期末真题百练通关（112题35大常考题型）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册期末复习

**基本信息** 聚焦期末高频考点，以35大常考题型统领112道真题，系统整合几何与代数核心知识，强化概念应用与实际问题解决，培养数学眼光、思维与语言。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|约56题（含三角形内角和、平行四边形等）|涵盖基础证明、图形变换（平移/旋转）及跨学科应用（如试鞋镜光路图）|从三角形、四边形概念到中位线、垂直平分线性质，再到实际问题中的空间关系构建| |代数综合|约56题（含不等式、分式方程等）|包含性质辨析、运算求解及实际应用（如购物优惠、行程问题）|从不等式基本性质、因式分解方法到分式运算，再到用方程/不等式解决实际问题|

期末真题百练通关（112题35大常考题型） 选填题 题型1三角形内角和定理 题型12简单的图案设计 题型2等腰三角形 题型13因式分解 题型3直角三角形 题型14提取公因式 题型4线段的垂直平分线 题型15公式法 题型5角平分线 题型16分式及其基本性质 题型6不等式及其基本性质 题型17分式的运算 题型7一元一次不等式 题型18分式方程 题型8一元一次不等式与一次函数 题型19平行四边形的性质 题型9一元一次不等式组 题型20平行四边形的判定 题型10图形的平移 题型21三角形的中位线 题型11图形的旋转 解答压轴题（计算+解答） 题型22因式分解计算 题型29平移的认识及应用 题型23分式的混合运算 题型30旋转的认识及应用 题型24解分式方程 题型31因式分解的实际应用 题型25三角形内角和问题的应用 题型32分式混合运算的实际应用 题型26等腰及直角三角形的认识及实际应用 题型33分式方程解决实际问题 题型27线段垂直平分线及角平分线的认识及应用 题型34平行四边形的性质及判定的应用 题型28一元一次不等式（组）的实际应用 题型35三角形中位线的实际问题 题型1三角形内角和定理 1．如图，在四边形中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的定义得出，再利用四边形内角和定理列式计算即可求出的度数 ． 【详解】解： 四边形的内角和为，且 ． 2．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（   ） A．内角和增加 B．内角和增加 C．外角和增加 D．外角和增加 【答案】A 【分析】根据边形内角和公式为，任意多边形外角和恒为是解题关键，计算边数增加1后内角和的变化即可判断选项． 【详解】解：设原多边形为边形， 边形内角和为，边数增加后变为边形， 新多边形内角和为， 内角和增加的度数为， 故A选项正确； 又任意多边形的外角和恒为，边数增加时外角和不变， B、C、D选项错误． 3．如图，在中，，分别是上的点，点在的延长线上，，则_____． 【答案】100 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．洛阳明堂的底部是一个正八边形造型（如图1），图2是其抽象出的正八边形，连结，则的度数为________． 【答案】/45度 【详解】解：由题意得． 正八边形的内角和为， ， ． 题型2等腰三角形 5．如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，进而可得，再根据三角形外角定理可得的度数． 【详解】解：， ， 由翻折可知，又， ， ， ． 6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 7．如图，在中，，是的高，请你再添加一个条件使得，这个条件可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键．根据等腰三角形的判定与性质得到，，添加，证明为等边三角形得到，进而可得结论． 【详解】解：，是的高， 我，， 添加，可得为等边三角形， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 8．跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛到鞋底处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底处到镜子底端的距离为________． 【答案】 【分析】由， ，得，根据镜面的反射性质，得，由，得，得，进而利用勾股定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴（负值舍去）， 即淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为． 题型3直角三角形 9．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先根据折叠得到，，，，然后根据直角三角形的两个锐角互余以及折叠的性质，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 10．下列说法错误的是（    ） A．等腰三角形底边上的高所在的直线是底边的垂直平分线 B．两组边对应相等的两个直角三角形全等 C．如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半 D．有一个角等于的三角形是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形性质、直角三角形全等判定、含30°角的直角三角形性质和等边三角形的判定，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】解：选项A：∵等腰三角形三线合一，底边上的高平分底边， ∴等腰三角形底边上的高所在直线是底边的垂直平分线，A说法正确． 选项B：∵两组边对应相等的两个直角三角形，若为两条直角边可利用判定全等，若为斜边和一条直角边可利用判定全等， ∴B说法正确． 选项C：∵等腰三角形底角为， ∴顶角为，腰上的高在三角形外部，可得高与另一腰的延长线围成的直角三角形中，锐角为， ∵直角三角形中，角对的直角边是斜边的一半， ∴腰上的高是腰长的一半，C说法正确． 选项D：只有一个角等于的等腰三角形才是等边三角形，任意一个有一个角为的三角形不一定是等边三角形，因此D说法错误． 11．如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为_______． 【答案】/61度 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 题型4线段的垂直平分线 13．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为7，则的周长是（ ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据的周长为7，可得，从而可求出的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为7， ， ， ， 的周长 14．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】先由垂直平分线的性质得，，，再证明，故平分，进一步可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，，故A，C选项成立， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故B选项成立， 没有可证明的条件，故D选项不一定成立． 15．如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 16．如图，在中，，，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以的端点A，B为圆心、大于为半径画弧，使两弧相交于点M，N；（2）作直线交于点P，则的周长是______． 【答案】11 【分析】由作图可得垂直平分，则，再由三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：垂直平分， ∴， ∴的周长． 题型5角平分线 17．下列说法正确的是（    ） A．用反证法证明“”时，应假设“” B．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等． C．有一个角是的三角形是等边三角形． D．命题“若，则”的逆命题为“若，则” 【答案】D 【详解】解：A. ∵反证法证明时需要先假设结论的否定成立，原结论为，其否定为，∴本选项错误，不符合题意； B. ∵三角形三条角平分线的交点是内心，性质是到三边的距离相等，到三个顶点距离相等的是三角形三边垂直平分线的交点，∴本选项错误，不符合题意； C. ∵有一个角是的等腰三角形才是等边三角形，任意含角的三角形不一定是等边三角形，∴本选项错误，不符合题意； D. ∵逆命题的改写方法是将原命题的条件与结论互换，原命题条件为，结论为，互换后得到“若，则”，符合逆命题定义，∴本选项正确，符合题意． 18．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 19．如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点，，连接，平分，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质以及角平分线的判定得到，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 题型6不等式及其基本性质 21．若，则下列不等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质逐项判断即可，熟练掌握不等式的性质是解题的关键. 【详解】解：∵ ， 根据不等式性质：不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变；乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 对各选项逐一判断： A 不等式两边同时加，不等号方向不变，得，变形正确，不符合题意； B 不等式两边同时减，不等号方向不变，得，变形正确，不符合题意； C 不等式两边同时乘，是负数，不等号需改变方向，得，因此变形错误，符合题意； D 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，得，变形正确，不符合题意； 故选：C. 22．下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根、不等式的定义，属于基础题．先根据有理数的乘方、立方根的定义计算选项A、D，然后让每个选项与3比较即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 23．若关于的一元一次不等式的解集为，则必须满足的条件是______． 【答案】 【分析】根据解集的不等号方向变化，判断未知数系数的符号，进而求解的取值范围． 【详解】解：对于一元一次不等式，两边同时除以后，不等号方向改变，得到解集． 根据不等式的基本性质：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变， 可得， 解得． 24．已知，且为正整数，则的值可以是___________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了无理数的估算、不等式的解等知识点，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先估算得取值范围，再确定k的取值范围，然后根据不等式解的定义即可解答． 【详解】解：∵是整数； ∴是完全平方数； ∴， ∵为正整数， ∴或2或3． 故答案为：1（答案不唯一）． 题型7一元一次不等式 25．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A．3 B．5 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴被开方数满足 解得， 故选项B正确． 26．代数式中的取值范围在数轴上表示如图所示，则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据有意义得出，，再由数轴可得，即可得，即可求解． 【详解】解：根据有意义可得，解得， 根据有意义可得，解得， 由数轴可得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 27．某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．得分超过85分可以获一等奖．小锋在本次竞赛中获得了一等奖．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式：________． 【答案】 【分析】根据答对题数，答错或不答题数，结合得分规则和“得分超过85分”的不等关系，列出对应不等式． 【详解】解：已知答对道题，则答错或不答的题数为道，答对总得分为，答错或不答总扣分为， 由得分超过85分可得不等式：． 28．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为________________． 【答案】 【分析】根据前半小时工程量加上小时的工程量大于等于列不等式． 【详解】解：由题意得． 题型8一元一次不等式与一次函数 29．如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出m的值，再根据函数图象作答即可． 【详解】解：将代入得， 解得：， 根据函数图象可知，不等式的解集是． 30．甲、乙两家商店销售同一种产品，销售价y（元）与销售量x（件）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．购买少于2件时，在甲商店购买更合算 B．购买少于2件时，在乙商店购买更合算 C．购买少于4件时，在甲商店购买更合算 D．购买少于4件时，在乙商店购买更合算 【答案】A 【详解】解：买2件时，甲、乙两家售价一样，由图像可知，当购买数量时，甲、乙两家的函数图像相交于点，表示此时两家的售价均为4元． 根据函数图象可得：当，即购买少于2件时，在甲商店购买更合算． 31．如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】令，解得，令，解得，在同一坐标系中作出，结合图形即可得解． 【详解】解：由图象可得， 令，解得， 令，解得， 在同一坐标系中作出如图所示， 由图可知，若，则的取值范围为． 32．某社区游泳池每周检测水质，主要关注两项指标：游离氯浓度（单位：，保障消毒效果）和尿素浓度（单位：，反映水质卫生）．其中游离氯浓度和尿素浓度随泳池开放天数（单位：天）之间的关系如图所示，当游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准，此时游泳池最多可连续开放_____天（结果取整数）． 【答案】3 【分析】先求出，再根据游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准即可得到答案． 【详解】解：当时，，解得， ∴ ∵当游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准，此时， ∵根据题意，结果取最大整数， ∴游泳池最多可连续开放天． 题型9一元一次不等式组 33．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，由题意，得： . 34．把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（     ） A．3个 B．5个 C．4个 D．2个 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象平移规律得到平移后直线的解析式，再联立两直线解析式求出交点坐标，根据第二象限内点的横纵坐标特征列不等式组，求出m的取值范围，即可得到m可取的整数值个数. 【详解】解：直线向上平移个单位后，解析式为 联立两直线解析式得 ， 解得， ∴两直线交点坐标为， ∵交点在第二象限， ∴，解得； ∴可以取得的整数值为，共5个. 35．已知不等式组的解集为，则的值为______． 【答案】4 【分析】根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为 ∴， ∴， ∴． 36．对于定义了一种新运算，规定，关于的不等式组有且只有3个整数解，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据新定义化简关于a的不等式，根据不等式组有3个整数解，得到关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的不等式组可化为， 解不等式①得： ，即， 解不等式②得： ，即， 不等式组有且只有3个整数解，且， 整数解为 可得， 解得：． 题型10图形的平移 37．观察下列图案，在、、、四幅图案中，能通过图案（）的平移得到的是（    ）    （） A．   B．   C．    D．   【答案】B 【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：、属于旋转所得到，故错误； B、属于平移变换，故正确； 、属于旋转所得到，故错误； 、属于旋转所得到，故错误； 故选：． 【点睛】此题考查了图形的平移，解题的关键是熟记图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小． 38．有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：利用平移的思想，将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 花圃长米，宽米，道路宽米， 种花部分可拼接为长（米），宽（米）的长方形， 种花的面积是（平方米）． 39．点沿着动点所在的直线方向平移个单位长度到点，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】先求出动点运动所在直线的解析式，得到运动方向的直线的，再求出点平移所在直线的解析式，设出点的坐标，利用平移距离结合两点间距离公式列方程，求解即可得到点的坐标． 【详解】解：由动点，消去参数得所在直线解析式为， 可知运动方向与点平移方向相同，因此点平移所在直线， 设点平移所在直线解析式为，将代入得 ， 解得， 因此点平移所在直线解析式为． 设，由平移距离为，根据两点间距离公式得 ， 整理得 ，即， 解得或. 当时，，此时； 当时，，此时． 40．如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是______． 【答案】6 【分析】利用平移的性质可判断四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，然后由平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD，根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵平移折线AEB，得到折线CFD， ∴四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形， ∴折线AEB在平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD =AO•EF+BO•EF =EF（AO+BO） =EF•AB =[2-（-1）]×[1-（-1）] =6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形-平移，熟练掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等是解决问题的关键． 题型11图形的旋转 41．下列选项中，不能由如图在同一平面内经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换．根据把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换，可得答案． 【详解】解：A由图顺时针旋转得到，故A正确； B由图逆时针旋转得到，故B正确； C由图无法旋转得到，故C错误； D由图顺时针旋转得到，故D正确． 故选：C． 42．如图, 四边形中，，，，则四边形的面积为（　） A．9 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质． 根据已知线段关系，将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．证明C、B、E三点共线，则是等腰直角三角形，四边形面积转化为面积． 【详解】解：∵， ∴将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．    ∴． 根据四边形内角和，可得， ∴． ∴C、B、E三点共线． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∵四边形的面积面积； 故选：D． 43．如图，在平面直角坐标系中，、、、，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段与，与是对应点），则旋转中心的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，写字出直角坐标系中点的坐标，解题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心． 根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 44．如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 等边三角形的边长为8， ， ， ，， 是的中点， ， ， 线段绕点B逆时针旋转得到， ，， ， ，即， 在和中， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， ，， ， 线段长度的最小值是2， 故答案为：2． 题型12简单的图案设计 45．下边的图案是由下面五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠），这两种基本图形是（   ） A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 【答案】D 【分析】此题考查了平面图形的分割与组合，主要培养学生的观察能力和空间想象能力． 根据已知图形，利用分割与组合的原理对图形进行分析即可． 【详解】解：如图所示：图案是由五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠）， 这两种基本图形是②⑤． 故选：D． 46．小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】把这四种搭配进行组合，可得出如图的九个空格的形状，即为本题的选项． 【详解】解：∵将搭配①②③④组合在一起，正好能组合成九个空格的形状， ∴恰好能放入的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识． 47．以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有___（只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了几何变换的类型，根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可． 【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位， 或先绕着点旋转，再向右平移一个单位， 或绕着的中点旋转即可得到图（2）． 故答案为：②③④． 48．如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程_____________． 【答案】将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度 【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由△AOB得到△OCD的过程． 【详解】解：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△OCD， 故答案为：将△AOB顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度． 题型13因式分解 49．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式的右边不是积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意. 50．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【答案】C 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 51．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③④ 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的对象是多项式，结果是几个整式的积，与整式乘法互为逆运算是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各等式变形是否符合定义． 【详解】解：等式①左边为积的形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 等式②左边为单项式，不是多项式，不符合因式分解对象要求； 等式③左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式④左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式⑤右边不是积的形式，因此不是因式分解． 故答案为：③④． 52．若将多项式因式分解得，则的值为______． 【答案】 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 题型14提取公因式 53．因式分解代数式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】公因式是多项式各项都含有的公共因式，确定规则为：相同字母取最低次幂，乘积即为所求公因式． 【详解】解：∵ 多项式为，各项均含有的公共字母为和， 又∵在两项中的次数分别为和，最低次数为；在两项中的次数分别为和，最低次数为， ∴公因式为． 54．下列用提公因式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个选项提取公因式后，和选项给出的结果对比，即可得到正确答案． 【详解】解：A. ，本选项运算错误，不符合题意； B. ，本选项运算错误，不符合题意； C. ，分解结果正确，本选项运算正确，符合题意； D. ，本选项运算错误，不符合题意． 55．把多项式分解因式，应提取的公因式是______． 【答案】 【分析】先找各项系数的最大公因数，再找各项相同字母的最低次幂，将二者相乘即可得到公因式． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为和，其最大公因数为；各项所含字母中，两项都含有字母，的最低次幂为，只有第二项含有字母，因此公共字母部分为；将系数的最大公因数与公共字母部分相乘，可得公因式为． 56．若，则的值为______． 【答案】10 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型15公式法 57．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解定义（因式分解要求结果为几个整式的乘积形式）以及平方差公式，完全平方公式等知识内容，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、等式本身成立，但右边不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意． 58．若，，则的值为（     ） A．25 B．10 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题先对所求多项式因式分解，再代入已知条件计算，用到提取公因式法和完全平方公式． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 59．分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 60．在日常生活中经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．例如：将因式分解的结果为，取个人年龄作为x的值，当时，，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是______． 【答案】 151416（任意排列组成的六位数都正确） 【分析】先对多项式因式分解，再根据新定义的密码生成规则代入计算即可得到结果； 【详解】解：， ∵， 分别计算得： ，，， ∴他设置的密码可能是：151416． 题型16分式及其基本性质 61．若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴分母不能为， 可得， 解得． 62．下列四个代数式中，其中为分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断分式的依据是看代数式的分母是否含有未知数，是常数不是未知数，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项.的分母是常数； B选项.的分母中含有未知数，是分式； C选项.的分母是常数； D选项.是整式． 63．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【答案】1或2/2或1 【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值为正整数，得出的取值，从而得出x的值． 【详解】解：， 要使的值为正整数，则分母是2的约数，即的值可以为1，，2，， 当时，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数； 当，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数， ∵x为正整数， ∴或1． 64．把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 【答案】缩小为原来的 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的m和n都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 题型17分式的运算 65．化简的结果是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】解： 66．小蕊在作业本上写完一个题的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原题的一部分（被墨水遮住的部分用⊕代替），其计算过程为，则被墨水遮住部分⊕所表示的代数式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将⊕单独整理到等式一侧，利用分式运算法则计算即可，注意符号的处理和约分． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 即⊕表示的代数式为． 67．分式和的最简公分母是________． 【答案】 【分析】分别求出分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂，再将二者相乘得到最简公分母. 【详解】解：首先求分母系数的最小公倍数，和的最小公倍数为； 再确定各字母的最高次幂：的最高次幂为，的最高次幂为，单独出现的字母需要计入， 因此可得分式和的最简公分母是. 68．已知，则实数______． 【答案】 【分析】先将等式右侧通分．根据分式相等的条件得到分子对应相等．整理后利用多项式相等的性质得到关于的方程组．求解后代入计算即可得到结果． 【详解】解： ∵， ∴， 即， 整理得， 可知， 解得：， ∴． 题型18分式方程 69．若，那么的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：， ， ∴， 检验：当时，分母， 因此是原分式方程的解． 70．八年级学生去距学校的博物馆参观，按时到达学校的学生乘大巴先出发，后，晚来的学生乘出租车出发，结果他们同时到达．已知出租车的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，已知大巴车的平均速度为每小时x千米；根据题意列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先统一时间单位，再根据大巴与出租车的行驶时间差建立等量关系，即可列出方程. 【详解】解：∵大巴车平均速度为，出租车平均速度是大巴平均速度的倍， ∴出租车平均速度为， 根据时间，可得大巴行驶全程的时间为，出租车行驶全程的时间为， ∵大巴先出发，两车同时到达，且， ∴大巴行驶时间比出租车多， 因此列方程得：. 71．若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解后检验即可得到的值． 【详解】解：因为是分式方程的解，所以将代入原方程，得， 计算得： ， 整理得：， 经检验，当时，满足原方程分母不为0的条件，符合题意． 72．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个， 根据题意得，， 故答案为：． 题型19平行四边形的性质 73．在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，， ∴． 74．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点E，若，则的长为（     ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得，，再利用平行线的性质、角平分线的定义、等边对等角以及三角形内角和定理可得，易得，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 75．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，已知，则的周长为______． 【答案】16 【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明，，再求出，进而计算即可． 【详解】解：由知，，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长为． 76．如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 【答案】 【分析】首先设，由，，可求得，，然后由，可得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设， ∵等腰梯形中，，， ． ． ， ． ∵等腰梯形中，， ． ∵在中，， ， ， 解得， ． 题型20平行四边形的判定 77．在四边形中，对角线、交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A选项，，，该四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故A不符合题意； B选项，，，不能推出对角线互相平分，四边形不是平行四边形，故B不符合题意； C选项，，，该四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故C不符合题意； D选项，， ， ， ， ，两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 因此四边形是平行四边形，故D符合题意． 78．下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可． 【详解】解：如图： ① ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形，故①符合要求， ② 四边形内角和为，∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，故②符合要求， ③ ，仅说明邻边相等，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合要求． ④ ∵， ∴四边形是平行四边形，故④符合要求， 综上，符合条件的有个． 79．如下图，在四边形中，，添加一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据平行四边形的判定方法，可添加条件（或、等，合理即可）． 80．如图：等腰梯形中，，，，，的周长为12，则等腰梯形的周长是______． 【答案】16 【分析】先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，得到，求出，即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是等腰梯形， ， ． ， 是等边三角形， 的周长为12， ， ， 等腰梯形的周长． 题型21三角形的中位线 81．如图1是两个小朋友玩跷跷板的实物图，图2是其示意图，支柱垂直于地面，点，分别是，的中点，，那么小朋友在游戏中，点离地面的最大高度是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为垂直于地面，B点到地面的垂线也垂直于地面，所以，因为点，分别是，的中点，所以是的三角形中位线，即可建立与所求高度的数量关系． 【详解】解：由题意得，地面，地面，点A、C重合， ∴； 又点，分别是，的中点， ∴是的三角形中位线； ∴． 因此点离地面的最大高度是． 82．如图，两地被池塘隔开，小明想测量两地间的距离，但是不方便测量．于是想了个办法，他先选一个能直接到达的点，然后测出，的中点，．并且测得的长为18米，则，间的距离是（     ）． A．36米 B．27米 C．18米 D．9米 【答案】A 【分析】先说明是的中位线，再利用三角形的中位线等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 83．在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 【答案】 / 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分得出点为中点，再根据三角形中位线定理求出，的长及，与，的位置关系，进而求出的度数，判定为等边三角形即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ，， 点在边上， ， 同理可得是的中位线， ，， 点在边上， ， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 84．如图是一架人字梯及其侧面示意图，、为支撑架，为拉杆，D，E分别是、的中点．已知，则B、C两点之间的距离为______． 【答案】60 【分析】连接，根据三角形中位线定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵D，E分别是、的中点， ∴， ∵， ∴， 即B、C两点之间的距离为． 题型22因式分解计算 85．分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先提公因式，再由平方差公式分解因式即可； （2）先变形，再由完全平方公式分解因式，最后由平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 86．因式分解、用因式分解进行简便计算： （1）因式分解：； （2）用因式分解进行简便计算：． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解： ； （2）解： . 题型23分式的混合运算 87．已知，求的值． 【答案】 【分析】先化简分式，再根据二次根式有意义的条件求出、的值，再最后代入数值计算结果即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴，解得， ∴， ∴原式． 88．化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型24解分式方程 89．已知关于x的分式方程有增根，求a的值． 【答案】 【分析】首先表示出分式方程的解，然后求出增根，代入求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴是原方程的增根， ∴， ∴． 90．解分式方程：． 【答案】 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同时乘以去分母得：， 展开整理得， 解得； 检验：把代入， 故原分式方程的解为. 题型25三角形内角和问题的应用 91．如图，和均为等腰三角形，点，，在同一直线上，连接． （1）如图1，若． ①求证：； ②求的度数； （2）如图2，若，则与的位置关系是 （直接填空）． 【答案】（1）①见解析；② （2）垂直 【分析】（1）①先证，再结合等腰三角形两边相等，根据证，进而得；②由全等得对应角相等，结合对顶角相等，可证； （2）先证明，得对应角相等，结合对顶角相等，可证，得． 【详解】（1）①证明：， ， ，， ， 和均为等腰三角形， ，， 在和中， ， ， ． ②解： 如图，与交于点， ， ， ， ， ， ． （2）解：垂直，证明如下： 如图，与交于点， ， ，， ， 和均为等腰三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． ． 92．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；在中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点，易证，若，，则 ； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上，且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，连接，求的面积． 【答案】 （1）9；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由得到，进而得出结论； （2）先证明，从而得到，进一步得出结论； （3）延长，过点C作于P，先证明，得到，最后通过求得面积． 【详解】解：（1）， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． （3）延长，过点C作于P，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型26等腰及直角三角形的认识及实际应用 93．按要求完成下面各题． （1）如图①，在中，，，是上一点，过点作交延长线于点，连接，求的度数； 小硕的解题思路是，从出发，过点A作，通过构造全等三角形，证明等腰直角三角形求解，请你根据小硕的思路或自己的想法，写出解题过程． （2）如图②，在四边形中，，且，，连接对角线，，过点作交于点，为上一点，且，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）过点作交于点，证明 得到，然后利用等腰直角三角形的判定与性质可得结论； （2）过点作交延长线于点，证明得到，，，进而可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，随后证明，平分，再利用等腰三角形的三线合一得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明：过点作交于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，，， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴即． 94．如图，在平面直角坐标系中，点，． （1）作，求的长； （2）过点作交轴于点，求的面积； （3）如图在（）的条件下，点坐标为，满足，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【分析】（1）利用直角三角形的面积的不同表示方法列等积式即可求解； （2）设，利用勾股定理求出的坐标，进而面积可求； （3）取点，连接，过点作于点，通过论证，可得，则，进而利用，得到的值. 【详解】（1）解：∵，， ，， ； ∵， ∴， 即：， ； （2）解：如图，设， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ； （3）解：如图，取点，连接， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 在中， ， ， ∵ ， 在和中， ∵，， ， ， ∵，则， 在中，， ， 或． 题型27线段垂直平分线及角平分线的认识及应用 95．已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． （1）如图（1），如果，证明：． （2）如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，是的中点， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）证明：， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ． 96．在中，，点，分别是边，上的点，连接． （1）如图①，连接，若平分，，，，求的长； （2）如图②，点在边上运动，连接，已知，是的垂直平分线，交于点． （）判断与的位置关系，并说明理由； （）若，，，求的长． 【答案】（1）3 （2）（）；（） 【分析】（1）根据角平分线定理得到，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）（）根据等腰三角形的性质得到，由垂直平分线的性质得到，进而得到，进而得到，从而得到； （）连接，设，由（）知，、，在和中，利用勾股定理求出，列出等式，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：平分，， 设，则 在中， 解得 即的长为3； （2）解：（）， 是的垂直平分线 在中， ； （）连接，设， 由（）知，、 在中， 由勾股定理得： 在中，， 由勾股定理得： 解得 即的长为． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 题型28一元一次不等式（组）的实际应用 97．某校八年级班学生要去实验基地进行实践活动，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生六折优惠，乙旅行社表示可先免去两位同学的车费，然后给予其他同学七折优惠． （1）若用表示乘车人数，请用含的式子分别表示选择甲、乙旅行社所支付的费用与； （2）该班选择哪一家旅行社所支付的费用较少？ 【答案】（1） ， （2） 当乘车人数满足时，选择甲旅行社支付的费用较少；当时，两家旅行社支付费用相同；当时，选择乙旅行社支付的费用较少. 【分析】（1）根据甲、乙旅行社的优惠条件列出函数关系式； （2）分三种情况进行讨论． 【详解】（1）解：甲旅行社支付的费用是， 乙旅行社支付的费用是； （2）解：当时， 可得：， 解得：； 当时， 可得：， 解得：； 当时， 可得：， 解得：； 综上所述，当乘车人数满足时，选择甲旅行社支付的费用较少；当时，两家旅行社支付费用相同；当时，选择乙旅行社支付的费用较少. 98．综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少？ （2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 【答案】（1）奖品的单价是元，奖品的单价是元； （2），最少费用w的值是1125元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、不等式组的经济问题，正确理解题意是解题关键． （1）设、两种奖品的单价各是，由题意得：，据此即可求解； （2）由题意得：购买种奖品件，推出；根据即可确定最少费用的值． 【详解】（1）解：设、两种奖品的单价各是， 由题意得：， 解得：， ∴奖品的单价是元， 奖品的单价是元； （2）解：由题意得：购买种奖品件， 则； ∵，可得：， ∴当时， 题型29平移的认识及应用 99．如图，在平面直角坐标系中，点，，将点B先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点C． （1）请在图中画出点C的位置，并写出点C的坐标； （2）①连接，，，请直接写出线段的长度； ②判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）解： 如图所示，点即为所求； （2）①，，； ②是等腰直角三角形，理由： ∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论； （2）①根据勾股定理计算即可；②根据勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】（1）解：将点B先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点． （2）解：①由图形可得，，； ②略 100．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． （1）建立平面直角坐标系，使点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是__________； （2）过点作的平行线，点在点右侧且在格点上； （3）经过平移，三角形的顶点移到点，画出平移后的三角形． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 （3）见解析 【分析】（1）根据的坐标建立坐标系，再确定的坐标即可． （2）根据平移的性质确定格点即可． （3）根据顶点移到点确定平移方式，再确定即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． ∴ （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，三角形即为所求． 题型30旋转的认识及应用 101．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． （1）画出将先向下平移个单位；再向左平移个单位后所得的；（点、、的对应点分别为点、、） （2）画出将绕着原点顺时针旋转后所得的，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点、） 【答案】（1） （2）， 【分析】（1）利用平移的性质得出对应点，再顺次连接得即可； （2）确定绕点O按顺时针方向旋转的对应点，再顺次连接得；直接写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略，点的坐标． 102．如图，平面直角坐标系中，的三个顶点，，． （1）将以点C为旋转中心旋转得到，请画出的图形； （2）平移，使点A的对应点的坐标为，请画出平移后对应的的图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标； （4）线段在x轴上运动，点M在点N的左边，，直接写出的最小值． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求， ； （3） （4） 【分析】（1）根据旋转作出图形即可； （2）根据平移作出图形即可； （3）根据旋转的定义结合图形，连接两对对应点，交点即为旋转中心； （4）把点B向左平移3个单位得到，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，作线段，连接，，此时的值最小，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图1中，旋转中心E的坐标为； （4）解：如图2中，把点B向左平移3个单位得到，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，作线段，连接，，此时的值最小， ∴的最小值． 题型31因式分解的实际应用 103．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． （1）仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： （2）应用：若，求a、b、c的值． 【答案】（1）①，；② （2） 【分析】 （1）①先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； ②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （2）将原式变形为 ，分组分解为，再利用非负数的性质即可求出，，． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由得： ， 即， ∴ ， ∴． 104．【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 （1）若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 （2）应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． （3）拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 【答案】（1）C （2） 见解析 （3）2 【分析】（1）对因式分解，确定其因数，得到符合要求的选项； （2）利用平方差公式分解原式，化简后根据正整数的性质证明原式含因数24即可； （3）根据整除要求推导得到满足的条件，计算得到的最小值. 【详解】（1） 解：， 为正整数， 是整数， 一定能被14整除； （2）证明： ； 是正整数，和是连续正整数， 能被2整除， 能被整除， 能被24整除； （3）解：由（2）得， 能被36整除， 是整数，即能被3整除， 是正整数，和是连续正整数， 当时，，不能被3整除， 当时，，能被3整除， 的最小值为2. 题型32分式混合运算的实际应用 105．甲、乙两名采购员去同一家超市各自购买两次大米，两次购买的大米售价分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲采购员每次购买千克，乙采购员每次购买用去元，而不管购买到多少千克的大米． （1）甲、乙两名采购员各自购买两次大米的平均售价分别是多少元/千克？（用含有字母，的式子表示并化简） （2）请通过计算说明谁的购买方式更合算？ 【答案】（1） 甲两次购买大米的平均售价为元/千克，乙两次购买大米的平均售价为元/千克 （2） 乙的购买方式更合算 【分析】（1）根据平均售价=总花费÷总购买重量，分别计算甲、乙两次购买的总花费和总重量，化简即可得到结果； （2）利用作差法比较两个平均售价的大小，平均售价更低的购买方式更合算． 【详解】（1） 解：甲两次购买总重量为：（千克） ， 甲两次购买总花费为：（元） ， 因此甲的平均售价为：（元/千克）； 乙两次购买总花费为： （元） ， 乙两次购买总重量为：（千克） ， 因此乙的平均售价为：（元/千克）． （2）解：比较两个平均售价的大小，作差得： ， 由题意得， 因此，， 可得， 即， 因此乙的平均售价更低，乙的购买方式更合算． 106．谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． （1）刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ （2）如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【答案】（1）总体看刘奶奶更划算 （2）总体看刘奶奶更划算 【分析】对于（1），因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式算出各自的平均单价，最后比较大小． 对于（2），因为单价是字母和，所以同样按照（1）的思路，用含、的代数式表示出两人的总花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价更低． 【详解】（1）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 总体看刘奶奶更划算． （2）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 又购买大米的价格都在波动，即，， ， ， 总体看刘奶奶更划算． 题型33分式方程解决实际问题 107．随着个人用户对打印机需求量的增加，某文具店用元购进了若干台A型打印机，用元购进了相同数量的B型打印机．已知B型打印机比A型打印机的单价贵元． （1）B型打印机的单价是多少元？ （2）为了促销，批发商针对B型打印机推出以下团购优惠方案：一次性购买不超过台，则每台B型打印机享九折优惠；若一次性购买超过台，则前台享九折优惠，超过的部分享八折优惠．若购买A型、B型打印机共台，且购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的，如何购买才能使花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】（1） 500元 （2） 购买A型打印机14台，B型打印机21台花费最少，最少花费为13600元. 【分析】（1）根据两种打印机购进数量相等的关系列分式方程求解； （2）先根据题意得到B型打印机购买数量的取值范围，再结合优惠方案写出总花费的一次函数，利用一次函数的增减性求出最少花费； 【详解】（1）解：设B型打印机的单价是元，则A型打印机的单价为元， 由题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴B型打印机的单价是500元； （2）解：设购买B型打印机台，则购买A型打印机台，A型打印机单价为元， 由题意得， 解得， ∵总台数为35台， ∴，且为正整数， ∵， 根据优惠方案，购买B型打印机的总费用为：， 设总花费为元， 则：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最小值21时，最小，此时，（元）， 答：购买A型打印机14台，B型打印机21台，最少花费为13600元． 108．习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 【答案】（1）购买1件甲种农机具需万元，购买1件乙种农机具需万元 （2）甲种农机具最多能购买件 【分析】（1）设购买1件甲种农机具需x万元，则购买1件乙种农机具需万元，根据“用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同”列出方程，即可解答； （2）设购买甲种农机具件，则购买乙种农机具件，根据“购买的总费用不超过万元”列出不等式，结合是正整数，即可解答． 【详解】（1）解：设购买1件甲种农机具需x万元，则购买1件乙种农机具需万元， 由题意可得，， 解得， 检验，当时，，故是方程的解， ， 答：购买1件甲种农机具需万元，购买1件乙种农机具需万元； （2）解：设购买甲种农机具件，则购买乙种农机具件， 由题意得，， 解得， 是正整数， 最大能取到6， 答：甲种农机具最多能购买件． 题型34平行四边形的性质及判定的应用 109．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． （1）求直线的表达式及C点坐标； （2）将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或 【分析】（1）根据对称可得，设直线的解析式为： ，代入即可求解； （2）根据题意得平移后解析式为：；再得点，即可求得直线解析式为：，根据A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形可得 ，即可求解. 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵直线与直线关于y轴对称， ∴点与点A关于y轴对称， ∴， ∵直线过点与点B，设直线的解析式为：， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为： ； （2）解：存在 ∵直线向右平移8个单位后与直线交于点D， ∴平移后解析式为：， ∵平移后的解析式与直线交于点D， ∴，解得， ∴点， 设直线解析式为：， ∴，解得， ∴直线解析式为：， ∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形，E为直线上一动点，F为y轴上一动点， ∴ ， 设，则 ， ∴ ，解得：， ∴或. 110．类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫作平行六边形，数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图①，在平行六边形中， （1）延长 交于点P，延长交于点Q，则四边形是________，与的数量关系为________； （2）如图②，已知平行六边形满足．求证：； （3）如图③，在（2）的条件下，连接，直接写出的值． 【答案】（1）平行四边形； （2）证明：如图2，延长交于点，延长交于点， ， ∴四边形为平行四边形，， ， ∵， ∴， ∴， 由（1）得，， ， ， ， ． （3） 【分析】（1）先补充好图形，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形；连接，根据平行线的性质即可得出； （2）延长交于点，延长交于点，可得四边形为平行四边形，证明，得，进而可以解决问题； （3）过点作 ，过点作 ，两条线交于点，连接，可得四边形是平行四边形，然后再根据平行四边形的判定方法证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，结合面积的关系列式计算，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：依题意，四边形如图所示： ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， 连接，如图 ， ， ， ． （2）略 （3）解：根据（2）可得四边形为平行四边形，，，， ， 则 ， 如图3，过点作 ，过点作 ，两条线交于点，连接， ∵ ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， 平行四边形的面积的， ∴平行六边形的面积的， ∴的值为． 题型35三角形中位线的实际问题 111．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 112．数学课上，我们探究过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．以下是对此定理的探究及证明过程： 已知：如图①，在中，，分别是，的中点． 求证：且． （1）【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙三位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：如图②，延长至点，使，连接 乙：如图③，延长到点，使，连接，，． 丙：如图④，作于点，延长，使，延长，使，连接，． 三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是___________． A．仅甲、乙    B．仅乙    C．仅乙、丙    D．甲、乙、丙 （2）【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整． （3）【定理应用】如图⑤，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点和点，使，连接，，并分别找到和的中点，．若测得，，则，两地间的距离为 ． 【答案】（1）D （2）见解析 （3）26 【分析】（1）观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理； （2）由，，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质有，，结合，可得，四边形是平行四边形，即可得； （3）先证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得为的中点，再根据为的中点，可得是的中位线，从而可得，就可得． 【详解】（1）解：观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理． （2）解：如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∴， ， ． （3）解：连接并延长，交延长线于P，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴（）， ∴，， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，两地间的距离为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题百练通关（112题35大常考题型） 选填题 题型1三角形内角和定理 题型12简单的图案设计 题型2等腰三角形 题型13因式分解 题型3直角三角形 题型14提取公因式 题型4线段的垂直平分线 题型15公式法 题型5角平分线 题型16分式及其基本性质 题型6不等式及其基本性质 题型17分式的运算 题型7一元一次不等式 题型18分式方程 题型8一元一次不等式与一次函数 题型19平行四边形的性质 题型9一元一次不等式组 题型20平行四边形的判定 题型10图形的平移 题型21三角形的中位线 题型11图形的旋转 解答压轴题（计算+解答） 题型22因式分解计算 题型29平移的认识及应用 题型23分式的混合运算 题型30旋转的认识及应用 题型24解分式方程 题型31因式分解的实际应用 题型25三角形内角和问题的应用 题型32分式混合运算的实际应用 题型26等腰及直角三角形的认识及实际应用 题型33分式方程解决实际问题 题型27线段垂直平分线及角平分线的认识及应用 题型34平行四边形的性质及判定的应用 题型28一元一次不等式（组）的实际应用 题型35三角形中位线的实际问题 题型1三角形内角和定理 1．如图，在四边形中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（   ） A．内角和增加 B．内角和增加 C．外角和增加 D．外角和增加 3．如图，在中，，分别是上的点，点在的延长线上，，则_____． 4．洛阳明堂的底部是一个正八边形造型（如图1），图2是其抽象出的正八边形，连结，则的度数为________． 题型2等腰三角形 5．如图，中，，为边上一点，把沿翻折得到，（点与点对应），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 7．如图，在中，，是的高，请你再添加一个条件使得，这个条件可以是___________． 8．跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛到鞋底处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底处到镜子底端的距离为________． 题型3直角三角形 9．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．下列说法错误的是（    ） A．等腰三角形底边上的高所在的直线是底边的垂直平分线 B．两组边对应相等的两个直角三角形全等 C．如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半 D．有一个角等于的三角形是等边三角形 11．如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为_______． 12．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 题型4线段的垂直平分线 13．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为7，则的周长是（ ） A．7 B．9 C．11 D．13 14．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B．平分 C． D． 15．如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 16．如图，在中，，，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以的端点A，B为圆心、大于为半径画弧，使两弧相交于点M，N；（2）作直线交于点P，则的周长是______． 题型5角平分线 17．下列说法正确的是（    ） A．用反证法证明“”时，应假设“” B．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等． C．有一个角是的三角形是等边三角形． D．命题“若，则”的逆命题为“若，则” 18．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点，，连接，平分，若，则的长为_____． 20．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 题型6不等式及其基本性质 21．若，则下列不等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 22．下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 23．若关于的一元一次不等式的解集为，则必须满足的条件是______． 24．已知，且为正整数，则的值可以是___________（写出一个即可）． 题型7一元一次不等式 25．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A．3 B．5 C．0 D． 26．代数式中的取值范围在数轴上表示如图所示，则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 27．某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．得分超过85分可以获一等奖．小锋在本次竞赛中获得了一等奖．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式：________． 28．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为________________． 题型8一元一次不等式与一次函数 29．如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 30．甲、乙两家商店销售同一种产品，销售价y（元）与销售量x（件）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．购买少于2件时，在甲商店购买更合算 B．购买少于2件时，在乙商店购买更合算 C．购买少于4件时，在甲商店购买更合算 D．购买少于4件时，在乙商店购买更合算 31．如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为___________． 32．某社区游泳池每周检测水质，主要关注两项指标：游离氯浓度（单位：，保障消毒效果）和尿素浓度（单位：，反映水质卫生）．其中游离氯浓度和尿素浓度随泳池开放天数（单位：天）之间的关系如图所示，当游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准，此时游泳池最多可连续开放_____天（结果取整数）． 题型9一元一次不等式组 33．渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 34．把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m可以取得的整数值有（     ） A．3个 B．5个 C．4个 D．2个 35．已知不等式组的解集为，则的值为______． 36．对于定义了一种新运算，规定，关于的不等式组有且只有3个整数解，则实数k的取值范围是______． 题型10图形的平移 37．观察下列图案，在、、、四幅图案中，能通过图案（）的平移得到的是（    ）    （） A．   B．   C．    D．   38．有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 39．点沿着动点所在的直线方向平移个单位长度到点，则点的坐标为______． 40．如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是______． 题型11图形的旋转 41．下列选项中，不能由如图在同一平面内经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 42．如图, 四边形中，，，，则四边形的面积为（　） A．9 B． C．6 D． 43．如图，在平面直角坐标系中，、、、，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段与，与是对应点），则旋转中心的坐标为_____． 44．如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 题型12简单的图案设计 45．下边的图案是由下面五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠），这两种基本图形是（   ） A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤ 46．小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（  ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 47．以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有___（只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 48．如图， 在平面直角坐标系xOy中， △OCD可以看成是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△OCD的过程_____________． 题型13因式分解 49．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 50．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 51．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 52．若将多项式因式分解得，则的值为______． 题型14提取公因式 53．因式分解代数式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 54．下列用提公因式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 55．把多项式分解因式，应提取的公因式是______． 56．若，则的值为______． 题型15公式法 57．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 58．若，，则的值为（     ） A．25 B．10 C．5 D．2 59．分解因式：______． 60．在日常生活中经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．例如：将因式分解的结果为，取个人年龄作为x的值，当时，，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是______． 题型16分式及其基本性质 61．若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 62．下列四个代数式中，其中为分式的是（     ） A． B． C． D． 63．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 64．把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 题型17分式的运算 65．化简的结果是（    ） A． B． C． D．3 66．小蕊在作业本上写完一个题的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原题的一部分（被墨水遮住的部分用⊕代替），其计算过程为，则被墨水遮住部分⊕所表示的代数式可能是（     ） A． B． C． D． 67．分式和的最简公分母是________． 68．已知，则实数______． 题型18分式方程 69．若，那么的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 70．八年级学生去距学校的博物馆参观，按时到达学校的学生乘大巴先出发，后，晚来的学生乘出租车出发，结果他们同时到达．已知出租车的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，已知大巴车的平均速度为每小时x千米；根据题意列出方程为（     ） A． B． C． D． 71．若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 72．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 题型19平行四边形的性质 73．在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 74．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点E，若，则的长为（     ） A． B． C．5 D．6 75．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，已知，则的周长为______． 76．如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 题型20平行四边形的判定 77．在四边形中，对角线、交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． ， B．， C．， D．， 78．下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 79．如下图，在四边形中，，添加一个条件________，使四边形是平行四边形．（不需作其它辅助线） 80．如图：等腰梯形中，，，，，的周长为12，则等腰梯形的周长是______． 题型21三角形的中位线 81．如图1是两个小朋友玩跷跷板的实物图，图2是其示意图，支柱垂直于地面，点，分别是，的中点，，那么小朋友在游戏中，点离地面的最大高度是（   ）    A． B． C． D． 82．如图，两地被池塘隔开，小明想测量两地间的距离，但是不方便测量．于是想了个办法，他先选一个能直接到达的点，然后测出，的中点，．并且测得的长为18米，则，间的距离是（     ）． A．36米 B．27米 C．18米 D．9米 83．在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 84．如图是一架人字梯及其侧面示意图，、为支撑架，为拉杆，D，E分别是、的中点．已知，则B、C两点之间的距离为______． 题型22因式分解计算 85．分解因式： （1）； （2）． 86．因式分解、用因式分解进行简便计算： （1）因式分解：； （2）用因式分解进行简便计算：． 题型23分式的混合运算 87．已知，求的值． 88．化简： （1） （2） 题型24解分式方程 89．已知关于x的分式方程有增根，求a的值． 90．解分式方程：． 题型25三角形内角和问题的应用 91．如图，和均为等腰三角形，点，，在同一直线上，连接． （1）如图1，若． ①求证：； ②求的度数； （2）如图2，若，则与的位置关系是 （直接填空）． 92．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；在中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点，易证，若，，则 ； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上，且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，连接，求的面积． 题型26等腰及直角三角形的认识及实际应用 93．按要求完成下面各题． （1）如图①，在中，，，是上一点，过点作交延长线于点，连接，求的度数； 小硕的解题思路是，从出发，过点A作，通过构造全等三角形，证明等腰直角三角形求解，请你根据小硕的思路或自己的想法，写出解题过程． （2）如图②，在四边形中，，且，，连接对角线，，过点作交于点，为上一点，且，求证：． 94．如图，在平面直角坐标系中，点，． （1）作，求的长； （2）过点作交轴于点，求的面积； （3）如图在（）的条件下，点坐标为，满足，求的值． 题型27线段垂直平分线及角平分线的认识及应用 95．已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． （1）如图（1），如果，证明：． （2）如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 96．在中，，点，分别是边，上的点，连接． （1）如图①，连接，若平分，，，，求的长； （2）如图②，点在边上运动，连接，已知，是的垂直平分线，交于点． （）判断与的位置关系，并说明理由； （）若，，，求的长． 题型28一元一次不等式（组）的实际应用 97．某校八年级班学生要去实验基地进行实践活动，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生六折优惠，乙旅行社表示可先免去两位同学的车费，然后给予其他同学七折优惠． （1）若用表示乘车人数，请用含的式子分别表示选择甲、乙旅行社所支付的费用与； （2）该班选择哪一家旅行社所支付的费用较少？ 98．综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少？ （2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 题型29平移的认识及应用 99．如图，在平面直角坐标系中，点，，将点B先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点C． （1）请在图中画出点C的位置，并写出点C的坐标； （2）①连接，，，请直接写出线段的长度； ②判断的形状，并说明理由． 100．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． （1）建立平面直角坐标系，使点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是__________； （2）过点作的平行线，点在点右侧且在格点上； （3）经过平移，三角形的顶点移到点，画出平移后的三角形． 题型30旋转的认识及应用 101．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． （1）画出将先向下平移个单位；再向左平移个单位后所得的；（点、、的对应点分别为点、、） （2）画出将绕着原点顺时针旋转后所得的，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点、） 102．如图，平面直角坐标系中，的三个顶点，，． （1）将以点C为旋转中心旋转得到，请画出的图形； （2）平移，使点A的对应点的坐标为，请画出平移后对应的的图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标； （4）线段在x轴上运动，点M在点N的左边，，直接写出的最小值． 题型31因式分解的实际应用 103．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． （1）仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： （2）应用：若，求a、b、c的值． 104．【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 （1）若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 （2）应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． （3）拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 题型32分式混合运算的实际应用 105．甲、乙两名采购员去同一家超市各自购买两次大米，两次购买的大米售价分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲采购员每次购买千克，乙采购员每次购买用去元，而不管购买到多少千克的大米． （1）甲、乙两名采购员各自购买两次大米的平均售价分别是多少元/千克？（用含有字母，的式子表示并化简） （2）请通过计算说明谁的购买方式更合算？ 106．谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． （1）刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ （2）如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 题型33分式方程解决实际问题 107．随着个人用户对打印机需求量的增加，某文具店用元购进了若干台A型打印机，用元购进了相同数量的B型打印机．已知B型打印机比A型打印机的单价贵元． （1）B型打印机的单价是多少元？ （2）为了促销，批发商针对B型打印机推出以下团购优惠方案：一次性购买不超过台，则每台B型打印机享九折优惠；若一次性购买超过台，则前台享九折优惠，超过的部分享八折优惠．若购买A型、B型打印机共台，且购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的，如何购买才能使花费最少？最少花费为多少元？ 108．习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 题型34平行四边形的性质及判定的应用 109．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． （1）求直线的表达式及C点坐标； （2）将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 110．类比平行四边形的定义，给出平行六边形的定义：三组对边分别平行的凸六边形叫作平行六边形，数学兴趣小组的同学对其性质进行了探究．如图①，在平行六边形中， （1）延长 交于点P，延长交于点Q，则四边形是________，与的数量关系为________； （2）如图②，已知平行六边形满足．求证：； （3）如图③，在（2）的条件下，连接，直接写出的值． 题型35三角形中位线的实际问题 111．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 112．数学课上，我们探究过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．以下是对此定理的探究及证明过程： 已知：如图①，在中，，分别是，的中点． 求证：且． （1）【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙三位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：如图②，延长至点，使，连接 乙：如图③，延长到点，使，连接，，． 丙：如图④，作于点，延长，使，延长，使，连接，． 三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是___________． A．仅甲、乙    B．仅乙    C．仅乙、丙    D．甲、乙、丙 （2）【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整． （3）【定理应用】如图⑤，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点和点，使，连接，，并分别找到和的中点，．若测得，，则，两地间的距离为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $