25.2.3 因式分解法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的因式分解法，通过复习配方法和公式法解x²-3x+2=0，提出“还有其他解法吗”的问题，衔接已学知识，搭建新旧知识过渡的学习支架。 其亮点在于以物理上抛物体落回地面问题引入新知，培养数学眼光，通过归纳“一移二分三化四解”步骤和方法对比表格发展数学思维，结合圆形场地、三角形边长等实例强化模型意识。学生能高效掌握方法，教师教学更具针对性。

第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一元二次方程. 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 学习目标 BY YUSHEN 22051 ①配方法：把常数项移到方程的右边，得x2－3x＝－2． 两边都加上2，得x2－3x＋2＝－2＋2． 即2＝． 两边开平方，得x－＝±． 即x－＝，或x－＝－． ∴x1＝2，x2＝1． 问题 请用两种不同方法解一元二次方程：x2－3x＋2＝0． 复习导入 BY YUSHEN 22051 ②公式法：这里a＝1，b＝－3，c＝2． ∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝2，x2＝1． 还有其他解法吗？ 问题 请用两种不同方法解一元二次方程：x2－3x＋2＝0． 复习导入 BY YUSHEN 22051 问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过 x s离地面的高度(单位：m)为 10x - 5x2 . 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面? 分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m ，即 10x - 5x2 = 0 ① 新知探究 BY YUSHEN 22051 思考1：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？ 解：方程①的右边为0，左边可以因式分解，得 x (10 - 5x) = 0 10x - 5x2 = 0 ① 这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0. 我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0. 如果a·b=0， 那么a = 0，或b = 0. 新知探究 BY YUSHEN 22051 x (10 - 5x) = 0 所以 x = 0，或(10 - 5x) = 0 ② 所以，方程①的两个根是 x1 = 0，x2 = 2. 对于这两个根，x1 = 0 表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而 x2 = 2表示物体在抛离地面 2 s时落回地面. 新知探究 BY YUSHEN 22051 思考2：解方程①时，二次方程是如何降为一次的？ 10x - 5x2 = 0 x (10 - 5x) = 0 通过因式分解 归纳：可以发现上述解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 新知探究 BY YUSHEN 22051 　　因式分解法的理论依据：若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0． 　　实质：将一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程． 　　适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点：方程一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式． 归纳 BY YUSHEN 22051 解：（1）因式分解，得 (x－2)(x＋1)＝0． 于是得 x－2＝0，或x＋1＝0． x1＝2，x2＝－1． 例1：解下列方程： （1）x(x－2)＋x－2＝0；（2）5x2－2x－ ＝x2－2x＋ ． 典型例题 BY YUSHEN 22051 解：（2）移项、合并同类项，得 4x2－1＝0． 因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0． 于是得 2x＋1＝0，或2x－1＝0， x1＝－，x2＝． 例1：解下列方程： （1）x(x－2)＋x－2＝0；（2）5x2－2x－ ＝x2－2x＋ ． 典型例题 BY YUSHEN 22051 讨论：你能根据例 1 的解题过程，总结出用因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？ 第1步：移项，将方程的右边化为 0； 第2步：将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式； 第3步：令每个因式等于0，转化为两个一元一次方程； 第4步：解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的根． 简记为一移二分三化四解． 新知探究 BY YUSHEN 22051 想一想: 学习了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 思路：都是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程解决. 方法 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开 平方法 ( mx ＋ n )2＝ p ( m ≠0， p ≥0) 开平方 求解迅速，但只适用于一些特殊的方程 配方法 所有的一元二次方程 配方 当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可优先用此法 公式法 所有的一元二次方程 代入求 根公式 计算量大，易出现符号错误 因式分 解法 适用于等号左边是两个一次因式的积，右边是0的方程 分解因式 求解迅速，但适用范围较小 BY YUSHEN 22051 例2：将下列序号填到对应的横线上. ① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t 2 + t = 0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . ② ⑥ ③ ⑤ ⑨ ① ⑦ ⑧ ④ 典型例题 BY YUSHEN 22051 因式分解法解一元二次方程 定义 方法 步骤 利用因式分解来解一元二次方程的方法 一移二分三化四解 提公因式法，逆用平方差公式和完全平方公式 课堂小结 BY YUSHEN 22051 1. 一元二次方程 x2 - 2x＝0的解是(　　) A. x1＝3，x2＝1 B. x1＝2，x2＝0 C. x1＝3，x2＝-2 D. x1＝ - 2，x2＝ - 1 B 2. 已知关于x的方程x2＋px＋q＝0有两个根6和－2，那么二次三项式x2＋px＋q可分解因式为(　　) A. (x＋6)(x＋2) B. (x＋6)(x－2) C. (x－6)(x－2) D. (x－6)(x＋2) D 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 解：化为一般式为 因式分解，得 x2－2x+1 = 0. ( x－1 ) 2 = 0. 有 x － 1 = 0， x1=x2=1. 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0， 3.解方程： 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 (3)(x+1)2=5x+5； ∴x1=4，x2=-1． (4)x2-6x+9=(5-2x)2． 解：∵(x+1)2=5(x+1)， ∴(x+1)2-5(x+1)=0， 则(x+1)(x-4)=0， ∴x+1=0，或x-4=0， 解：方程整理得(x-3)2-(5-2x)2=0， 则[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0， ∴-x+2=0，或3x-8=0， x1=2，x2= . 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 4.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加到原来的2倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为r， 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π. 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径为 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 20 (2)一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程x2-13x+40=0的根，则此三角形的周长为________; 5.(1)已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是________; (3) 已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是________. 11或12 13 12 与三角形结合时，要考虑三角形的三边关系！ 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $