期末真题百练通关（100题33大常考题型）-2025-2026学年人教版数学八年级下册期末复习

**基本信息** 聚焦初中数学33大常考题型，100道真题覆盖二次根式、勾股定理、四边形、函数、统计等核心知识，按选填与解答分类，构建从概念到应用的递进训练体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填题|17题型（约50题）|覆盖基础概念辨析与性质应用，如二次根式性质、函数概念、统计量计算|从概念生成（如二次根式定义）到性质推导（如勾股定理逆定理），再到简单应用（如四边形内角和计算）| |解答压轴题|16题型（约50题）|包含综合计算与实际问题，如二次根式混合运算、一次函数应用、四边形判定与性质综合|从运算技巧（如分母有理化）到逻辑推理（如平行四边形判定），再到模型构建（如用一次函数解决行程问题），体现数学思维与应用意识|

期末真题百练通关（100题33大常考题型） 选填题 题型1二次根式及其性质 题型10表述的表示方法 题型2二次根式的乘法与除法 题型11一次函数的概念 题型3二次根式的加法与减法 题型12一次函数的图形及性质 题型4勾股定理及其应用 题型13一次函数与方程（组）不等式 题型5勾股定理的逆定理及其应用 题型14实际问题与一次函数 题型6四边形积多边形的内角和 题型15平均数、中位数和众数 题型7平行四边形的性质积判定 题型16离差平方和、方差 题型8矩形积菱形的认识 题型17四分位数 题型9函数的概念 解答压轴题（计算+解答） 题型18二次根式的混合运算 题型26矩形的性质及判定的应用 题型19一次函数的计算问题 题型27菱形的性质及判定的应用 题型20二次根式的复杂问题 题型28正方形的性质及判定的应用 题型21勾股定理解三角形 题型29一次函数图形及性质的实际应用 题型22勾股定理的应用 题型30用一次函数解决实际问题 题型23多边形的内角和问题 题型31求平均数的实际问题 题型24平行四边形的性质及判定的应用 题型32方差或离差平方和问题 题型25三角形的中位线问题 题型33求四分位数 选填题 题型1二次根式及其性质 1．下列式子中，是二次根式的有（   ） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．代数式的最小值为__________． 4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 题型2二次根式的乘法与除法 5．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．若，，则的值为（     ） A．25 B．10 C．5 D．2 7．已知，则的值为_________． 8．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为______． 题型3二次根式的加法与减法 9．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 10．式子的值介于下列哪两个整数之间（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 11．对于任意实数、，定义新运算“※”：．则的值为______． 12．已知，，则式子的值为_________． 题型4勾股定理及其应用 13．如图，为等腰三角形，，是边上异于的任意一点，于点，于点．则的值为（     ） A． B．12 C．15 D．10 14．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 15．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形；面积分别记为，，，若，图中阴影部分的面积为__________． 16．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距______． 题型5勾股定理的逆定理及其应用 17．在正方形网格中画格点三角形，下列是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 18．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．6，8，10 B．7，24，25 C．，， D．2，3，4 19．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 20．若三角形的三边分别为1，，，则该三角形最大边上的高长为：________． 题型6四边形积多边形的内角和 21．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．如图，在四边形中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 23．四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成如图的形状，点落在点处，点落在点处，若，，___________． 24．如图，在正六边形和正方形中，连接，并延长分别交，于点，M，与交于点，则__________． 题型7平行四边形的性质积判定 25．如图，在中，为对角线，E为边上一点，连接，且．若平分，，则（     ）. A．60 B．45 C．50 D．55 26．如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（     ） ①如果再添加条件“”， ②如果再添加条件“”， ③如果再添加条件“”， ④如果再添加条件“”． A．①或② B．①或③或④ C．②或③ D．②或③或④ 27．如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 28．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 题型8矩形积菱形的认识 29．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 30．如图，四边形和四边形均是菱形，点在上．若，点M，N是，的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 31．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为__________． 32．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 题型9函数的概念 33．跨学科试题·物理  在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 … 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（     ） A．，t B．，t C．，t D．，T 34．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D． 35．若等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为，则与的函数解析式是_____ ，自变量的取值范围是_____ ． 36．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x值为，则输出的函数值y为________． 题型10表述的表示方法 37．下列曲线中不能表示是的函数的是（  ） A． B． C． D． 38．如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿着折线匀速运动，运动速度为1cm/s，图2是线段的长度y与时间x（s）之间的函数关系的图象（不妨设当点P与点A重合时，），则菱形的面积为（     ） A．12 B．6 C．5 D．2.5 39．某人驾车从甲地驶往乙地，他以的速度行驶一段时间后休息，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程与时间之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是____． 40．如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是______． 题型11一次函数的概念 41．已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 42．下列给出的四个点中，在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 43．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 44．已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 题型12一次函数的图形及性质 45．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 46．对于函数，下列说法不正确的是（     ） A．点在这个函数图象上 B．y随着x的增大而减小 C．当时， D．图象不经过第三象限 47．若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是__________． 48．如图，在平面直角坐标系中，菱形的，两点的坐标分别为，，点在轴上，将直线沿轴向右平移个单位长度．若平移后的直线恰好平分菱形的面积，则的值是______． 题型13一次函数与方程（组）不等式 49．如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 50．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 51．如图，直线与直线为常数，且相交于点，则不等式的解集是__________． 52．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 题型14实际问题与一次函数 53．一化学兴趣小组对某小苏打样品中的含量做了测定：将一定质量的小苏打样品加水全部溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．加入的稀盐酸越多，产生的气体越多 B．加入的稀盐酸时，产生气体 C．m的值为 D．产生的气体的质量为时，加入的稀盐酸为 54．为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 55．某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为____________．（其中） 56．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．如图，某弹簧挂质量为的物体时，弹簧长度为，挂质量为的物体时，弹簧长度为．那么该弹簧不挂物体时的长度为__________． 题型15平均数、中位数和众数 57．为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份7元，乙种套餐每份5元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（    ） A．6 B．6.2 C．6.4 D．6.6 58．2026年5月9日“苏超”第五轮无锡队主场3∶1战胜泰州队，首发阵容平均年龄为25的11名球员的年龄分别为19、28、19、22、22、28、33、21、29、32、22，则这组数据的中位数和众数分别为（     ） A．28和3 B．28和22 C．33和3 D．22和22 59．某学校随机抽查了50名教职工，他们一周徒步的时间如下表所示． 徒步时间 教职工人数 该学校教职工一周徒步的平均时间为______． 60．某车间工人在某一天加工的零件数只有5件，6件，7件，8件四种情况，这天的相关数据如图所示，有一个数据看不到，只知道7是这一天加工零件数的中位数．设加工零件数是7件的工人有x人，则x的最小值是______． 题型16离差平方和、方差 61．将10位求职者的综合测试成绩分成“优秀”和“一般”两组，不同的分法共有（    ） A．8 种 B．9 种 C．10 种 D．11 种 62．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 63．某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 64．为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练，在相同的条件下，两人各射击10次，成绩如图所示，则运动员____________的成绩更加稳定． 题型17四分位数 65．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，根据该图判断下列说法正确的是（     ） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班分数的上四分位数最大 C．丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，甲班的分数最高 66．据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的上四分位数和众数分别是（     ） A．22，23 B．23，23 C．6，14 D．22.5，14 67．在一次体检中，测得某校八年级（1）班第一组同学的体重（单位：）分别为50，55，58，57，54，50，56，60．该组同学体重的上四分位数是______，离差平方和是______． 68．如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 解答压轴题（计算+解答） 题型18二次根式的混合运算 69．计算 （1）； （2）． 70．先化简，再求值：，其中． 题型19一次函数的计算问题 71．求下列函数当时的函数值： （1）； （2）； （3）； （4）． 72．求下列函数中自变量的取值范围． （1） （2）； （3）． 题型20二次根式的复杂问题 73．已知，反之，． 又如，． 参考以上方法解决下列问题： （1）将写成完全平方的形式为 ； （2）若一个正方形的面积为，则它的边长为 ； （3）的算术平方根为 ． 74． 材料阅读： 两个不等于0的根式的积不含根式，则称这两个根式互为共轭根式．例如：与，与，与，共轭根式的一个特点是通过相乘能把根号去掉． 在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的式子，对这类式子进行分母有理化，可以通过分子和分母同时乘以分母的共轭根式实现．例如，，中分母的共轭根式分别为，，则∶ ；． 解决问题： （1）分母有理化： （2）分母有理化： （3）应用：光学中的焦距．在光学中，凸透镜成像公式为：，其中为焦距，为物距，为像距．已知某凸透镜的物距，像距，求该凸透镜的焦距． 题型21勾股定理解三角形 75．如图，在中，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，并延长交于点E，且． （1）求证：； （2）若E为中点，，求的值． 76．“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，． （1）求证：； （2）若“表”，，求的长； （3）若，判断的形状，并说明理由． 题型22勾股定理的应用 77．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 78．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 题型23多边形的内角和问题 79．下面是正多边形M和正多边形N的对话： （1）求正多边形M和正多边形N的边数； （2）在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答： 嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角． 淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角． 80．项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 （1）对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是_____； （2）密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为___，并使相等的边重合． 【任务：寻找密铺】 （3）下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）；（多选） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 （4）公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，求的度数． 题型24平行四边形的性质及判定的应用 81．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒． （1）的长为 　　 （2）用含的代数式表示线段的长，并写出t的取值范围 （3）当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． （4）当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 82．如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均在网格的格点上． （1）判断是否为直角：______．（填写“是”或“不是”） （2）直接写出：长为 ，长为 ，四边形的面积为______． （3）找到格点E，并画出四边形（一个即可），使其面积与四边形面积相等． 题型25三角形的中位线问题 83．如图，在等边中，，分别为边，的中点，连接，交于点，，分别为，中点，连结，，，． （1）求证：和互相平分； （2）若，求四边形的周长． 84．【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… （1）请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 （2）如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 题型26矩形的性质及判定的应用 85．如图，在中，对角线，相交于点，． （1）求证：是矩形； （2）点在边上，满足．若，，求的长． 86．在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N． （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为的中点时，四边形的形状是 ； （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长． 题型27菱形的性质及判定的应用 87．如图1，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、． （1）试判断四边形为怎样四边形，并证明你的结论； （2）求的大小； （3）若，，求四边形的周长． 88．如图，是由边长为1的小正方形构成的的网格图，已知格点，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中找格点D，使点A、B、C、D构成菱形； （2）在图②中找格点E，使点A、B、C、E构成梯形； （3）在图③中画上的高，再在取一点G，连接，使． 题型28正方形的性质及判定的应用 89．正方形外侧作直线，点B关于直线的对称点为E，连接，，其中交直线于点F． （1）依题意补全图1； （2）若，求的度数； （3）如图2，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 90．如图，梯形，，． （1）如图1，已知：，，，则 ； （2）如图2，点E为上一点，连接、，平分，点E为的中点，求证：； （3）如图3，点E为上一点，以、为邻边作． ①若，，，当为多少时，四边形为菱形； ②当四边形为正方形时，记正方形的面积为，梯形的面积为，那么可能等于吗？请判断并说明理由． 题型29一次函数图形及性质的实际应用 91．如图是我国某个湖泊最深处的某一截面图，一支潜水队测出了该湖泊水面下任一点A的压强p（单位：）与其距离水面的深度h（单位：m）的几组数据，整理得出下表： 距离水面的深度 10 15 20 25 30 水面下任一点A的压强 142 179 216 253 290 根据表格，回答下列问题： （1）自变量是 ，因变量是 ； （2）请根据已知数据求该湖泊水面的大气压强为多少？ （3）请求出处的压强值． 92．2026年央视春晚由机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，是我国科研能力的集中体现．如图，某餐厅的机器人小松和小江从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小松比小江先出发，且速度保持不变，小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小松行走的时间为，小松和小江行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示．根据图象回答下列问题： （1）机器人小松比机器人小江先出发________； （2）机器人小江提速后的速度为________； （3）求的值． 题型30用一次函数解决实际问题 93．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元，设小明快递物品千克． （1）根据题意，填写下表： 快递物品重量（千克） 0.5 1 3 4 甲公司收费（元） 11 22 52 乙公司收费（元） 11 51 67 （2）设甲快递公司收费元，乙快递公司收费元，分别写出关于的函数关系式； （3）当时，小明应选择哪家快递公司更省钱？请说明理由． 94．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． （1）点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； （2）平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； （3）点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （4）若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 题型31求平均数的实际问题 95．学校组织演讲比赛，从演讲主题、演讲内容、基本能力、整体表现四个方面对选手进行评分．下表是甲、乙两位选手在各个项目上的得分情况（百分制）： 演讲主题 演讲内容 基本能力 整体表现 选手甲 80 80 90 82 选手乙 85 82 85 82 （1）如果以上四个方面的重要性之比为，谁的最终成绩高？ （2）如果以上四个方面的重要性之比为，情况又如何呢？ 96．某校开展以“持续弘扬长征精神”为主题的演讲比赛，选手的成绩由演讲内容、语言表达、临场表现三项组成，每项成绩均由7位评委打分，取平均分作为该项的实际成绩，再将演讲内容、语言表达、临场表现三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中，甲、乙两位选手的三项实际成绩和总评成绩（单位：分）如下表． 演讲内容 语言表达 临场表现 总评成绩 甲 86 76 82 乙 84 82 已知7位评委给乙的临场表现打出的分数（单位：分）为78、82、79、82、76、83、80． （1）将7位评委给乙的临场表现打出的分数看作一组数据，则该组数据的中位数是___________分，众数是___________分； （2）求乙临场表现的实际成绩； （3）若根据总评成绩从高到低确定最终名次，则两位选手谁的最终名次比较靠前？ 题型32方差或离差平方和问题 97．根据国家统计局《中国统计年鉴2021》报告，南京和福州两地2020年各月降水量（单位：）数据如下表所示： 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 南京 75.2 35.5 89.8 70.8 33.7 281.6 271.9 114.3 82.8 64.9 76.8 20.5 福州 28.2 65.2 262.8 63.9 262.6 224.1 81.7 80 119.4 5.6 0.5 16.5 （1）两地2020年的月平均降水量各是多少毫米？它们相近吗？ （2）你认为这两个城市该年的降水情况相近吗？请作比较． 98．学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级： 八年级： 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 离差平方和 七年级 84 90 444 八年级 84 87 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_____；_____； （2）A同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是_________年级的学生，请说明理由； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出相应理由． 题型33求四分位数 99．在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重． （1）该地区今年5月有没有严重污染天气？ （2）该地区哪个月的AQI值比较集中？ 100．为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：    （1）在扇形统计图中， ，在箱线图中 ， （2）本次调查样本中数据的众数为 （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少? 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题百练通关（100题33大常考题型） 选填题 题型1二次根式及其性质 题型10表述的表示方法 题型2二次根式的乘法与除法 题型11一次函数的概念 题型3二次根式的加法与减法 题型12一次函数的图形及性质 题型4勾股定理及其应用 题型13一次函数与方程（组）不等式 题型5勾股定理的逆定理及其应用 题型14实际问题与一次函数 题型6四边形积多边形的内角和 题型15平均数、中位数和众数 题型7平行四边形的性质积判定 题型16离差平方和、方差 题型8矩形积菱形的认识 题型17四分位数 题型9函数的概念 解答压轴题（计算+解答） 题型18二次根式的混合运算 题型26矩形的性质及判定的应用 题型19一次函数的计算问题 题型27菱形的性质及判定的应用 题型20二次根式的复杂问题 题型28正方形的性质及判定的应用 题型21勾股定理解三角形 题型29一次函数图形及性质的实际应用 题型22勾股定理的应用 题型30用一次函数解决实际问题 题型23多边形的内角和问题 题型31求平均数的实际问题 题型24平行四边形的性质及判定的应用 题型32方差或离差平方和问题 题型25三角形的中位线问题 题型33求四分位数 选填题 题型1二次根式及其性质 1．下列式子中，是二次根式的有（   ） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 2．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 3．代数式的最小值为__________． 【答案】2 【分析】根据二次根式成立的条件即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ∴ ， ∴的最小值为2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【分析】根据数轴可得，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图得， ∴， 则． 题型2二次根式的乘法与除法 5．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件判断即可，两个条件为：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A：的被开方数含分母，不是最简二次根式； B：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； C：，被开方数9是能开得尽方的平方数，不是最简二次根式； D：，被开方数12含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 6．若，，则的值为（     ） A．25 B．10 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题先对所求多项式因式分解，再代入已知条件计算，用到提取公因式法和完全平方公式． 【详解】解：， ∵，， ∴原式． 7．已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据非负数的和为的条件，求出的值，进而求出结果. 【详解】解：∵， ∴， 即：， 解得：， ∴ ． 8．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为______． 【答案】 【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：由条件可知两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 题型3二次根式的加法与减法 9．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的运算法则和性质，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故原计算正确； B、，故原计算错误； C、，故原计算错误； D、与不是同类二次根式，不能直接合并相加，故原计算错误． 10．式子的值介于下列哪两个整数之间（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再通过估算无理数的大小确定原式的范围，即可得到答案． 【详解】解： ， 又 ， 即， 不等式各项同减得：， 即， 原式的值介于和之间． 11．对于任意实数、，定义新运算“※”：．则的值为______． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴ ． 12．已知，，则式子的值为_________． 【答案】 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式变形为 ，再分别计算与的值，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： 已知，， ∴ ， ∴． 题型4勾股定理及其应用 13．如图，为等腰三角形，，是边上异于的任意一点，于点，于点．则的值为（     ） A． B．12 C．15 D．10 【答案】A 【分析】连接，作于点H，先求出，再根据求出结论即可． 【详解】解：连接，作于点H， ， ， ， ， ， ， ． 14．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】由题意可知，，由阴影部分的面积，可知阴影部分的边长为7，进而得出，再利用勾股定理，求出，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 阴影部分的面积是49， 阴影部分的边长为7， ， ， 即大正方形的边长是13． 15．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形；面积分别记为，，，若，图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】由勾股定理得，即，再由求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 即， ， ∴ ， 由图形可知，阴影部分的面积． 16．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距______． 【答案】 【分析】由方向角的定义可得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴， ∴， 即此时两艘轮船相距． 题型5勾股定理的逆定理及其应用 17．在正方形网格中画格点三角形，下列是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理、勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：A．∵，，， ∴三角形不是直角三角形； B．∵，，，， ∴三角形不是直角三角形； C．∵，，，， ∴三角形是直角三角形； D．∵，，，, ∴三角形不是直角三角形． 18．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．6，8，10 B．7，24，25 C．，， D．2，3，4 【答案】D 【分析】本题根据勾股定理的逆定理判断，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，否则不是，找出不满足该关系的选项即可． 【详解】解：选项A，，满足勾股定理的逆定理，可以作为直角三角形三边长； 选项B，，满足勾股定理的逆定理，可以作为直角三角形三边长； 选项C，，满足勾股定理的逆定理，可以作为直角三角形三边长； 选项D，，，可得，不满足勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长．【点睛】 19．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，即可得到的度数． 【详解】解：对已知等式利用平方差公式展开得：， 移项得：， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，为斜边，是所对的角， 因此． 20．若三角形的三边分别为1，，，则该三角形最大边上的高长为：________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再用面积法求出最大边上的高． 【详解】解：∵， ∴该三角形的最大边为， ∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，直角边为和， 设最大边上的高为，根据三角形面积相等可得： ， 化简得 ， 解得：． 题型6四边形积多边形的内角和 21．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】逐个检验是否能用三角形内角和及确定的角表示出四边形内角和即可． 【详解】 解：对于，将一个四边形分成两个三角形，则四边形的内角和等于两个三角形内角和相加，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成三个三角形，则四边形的内角和等于三个三角形内角和相加、再减去一个平角，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成四个三角形，则四边形的内角和等于四个三角形内角和相加、再减去一个周角，为，符合要求； 对于，将一个四边形补全为三角形，，，，， ，符合要求； 综上所述，个图形中的辅助线均可证明． 22．如图，在四边形中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的定义得出，再利用四边形内角和定理列式计算即可求出的度数 ． 【详解】解： 四边形的内角和为，且 ． 23．四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成如图的形状，点落在点处，点落在点处，若，，___________． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了折叠的性质、四边形内角和定理以及平角的定义，解题的关键是明确折叠前后对应角相等．先利用平角性质求出的度数，根据折叠的性质，通过已知角度求出以及的度数，再利用四边形内角和为来求解的度数即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， 故答案为：． 24．如图，在正六边形和正方形中，连接，并延长分别交，于点，M，与交于点，则__________． 【答案】150 【分析】根据题意得到，由等边对等角，三角形内角和定理得到，，进一步利用五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：正六边形和正方形中，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴正六边形的每个内角的度数为，正方形的每个内角的度数为， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 题型7平行四边形的性质积判定 25．如图，在中，为对角线，E为边上一点，连接，且．若平分，，则（     ）. A．60 B．45 C．50 D．55 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质和平行线的性质得到，则由角平分线的定义可推出，再由等边对等角推出，则可求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（     ） ①如果再添加条件“”， ②如果再添加条件“”， ③如果再添加条件“”， ④如果再添加条件“”． A．①或② B．①或③或④ C．②或③ D．②或③或④ 【答案】C 【分析】根据已有条件：，结合平行四边形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：如图，已有条件：， ①添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意； ②添加， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定，故符合题意； ③添加，根据可得， 又， ∴， ∴， ∴可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定，故符合题意； ④添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意； 综上：C符合题意． 27．如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用平行四边形性质与角平分线证明为直角三角形，求出的长度；再证明、，通过证明得，证明四边形是平行四边形，从而求出的长度． 【详解】解：如图，延长交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，平分，， ∴， ∴， 同理可得， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 28．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 【答案】10 【分析】由平行四边形性质可得，，，即是中点，从而可得是中位线，所以，求得，然后求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴是中点， ∵点是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴的周长是． 题型8矩形积菱形的认识 29．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】勾股定理逆定理得到，进而推出四边形是矩形，连接，则，证明，进而得到最小时，最小，进而得到时，最小，等积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， 连接，则在上，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 此时，即：， ∴， ∴的最小值为． 30．如图，四边形和四边形均是菱形，点在上．若，点M，N是，的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据菱形的性质得到，，，由得到，从而，，根据等腰三角形的“三线合一”得到，，，从而得到，，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接． ∵四边形和四边形均是菱形， ∴，，． ∴， ， ∵点是的中点， ， ， 31．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点B的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质，作轴，设，先利用勾股定理求出、的长度，从而得出点坐标，然后利用菱形的性质求得点的坐标． 【详解】解：如图，边点作轴， 由题意可得，， 轴， ， ， 设， 中，， ， （负值舍去）， ， 点的坐标为， 则点的坐标为． 32．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据四边形是矩形时，，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∴， 当四边形是矩形时，， 即， 解得：． 题型9函数的概念 33．跨学科试题·物理  在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 … 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（     ） A．，t B．，t C．，t D．，T 【答案】A 【分析】根据表格信息即可求解． 【详解】解：由表格可得，开始时温度为，每增加1分钟，温度增加， ∴温度T与时间t的关系式为：，此时自变量为t． 34．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据流程图计算出输入的x值是和2时，对应的y值，列方程即可求解． 【详解】解：由题意知，输入的x值是时，， 输入的x值是2时，， ， ． 35．若等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为，则与的函数解析式是_____ ，自变量的取值范围是_____ ． 【答案】 【分析】本题考查函数解析式，自变量的取值范围，等腰三角形的性质，三角形三边关系．根据等腰三角形的定义及三角形周长公式列出函数解析式，再结合三角形三边关系确定自变量x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， 整理得：， 即． 根据题意可得：， 将代入， 得：， 解得， 又∵， ∴， ∴y与x的函数解析式是，自变量x的取值范围是． 36．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x值为，则输出的函数值y为________． 【答案】 【分析】先判断输入所属的取值区间，再代入对应区间的函数解析式计算的值． 【详解】解：，满足，因此选用解析式， 将代入，． 题型10表述的表示方法 37．下列曲线中不能表示是的函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念，“对于自变量x的每一个确定的值，都有唯一的y值与之对应”，用平行于轴的直线去截图象，对四个图象逐一分析，即可判断． 【详解】解：用平行于轴的直线去截图象，如果能截到两个及以上交点，则不是函数，否则就是函数， A、用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故A不符合题意； B、用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故B不符合题意； C、用平行于轴的直线去截，能截到两个交点，它不能表示是的函数，故C符合题意； D、用平行于轴的直线去截，只能截到一个交点，它能表示是的函数，故D不符合题意． 38．如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿着折线匀速运动，运动速度为1cm/s，图2是线段的长度y与时间x（s）之间的函数关系的图象（不妨设当点P与点A重合时，），则菱形的面积为（     ） A．12 B．6 C．5 D．2.5 【答案】B 【分析】根据图2得出，再利用菱形的性质求出另一条对角线的长度，从而求出菱形的面积． 【详解】解：连接，且相交于点O， 根据题意，结合图2可知，; ∵四边形是菱形， ， ， ， ． 39．某人驾车从甲地驶往乙地，他以的速度行驶一段时间后休息，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程与时间之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是____． 【答案】80 【分析】根据题意求出休息以后的总路程和总时间，利用速度等于路程除以时间进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，休息后的总路程为：， 休息后到达乙地所用的时间为：， ∴休息以后该车行驶的速度是． 40．如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是______． 【答案】y=x+2x-2（x≥2） 【分析】根据题意得：第1个图：y=1+1+20，第2个图：y=3+2=2+1+21，第3个图：y=4+4=3+1+22，第4个图：y=5+8=4+1+23，…以此类推第n个图：y=n+1+2n+1-2，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 第1个图：x=2=1+1，y=2+1=1+1+20， 第2个图：x=3=2+1，y=3+2=2+1+21， 第3个图：x=4=3+1，y=4+4=3+1+22， 第4个图：x=5=4+1，y=5+8=4+1+23， … 以此类推：第n个图：x=n+1，y=n+1+2n+1-2， y与x之间关系的表达式是：y=x+2x-2（x≥2）， 故答案为：y=x+2x-2（x≥2）． 【点睛】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可． 题型11一次函数的概念 41．已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果． 【详解】∵是正比例函数， 根据正比例函数定义可得， 解得：或，即或， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 42．下列给出的四个点中，在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式．将各选项点的横坐标代入解析式，计算出值，与点的纵坐标比较即可得到结果． 【详解】解：A选项，∵当时，， ∴不在函数图象上，故A选项不符合题意； B选项，∵当时，， ∴不在函数图象上，故B选项不符合题意； C选项，∵当时，， ∴在函数图象上，故C选项符合题意； D选项，∵当时，， ∴不在函数图象上，故D选项不符合题意； 故选：C． 43．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 【答案】5 【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为 ，其中，符合一次函数定义． ∵该一次函数是正比例函数， ∴， 解得：． 44．已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，完全平方公式的变形运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据一次函数的性质可得，根据勾股定理可得，，根据完全平方公式的变形运算即可求解． 【详解】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上， ∴，即， ∴， ∵是直角的三边，为斜边， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， 故答案为： ． 题型12一次函数的图形及性质 45．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数和一次函数的图象性质，分和两种情况讨论，判断图象所在的象限及交点位置． 【详解】解：由题意，函数为正比例函数，图象必过原点；函数为一次函数，分两种情况讨论： （1）当时：的图象过第一、三象限；的，图象过第二、三、四象限，此时两直线交点在第三象限．没有选项符合题意； （2）当时：的图象过第二、四象限；的，图象过第一、二、三象限，选项D正确． 46．对于函数，下列说法不正确的是（     ） A．点在这个函数图象上 B．y随着x的增大而减小 C．当时， D．图象不经过第三象限 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，逐一判断各选项说法，找出错误选项即可. 【详解】解：函数中，，， ∵ 当时，， ∴ 点在函数图象上，A说法正确，不符合题意； ∵ ， ∴ 随的增大而减小，B说法正确，不符合题意； ∵ 令，则，解得， 即只有当时，，当时，， ∴ C说法错误，符合题意； ∵ ，， ∴ 函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，D说法正确，不符合题意. 47．若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由一次函数的图象不经过第二象限，可得一次项系数大于零，常数项小于等于零，列不等式组求解即可． 【详解】解：一次函数的图象是直线且不经过第二象限， 因此一次函数过一、三象限或一、三、四象限， 有：，解得，． 48．如图，在平面直角坐标系中，菱形的，两点的坐标分别为，，点在轴上，将直线沿轴向右平移个单位长度．若平移后的直线恰好平分菱形的面积，则的值是______． 【答案】3 【分析】根据菱形的对称中心是对角线交点，过中心的直线平分面积，先求出中心坐标，写出平移后直线解析式，再将点P坐标代入解析式，最后算出． 【详解】解：连接、交于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴点是的中点， ∵，， ∴， ∵直线沿轴向右平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线恰好平分菱形的面积， ∴直线经过点， ∴， 解得：． 题型13一次函数与方程（组）不等式 49．如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出结论． 【详解】解：A、直线与轴的交点坐标为， 当时，， 方程的解是，原说法错误，不符合题意； B、一次函数与的图象交于点， 方程组的解是，原说法错误，不符合题意； C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， 关于的不等式的解集是，正确，符合题意； D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方， 的解集为，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 50．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 51．如图，直线与直线为常数，且相交于点，则不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】先把点的坐标代入直线求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象，找出直线在直线上方部分对应的的取值范围即可． 【详解】解：点在直线上， ， 解得， 点的坐标为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 不等式的解集是． 52．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 【答案】 【分析】把点的坐标代入直线的解析式，求出点的坐标，因为直线与直线相交于点，所以方程组的解为． 【详解】解：把点的坐标代入直线的解析式， 可得：， 点的坐标为， 关于，的方程组的解为． 题型14实际问题与一次函数 53．一化学兴趣小组对某小苏打样品中的含量做了测定：将一定质量的小苏打样品加水全部溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．加入的稀盐酸越多，产生的气体越多 B．加入的稀盐酸时，产生气体 C．m的值为 D．产生的气体的质量为时，加入的稀盐酸为 【答案】C 【分析】根据函数图象求出函数解析式，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A．当加入稀盐酸的质量超过时，产生的气体不变，故A错误； B．当加入的稀盐酸时，产生气体，故B错误； C．设当加入稀盐酸质量小于时，产生气体质量关于加入的稀盐酸质量之间的函数解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 即m的值为，故C正确； D．把代入得：， 解得：， 即产生的气体的质量为时，加入的稀盐酸为，故D错误． 54．为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形分别表示出，的解析式，然后求这两条直线的交点坐标即可． 【详解】快速公交从A地出发，全程，用时， 因此快速公交速度为 ， ∴解析式为： ； 普通公交从B地出发，速度向A地行驶， 因此离A地的距离解析式为： ， 联立方程： ，解得 ， 代入，得， 因此P点坐标为． 55．某商场计划购进两种服装共100件，甲种服装进价160元/件，售价元/件；乙种服装进价元/件，售价160元/件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利最大利润为4950元，则的值为____________．（其中） 【答案】9 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设商场获得的利润为，根据总利润等于两种服装的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，结合商场获利最大利润为4950元，进行求解即可． 【详解】解：设商场获得的利润为，由题意，得： ， 整理，得：， ∵， 当，即：时，随的增大而减小， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：（舍去）； 当时，即：时，随的增大而增大， ∴当时，商场获得最大利润， 即：，解得：； 故答案为：9． 56．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．如图，某弹簧挂质量为的物体时，弹簧长度为，挂质量为的物体时，弹簧长度为．那么该弹簧不挂物体时的长度为__________． 【答案】 【分析】已知两点坐标，待定系数法求对应一次函数解析式，所求函数解析式中的b的值，其实际意义就是该弹簧不挂物体时的长度． 【详解】解：设， 由题意，得该一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴该弹簧不挂物体时的长度为． 题型15平均数、中位数和众数 57．为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份7元，乙种套餐每份5元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（    ） A．6 B．6.2 C．6.4 D．6.6 【答案】D 【分析】本题考查加权平均数的计算，以订购不同套餐的人数占比为权重计算平均花费即可求解． 【详解】解：设该校订餐学生总人数为， ∵订购甲种套餐的人数为 ，订购乙种套餐的人数为 ， ∴总花费为 ， ∴平均花费为 ． 58．2026年5月9日“苏超”第五轮无锡队主场3∶1战胜泰州队，首发阵容平均年龄为25的11名球员的年龄分别为19、28、19、22、22、28、33、21、29、32、22，则这组数据的中位数和众数分别为（     ） A．28和3 B．28和22 C．33和3 D．22和22 【答案】D 【分析】先将数据按从小到大排序，再根据定义分别求出中位数和众数即可． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序，得 ， ∵这组数据共个，为奇数个，中位数是排序后最中间的数即第个数， ∴ 中位数为， ∵在这组数据中出现次数最多， ∴众数为， 因此这组数据的中位数和众数分别为和． 59．某学校随机抽查了50名教职工，他们一周徒步的时间如下表所示． 徒步时间 教职工人数 该学校教职工一周徒步的平均时间为______． 【答案】5.36 【分析】先求出每组数据的组中值，再根据加权平均数公式计算即可得到结果． 【详解】分组数据计算平均数时，取每组区间的中点作为该组数据的代表值，即组中值， 各组组中值计算如下： 的组中值为， 的组中值为， 的组中值为. 的组中值为， 的组中值为， 根据加权平均数公式，平均时间为： ， 即该学校教职工一周徒步的平均时间为． 60．某车间工人在某一天加工的零件数只有5件，6件，7件，8件四种情况，这天的相关数据如图所示，有一个数据看不到，只知道7是这一天加工零件数的中位数．设加工零件数是7件的工人有x人，则x的最小值是______． 【答案】19 【分析】本题考查根据中位数确定未知数的值． 由题意可知，将数据从小到大排序后，第29个数为7，当第29个数据为中位数时，x的值最小，进行求解即可． 【详解】解：∵7是这一天加工零件数的中位数， ∴将数据排序，第个数据为7， ∴当第29个数据为中位数时，x的值最小，此时数据总数为：， ∴x的最小值是：． 故答案为：19． 题型16离差平方和、方差 61．将10位求职者的综合测试成绩分成“优秀”和“一般”两组，不同的分法共有（    ） A．8 种 B．9 种 C．10 种 D．11 种 【答案】B 【分析】根据每个间隔都可以作为分组的界限，因此分法数量等于间隔数量． 【详解】解：每个间隔都可以作为分组的界限，因此分法数量等于间隔数量． 10个数据有9个间隔，所以有9种不同的分法． 62．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 【答案】B 【分析】从给出的方差公式中可直接得到数据个数和这组数据的平均数，依次计算，中位数和方差，即可判断各选项正误． 【详解】解：∵方差公式为， ∴这组数据共5个，平均数为3，可得，C结论正确，不符合题意； 由平均数的定义得， 解得，A结论正确，不符合题意； 将这组数据从小到大排列为，共5个数，中位数为第3个数，即中位数为， ∴B结论错误，符合题意； 计算方差得：， ∴D结论正确，不符合题意． 63．某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 【答案】 【分析】先求出平均数，再运用公式直接求出离差平方和和方差，注意带单位，计算方差时，注意人数从5个变成了6个． 【详解】平均数为：， 离差平方和为：； 当新增一人的身高为时，与平均数相等，因此离差平方和不变还是； 方差为：． 64．为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练，在相同的条件下，两人各射击10次，成绩如图所示，则运动员____________的成绩更加稳定． 【答案】乙 【分析】先分别求出甲、乙两名运动员的方差，然后比较两人成绩的方差即可，方差越小，成绩越稳定． 【详解】解：甲的平均成绩为：， 乙的平均成绩为：， 甲成绩的方差为：， 乙成绩的方差为：， ∵， ∴乙的成绩更加稳定． 题型17四分位数 65．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，根据该图判断下列说法正确的是（     ） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班分数的上四分位数最大 C．丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，甲班的分数最高 【答案】A 【详解】解：A、由箱线图可知，甲班数据的极差最小，且箱体（中间的数据）最窄，数据分布最集中，所以甲班分数的方差最小，故选项A说法正确； B、丙班箱体的上边缘位置最高，即丙班分数的上四分位数最大，故选项B说法错误； C、丙班的中位数在80分以上，即丙班得分高于80分的人数多于得分低于80分的人数，故选项C说法错误； D、若每班有42名学生，，所以第11名（按分数从高到低排列）对应的分数约为上四分位数，因此丙班的上四分位数最大，即丙班的第11名分数最高，故选项D说法错误． 66．据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的上四分位数和众数分别是（     ） A．22，23 B．23，23 C．6，14 D．22.5，14 【答案】B 【详解】解：由表格可知鞋号23的频数最大，为14，因此众数为23， ∵共有30个数据，上四分位数的位置为， ∴i不是整数，向上取整得，取第23个数据作为上四分位数； 将数据从小到大排列，计算累计频数可得，前15个数据均不大于22，第16到第29个数据均为23，因此第23个数据为23，即上四分位数为23． 67．在一次体检中，测得某校八年级（1）班第一组同学的体重（单位：）分别为50，55，58，57，54，50，56，60．该组同学体重的上四分位数是______，离差平方和是______． 【答案】 【分析】需先对数据排序，再根据对应定义计算即可． 【详解】解：将数据从小到大排序得：，，，，，，，， 数据共个，上四分位数为分位数， 计算位置得，为整数， 因此上四分位数为第项与第项的平均数，即， 计算数据的平均数：， 离差平方和为各数据与平均数差的平方和， 计算得 ． 68．如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 【答案】40 【分析】从折线统计图中提取1号到6号每天的体育锻炼时间，得到6个原始数据，将提取到的6个数据按照从小到大的顺序排列，根据下四分位数的计算方法，计算，其中，，根据是否为整数，选择对应方法确定下四分位数． 【详解】从折线图读取1号到6号锻炼时间（单位：分钟）为：， 从小到大排序得：，共个数据， 下四分位数是第25百分位数，位置， 根据计算规则，不是整数时，向上取整，取排序后第2个数据，因此该组数据的下四分位数为． 解答压轴题（计算+解答） 题型18二次根式的混合运算 69．计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）． （2）． 70．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先通分计算括号内的分式的减法，然后把除法转化为乘法，分子、分母因式分解后约分化成最简分式后，把x的值代入再分母有理化即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型19一次函数的计算问题 71．求下列函数当时的函数值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题考查了求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解题的关键：当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值． （1）将代入函数解析式求值即可； （2）将代入函数解析式求值即可； （3）将代入函数解析式求值即可； （4）将代入函数解析式求值即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时， ； （3）解：当时， ； （4）解：当时， ． 72．求下列函数中自变量的取值范围． （1） （2）； （3）． 【答案】（1）全体实数 （2） （3） 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． （1）根据一次函数的自变量为一切实数解答； （2）根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可； （3）根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：中，自变量的取值范围是全体实数； （2）由题意得：，， 解得：； （3）由题意得：， 解得：． 题型20二次根式的复杂问题 73．已知，反之，． 又如，． 参考以上方法解决下列问题： （1）将写成完全平方的形式为 ； （2）若一个正方形的面积为，则它的边长为 ； （3）的算术平方根为 ． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）参考题目的方法即可求解； （2）参考题目的方法可得，再根据正方形的边长是正方形的面积的算术平方根即可求解； （3）参考题目的方法可得，根据算术平方根的定义以及二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵一个正方形的面积为，即， ∴它的边长为； （3）解： ， ∴， 即的算术平方根为． 74． 材料阅读： 两个不等于0的根式的积不含根式，则称这两个根式互为共轭根式．例如：与，与，与，共轭根式的一个特点是通过相乘能把根号去掉． 在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的式子，对这类式子进行分母有理化，可以通过分子和分母同时乘以分母的共轭根式实现．例如，，中分母的共轭根式分别为，，则∶ ；． 解决问题： （1）分母有理化： （2）分母有理化： （3）应用：光学中的焦距．在光学中，凸透镜成像公式为：，其中为焦距，为物距，为像距．已知某凸透镜的物距，像距，求该凸透镜的焦距． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）给的分子分母同乘以即可解答； （2）给的分子分母同乘以即可解答； （3）将、代入，再进行分母有理化，然后再计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：将、代入得： ， ， ． 答：该凸透镜的焦距． 题型21勾股定理解三角形 75．如图，在中，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，并延长交于点E，且． （1）求证：； （2）若E为中点，，求的值． 【答案】（1）见详解 （2） 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，结合证明，进而可得，即可证明结论； （2）设，首先证明垂直平分，易得，再根据垂直平分线的性质证明，进而可得，在中，由勾股定理解得的值，进一步求解即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即； （2）解：设， ∵E为中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即，解得（负值舍去）， ∴， ∴． 76．“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，． （1）求证：； （2）若“表”，，求的长； （3）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3）是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质即可得出结论； （2）证明得，根据勾股定理求出，则，在中，由勾股定理求； （3）根据角平分线定义及等边对等角得，证明，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴是等边三角形． 题型22勾股定理的应用 77．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）21米 （2）6米 【分析】（1）在中，由勾股定理得；再加上消防车自身高度，即可得处到地面的距离； （2）先根据题意求出竖直高度，在中，由勾股定理得水平距离；则可得到消防车靠近的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得，米，米，米， ∴在中，（米）， （米）， 答：B处与地面的距离是21米； （2）解：由题意得米． 米，（米）， （米）， （米）， 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为6米． 78．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 题型23多边形的内角和问题 79．下面是正多边形M和正多边形N的对话： （1）求正多边形M和正多边形N的边数； （2）在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答： 嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角． 淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角． 【答案】（1）M和N的边数分别是4和6； （2）见解析 【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角和的综合运用： （1）分别设出两多边形的边数，再根据多边形内角和公式列方程求解即可； （2）先计算每个外角，再计算每个内角即可．（也可以先计算正多边形的内角和，再计算每个内角度数） 【详解】（1）设M的边数为，N的边数为，由题意得： 解得：， ∴，， ∴M和N的边数分别是4和6； （2）嘉嘉解法：． 淇淇解法：正六边形的每个外角为：； 故正六边形的每个内角为． 80．项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 （1）对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是_____； （2）密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为___，并使相等的边重合． 【任务：寻找密铺】 （3）下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）；（多选） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 （4）公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，求的度数． 【答案】（1） （2）360 （3）ABD （4） 【分析】（1）根据正多边形的性质及内角和公式求解即可； （2）根据周角为可得答案； （3）根据各正多边形性质和内角，结合镶嵌知识逐个判断即可； （4）根据五边形的内角和求解即可． 【详解】（1）解：对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是； （2）解：密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合． （3）解：A、正三角形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； B．正方形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面； （4）解：五边形的内角和为，，， ． 题型24平行四边形的性质及判定的应用 81．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒． （1）的长为 　　 （2）用含的代数式表示线段的长，并写出t的取值范围 （3）当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． （4）当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）8 （2）， （3）或 （4）或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分两种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分于点E， ∴，， ∵， ∴； （2）解：当时，点Q在线段上，此时， 当时，点Q在线段的延长线上，此时； （3）解：∵以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴， ∴或， 解得：或； （4）解：当点Q在上，点P在上时，则，如图， ∴， ∴， 当点Q在线段的延长线上时，当时，点P在上，，不能为钝角，不合题意； 当点Q在线段的延长线上，点P在上时，则，如图， ∴， ∴， 综上所述：或时为钝角三角形． 82．如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均在网格的格点上． （1）判断是否为直角：______．（填写“是”或“不是”） （2）直接写出：长为 ，长为 ，四边形的面积为______． （3）找到格点E，并画出四边形（一个即可），使其面积与四边形面积相等． 【答案】（1）不是 （2），，14 （3）点和四边形即为所求： 【分析】（1）先利用勾股定理分别求出的长，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可得； （2）利用勾股定理求解即可，利用割补法求解四边形的面积； （3）先利用平行四边形的性质找到格点，再利用等高模型画出图形即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 不是直角； （2）解：；； 四边形的面积为； （3）解：先取格点，作出平行四边形，再取格点，连接即可． 题型25三角形的中位线问题 83．如图，在等边中，，分别为边，的中点，连接，交于点，，分别为，中点，连结，，，． （1）求证：和互相平分； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：，分别为边，的中点， ∴是的中位线， 且， 同理且， 且， 四边形是平行四边形， 与互相平分 （2） 【分析】（1）根据三角形中位线定理可证且，且，从而得出且，进而可证结论成立； （2）由，分别为边，的中点，可得，，由是斜边的中点，可得，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：为等边三角形，， ∴， ∵，分别为边，的中点， ∴，， 由（1）可知，， 在中，是斜边的中点， ， 在中，， 由（1）可知边形是平行四边形， ∴， ， 四边形的周长为． 84．【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… （1）请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 （2）如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 【答案】（1）；，理由见解析 （2） 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （2）先根据梯形面积求解得到的值，再由梯形中位线求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：连接并延长，交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． （2）解：梯形的面积为，高为， ∴ ∴ 则梯形的中位线． 题型26矩形的性质及判定的应用 85．如图，在中，对角线，相交于点，． （1）求证：是矩形； （2）点在边上，满足．若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． 又， ， 是矩形． （2） 【分析】（1）利用平行四边形对角线性质推出对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”求证； （2）先由矩形勾股定理算出对角线，得到，再用求值． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ， 又，， 在中， ， 矩形对角线互相平分， ， ， ， ， ． 86．在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N． （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为的中点时，四边形的形状是 ； （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长． 【答案】（1）矩形 （2） （3） 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，可证，即可求解； （2）如图，过点N作于G，点D作于H，由中点和勾股定理得到，则，，由得到，，即可求出，再根据，得到，最后根据列方程求解即可； （3）延长到T，使得，连接，．设，则，，证明，得到，，在中，由列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点D是的中点，点M是的中点， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，过点N作于G，点D作于H， ，，， ， ∵点D是的中点， ， ∴，， ， ，， ∵， ， ， 又， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ； （3）解：如图，延长到T，使得，连接，． 设，则，， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得，即． 题型27菱形的性质及判定的应用 87．如图1，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、． （1）试判断四边形为怎样四边形，并证明你的结论； （2）求的大小； （3）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）四边形为菱形， 证明：连接，． 由题意知为的中位线， ∴． 同理可得． ∴． ∴四边形为平行四边形． 在和中， ，，， 即． ∴． ∴． ∴， ∴平行四边形为菱形． （2） （3） 【分析】（1）连接，，根据中位线的性质可得，得出四边形为平行四边形，证明得出，进而可得，即可证明平行四边形为菱形； （2）设交于点，交于点，交于点，根据三角形内角和定理求得，进而根据平行线的性质，即可得出； （3）过点作于点，勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设交于点，交于点，交于点 ∵是等边三角形， ∴ 由（1）可得 ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过点作于点， ∵和都是等边三角形，，， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴菱形的周长为 88．如图，是由边长为1的小正方形构成的的网格图，已知格点，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中找格点D，使点A、B、C、D构成菱形； （2）在图②中找格点E，使点A、B、C、E构成梯形； （3）在图③中画上的高，再在取一点G，连接，使． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）根据菱形四条边都相等构造菱形即可； （2）构造的平行线即可； （3）构造等腰直角三角形即可． 【详解】（1）证明：由网格可知， 即四边形是菱形； （2）证明：由作图可知，则四边形是梯形； （3）证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）． 题型28正方形的性质及判定的应用 89．正方形外侧作直线，点B关于直线的对称点为E，连接，，其中交直线于点F． （1）依题意补全图1； （2）若，求的度数； （3）如图2，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）补全图1如图， （2） （3）解：，证明如下： 如图：连接，交于O， ∵四边形是正方形，点B关于直线的对称点为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意直接画出图形得出即可； （2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案； （3）由正方形的性质和轴对称的性质可得：，，，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， ∵点B关于直线的对称点为E，， ， 又∵在正方形中，，， ， ， ， ， ． （3）略 90．如图，梯形，，． （1）如图1，已知：，，，则 ； （2）如图2，点E为上一点，连接、，平分，点E为的中点，求证：； （3）如图3，点E为上一点，以、为邻边作． ①若，，，当为多少时，四边形为菱形； ②当四边形为正方形时，记正方形的面积为，梯形的面积为，那么可能等于吗？请判断并说明理由． 【答案】（1） （2）证明：如图，过点作于点，则， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）①当时，四边形为菱形； ②不可能，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，，则， 在中，， ∴正方形的面积为， ∵梯形的面积为， 若，即， 整理得，， ∵，是边长， ∴，， ∵， ∴对任意，，都不成立， ∴不可能等于． 【分析】（1）过点作于点，证明四边形是矩形，可得，，则，再利用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，证明，可得，再证明，可得，结合，平分，即可证明结论； （3）①由四边形为菱形，可得，设，则，在中，，在中，，建立方程即可求解； ②由四边形为正方形，可得，，证明，可得，，设，，则， 在中，，则正方形的面积为，梯形的面积为，若，即，可得，由，即可判断． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ， 在中，． （2）略 （3）解：①∵四边形为菱形， ∴， 设，则， 由（1）可知，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴当时，四边形为菱形． ②略 题型29一次函数图形及性质的实际应用 91．如图是我国某个湖泊最深处的某一截面图，一支潜水队测出了该湖泊水面下任一点A的压强p（单位：）与其距离水面的深度h（单位：m）的几组数据，整理得出下表： 距离水面的深度 10 15 20 25 30 水面下任一点A的压强 142 179 216 253 290 根据表格，回答下列问题： （1）自变量是 ，因变量是 ； （2）请根据已知数据求该湖泊水面的大气压强为多少？ （3）请求出处的压强值． 【答案】（1）距离水面的深度h，水面下任一点A的压强p （2）该湖泊水面的大气压强为 （3） 【分析】（1）结合自变量和因变量的定义进行分析，即可作答． （2）先结合表格数据分析得h每增加，压强增加，再根据当时，代入数值计算，即可作答． （3）由（2）得h每增加，压强增加，再根据当，代数计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，自变量是距离水面的深度h，因变量是水面下任一点A的压强p． （2）解：由表格可知，， 即h每增加，压强增加， ∴当时，， ∴该湖泊水面的大气压强为． （3）解：由（2）得h每增加，压强增加， ∴当时，， ∴处的压强值为． 92．2026年央视春晚由机器人与武术少年共同呈现的《武》节目，是我国科研能力的集中体现．如图，某餐厅的机器人小松和小江从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小松比小江先出发，且速度保持不变，小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小松行走的时间为，小松和小江行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示．根据图象回答下列问题： （1）机器人小松比机器人小江先出发________； （2）机器人小江提速后的速度为________； （3）求的值． 【答案】（1）15 （2）30 （3） 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）先求出机器人小江的原速度，进而可知机器人小江提速后的速度； （3）先根据小江提速后的速度求出m的值，进而求出机器人小松的速度，进而可求n的值． 【详解】（1）解：由函数图象可知，机器人小松比机器人小江先出发； （2）解：机器人小江的原速度， ∵小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍， ∴机器人小江提速后的速度为； （3）解：∵， ∴； ∴机器人小松的速度为， ∴． 题型30用一次函数解决实际问题 93．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元，设小明快递物品千克． （1）根据题意，填写下表： 快递物品重量（千克） 0.5 1 3 4 甲公司收费（元） 11 22 52 乙公司收费（元） 11 51 67 （2）设甲快递公司收费元，乙快递公司收费元，分别写出关于的函数关系式； （3）当时，小明应选择哪家快递公司更省钱？请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）当时，小明应选择乙公司省钱；当时，两家公司费用一样；当时，小明应选择甲公司省钱；理由见解析 【分析】（1）由甲乙两个公司收费标准计算填表即可； （2）由甲乙两个公司收费标准求解即可； （3）根据题意，分三种情况：；；求解即可． 【详解】（1）解：甲公司：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费， 当，收费为（元）； 乙公司：按每千克16元收费，另加包装费3元， 当时，收费为（元）； （2）解：甲公司：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费， 当时，；当时，； ； 乙公司：按每千克16元收费，另加包装费3元， ； （3）解：当时，小明应选择乙公司省钱；当时，两家公司费用一样；当时，小明应选择甲公司省钱． 理由如下： 当时，分三种情况： 当时，有，解得； 当时，有，解得； 当时，有，解得； 综上所述，当时，小明应选择乙公司省钱；当时，两家公司费用一样；当时，小明应选择甲公司省钱． 94．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． （1）点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； （2）平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； （3）点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （4）若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 【答案】（1），20 （2） （3）存在，点的坐标为或 （4）或 【分析】（1）由平行四边形的性质可得点D的坐标，平行四边形的面积等于底乘高； （2）平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点，平分其面积的直线必经过对称中心； （3）先求出直线的解析式，分三种情况：为对角线时，为边且点N在x轴的负半轴时，为边且点N在x轴的正半轴时，根据对角线中点重合列方程组，即可求解； （4）先将一次函数解析式变形，求出其图像必经过的点，再分别求出其图像经过点D，B时k的值，结合图像即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，点在轴正半轴上，，， ，，， 点D的纵坐标与点A相同，横坐标为， 点的坐标是， 平行四边形的面积； （2）解：，， 对角线，的交点坐标为，即， 设经过点且平分平行四边形面积的直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， 所求直线的解析式为； （3）解：，点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，存在三种情况： 当为对角线时，如图： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的负半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的正半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即， 综上可得，存在，点的坐标为或； （4）解：， 一次函数的图象一定经过点， 当 的图象经过点时， ， 解得； 当的图象经过点时， ， 解得； 结合上图，可得当或时，的图象与平行四边形的边有2个交点． 题型31求平均数的实际问题 95．学校组织演讲比赛，从演讲主题、演讲内容、基本能力、整体表现四个方面对选手进行评分．下表是甲、乙两位选手在各个项目上的得分情况（百分制）： 演讲主题 演讲内容 基本能力 整体表现 选手甲 80 80 90 82 选手乙 85 82 85 82 （1）如果以上四个方面的重要性之比为，谁的最终成绩高？ （2）如果以上四个方面的重要性之比为，情况又如何呢？ 【答案】（1）乙的最终成绩更高 （2）甲的最终成绩更高 【分析】（1）根据加权平均数计算甲、乙成绩，比较大小，得出结果； （2）根据加权平均数计算甲、乙成绩，比较大小，得出结果． 【详解】（1）解：甲的成绩：， 乙的成绩：， ∵， ∴乙的最终成绩更高； （2）解：甲的成绩：， 乙的成绩：， ∵， ∴甲的最终成绩更高． 96．某校开展以“持续弘扬长征精神”为主题的演讲比赛，选手的成绩由演讲内容、语言表达、临场表现三项组成，每项成绩均由7位评委打分，取平均分作为该项的实际成绩，再将演讲内容、语言表达、临场表现三项成绩按的比例计算出每人的总评成绩．其中，甲、乙两位选手的三项实际成绩和总评成绩（单位：分）如下表． 演讲内容 语言表达 临场表现 总评成绩 甲 86 76 82 乙 84 82 已知7位评委给乙的临场表现打出的分数（单位：分）为78、82、79、82、76、83、80． （1）将7位评委给乙的临场表现打出的分数看作一组数据，则该组数据的中位数是___________分，众数是___________分； （2）求乙临场表现的实际成绩； （3）若根据总评成绩从高到低确定最终名次，则两位选手谁的最终名次比较靠前？ 【答案】（1）80，82 （2）80 （3）乙排在甲的前面 【分析】（1）把78，82，79，82，76，83，80，按从小到大的顺序排列找出中位数，众数； （2）实际成绩是7位评委打分的平均分； （3）利用加权平均数的计算方法计算乙的总评成绩，与甲的总成绩比较做出判断即可． 【详解】（1）解：把78，82，79，82，76，83，80，按从小到大的顺序排列：76，78，79，80，82，82，83， ∴中位数为80分，众数为82分； （2）解：乙临场表现的实际成绩为： （分）； （3）解：乙的总评成绩为：（分）． ∵， ∴乙排在甲的前面． 题型32方差或离差平方和问题 97．根据国家统计局《中国统计年鉴2021》报告，南京和福州两地2020年各月降水量（单位：）数据如下表所示： 单位： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 南京 75.2 35.5 89.8 70.8 33.7 281.6 271.9 114.3 82.8 64.9 76.8 20.5 福州 28.2 65.2 262.8 63.9 262.6 224.1 81.7 80 119.4 5.6 0.5 16.5 （1）两地2020年的月平均降水量各是多少毫米？它们相近吗？ （2）你认为这两个城市该年的降水情况相近吗？请作比较． 【答案】（1）南京月平均降水量约为 ，福州月平均降水量约为 ，二者月平均降水量相近． （2）两个城市该年降水情况不相近，福州月降水量的波动比南京更大． 【分析】本题考查平均数和方差，掌握求方差的方法是解题的关键 （1）用数据数和除以，据此求出平均数，比较即可； （2）先求出方差，再比较即可． 【详解】（1）南京2020年的月平均降水量： 福州2020年的月平均降水量： ∵， ∴从计算结果看，它们较为相近； （2）南京的方差为：， 福州的方差为：， ∵， ∴福州月降水量的波动比南京更大． 两个城市该年降水情况不相近，福州月降水量的波动比南京更大． 98．学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级： 八年级： 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 离差平方和 七年级 84 90 444 八年级 84 87 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_____；_____； （2）A同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是_________年级的学生，请说明理由； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出相应理由． 【答案】（1） （2）七，理由见解析 （3）八年级，理由见解析 【分析】（1）由中位数的求法、离差平方和的求法代入计算即可； （2）比较七年级成绩和八年级成绩的中位数即可得到答案； （3）分别求出七年级、八年级成绩的方差，比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：将七年级名学生的测试成绩按照由小到大的顺序排列：， 七年级成绩的中位数为 ，即； ； （2）解：由（1）知七年级成绩的中位数为分、八年级成绩的中位数为分，若A同学这次测试得了分，大于分，位于年级中等偏上水平，则他是七年级学生； （3）解：八年级， 理由如下： 七年级成绩的方差为；八年级成绩的方差为， 七年级成绩的平均数与八年级成绩的平均数相等，八年级成绩的中位数大于七年级成绩的中位数，八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差， 八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好． 题型33求四分位数 99．在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重． （1）该地区今年5月有没有严重污染天气？ （2）该地区哪个月的AQI值比较集中？ 【答案】（1）该地区今年5月有严重污染天气 （2）该地区5月的AQI值比较集中 【详解】（1）解： 该地区今年5月空气质量指数（）箱线图外部有点， 即有一个异常值超过200， 该地区今年5月有严重污染天气； （2）解：该地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）最小值相同，第一四分位数相同，中位数相同，但5月最大值和第三四分位数小于6月的最大值和第三四分位数， 该地区5月的AQI值比较集中． 100．为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：    （1）在扇形统计图中， ，在箱线图中 ， （2）本次调查样本中数据的众数为 （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少? 【答案】（1）28，， （2） （3）120 【分析】（1）先由扇形图百分比和为算出；再用总人数50乘各占比，得各时长人数；最后根据箱线图四分位数定义，找到第12、13个数据（均为6）和第25、26个数据（均为7），得b、c的值； （2）众数是数据中出现次数最多的数值．先根据扇形图各时长的百分比，算出对应人数：有6人、有8人、有12人、有14人、有6人、有4人．对比人数，的人数最多，则问题可求解； （3）先找出每周参加科学教育时间的时长，即和；再将两者的百分比相加，得到总占比为；最后用总人数乘该占比，算出估计人数即可． 【详解】（1）解：扇形统计图中各部分百分比之和为，因此：， 根据样本容量50， 计算各时间段人数：：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， 箱线图中，b为第一四分位数，c为中位数： 中位数：第25、26个数据的平均数，前个数据中， 第25、26个数据均为， 故； 第一四分位数：第12、13个数据的平均数，前个数据中， 第12、13个数据均为，故； （2）解：众数是一组数据中出现次数最多的数， 由（1）中各时间段人数可知，对应的人数为14人，是所有时间段中人数最多的， 因此众数为； （3）解：时间不少于的学生，对应和两个时间段， 总占比为：， 该校八年级共有600人，因此估计人数为：（人）， 答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为120人． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $