平均下降率的计算 设乙的年平均下降率为 列方程 解得 （舍去） 乙的年平均下降率约为 。 得出结论：甲、乙两种食品成本的年平均下降率相同. 下降额大的食品，下降率不一定大。 下降额是绝对变化量，下降率是相对变化量，二者不能等同。 11 知识小结 思考 如果初始量为 ，平均下降率为 ，经过 次下降后，剩余量是多少？ 结合两个问题中的式子特征可以得出： 下降率问题基本模型： 想一想 对比传播问题的基本模型，你发现了什么？ 传播问题是 （增长） 下降率问题是 （减少） 二者本质上都是指数变化模型。 12 新知巩固 下降率问题 甲商品的原价为每件40元，现行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率． 解：设这种商品平均降价率是x，依题意得： ， 解得：，(舍去)； 故这个降价率为， 答：这个降价率为． 【分析】设调价百分率为，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件元，可列方程求解． 13 巩固训练1 传播问题 诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有81人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了8个人； 14 巩固训练1 传播问题 变式题 化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【详解】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 15 巩固训练2 下降率问题 某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 【分析】设每次降价的百分率，根据题意列出一元二次方程，求解并选取符合实际的值即可． 解：设每次降价的百分率为， 根据题意可得： 解得： （不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 16 变式题 巩固训练2 下降率问题 某商品售价为元，两次降价后售价为元，若设每次降价的百分率为，则下降率为多少？ 解：设每次降价的百分率为 ，原价 400 元，两次降价后为 256 元，可得 化简求解: 答: 每次降价的百分率为 20% . 17 课堂总结 本节课你学到了什么？ 18 感谢聆听! 19 $