吉林省长春市榆树市部分学校2026年中考6月份考前冲刺数学试题

**基本信息** 2026年中考数学冲刺卷以航天科技、糖熔化实验为情境，覆盖代数几何统计核心知识，梯度设计适配三轮复习，综合题凸显推理与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|绝对值、科学记数法、抛物线平移|基础概念与几何直观结合，如第6题矩形对角线性质| |填空题|6/18|因式分解、圆的性质、位似变换|空间观念与符号意识，如第12题位似图形周长比| |解答题|7/78|概率计算、四边形证明、函数综合|科学情境与推理能力，如21题糖熔化数据处理；压轴题24题抛物线与动态几何结合，体现模型意识|

2026年中考6月份考前冲刺数学试题 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1．（3分）若|x|＝5，y是9的算术平方根，则x+y的值是（　　） A．8 B．﹣8 C．﹣2 D．﹣2或8 2．（3分）某平台交易额突破2500亿元，若用科学记数法表示该数据应是（　　） A．2.5×1011元 B．25×1010元 C．2.5×1012元 D．0.25×1011元 3．（3分）将抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向右平移2个单位，再向下平移4个单位后所得到的抛物线解析式为（　　） A．y＝﹣2（x﹣1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 C．y＝﹣2（x+1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2+7 4．（3分）不等式x﹣2≤0的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝6，则k的值为（　　） A．1 B．5 C．15 D．20 6．（3分）如图，在矩形ABCD中，两条对角线交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则AD长为（　　） A．2 B． C． D．8 7．（3分）如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽为6m，坝高为24m，斜坡AB的坡角∠A为45°，斜坡CD的坡角∠D的正切值为，则坡底AD的长为（　　）m A．42 B． C．78 D． 8．（3分）如图，正六边形ABCDEF对角线AD的长为8，则正六边形ABCDEF的边长为（　　） A．2 B． C． D．4 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9．（3分）分解因式：﹣a3+36a＝　 　 ． 10．（3分）如图，小华认为从A点到B点的四条路线中，③是路程最短的，他判断的依据是　 　 ． 11．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若AB＝26，CD＝24，则△OCE的面积为　 　 ． 12．（3分）如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝AA′，则五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长比为 　 　 ． 13．（3分）如图，若将边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为　 　 cm2． 14．（3分）已知：如图，菱形OABC在直角坐标系中，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC＝160，有下列四个结论，其中正确的结论是 　 　 ． ①双曲线的解析式为y（x＞0）； ②sin∠COA； ③E点的坐标是（4，8）； ④AC+OB＝12． 三、解答题（共78分） 15．（5分）先化简，再求值：，其中a＝2． 16．（6分）随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．数学活动课上，小雅和小辰做抽卡片游戏，将四张正面分别印有不同航天领域图标的卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，如图所示．（卡片除正面不同外，其余都相同） （1）小雅从中随机抽取一张卡片，该卡片上的图标“既不是轴对称图形，也不是中心对称图形”的概率是 　 　 ； （2）若小雅从中随机抽取一张卡片，不放回，然后小辰再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上的图标都是中心对称图形的概率． 17．（6分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．求证：矩形DEFG是正方形． 18．（5分）如图，在一块长80cm、宽50cm的风景画四周镶嵌相同宽度的金边，如果要使镶金边之后画框的面积为5400cm2，求所镶金边的宽度． 19．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形且点C、D均在格点上． （1）在图①中，四边形ABCD面积为2； （2）在图②中，四边形ABCD面积为3； （3）在图③中，四边形ABCD面积为4． 20．（10分）为了解九年级学生“居家学习”的自主学习能力，某校随机抽取该年级部分学生，对他们的自主学习能力进行了测评统计，（其中自主学习能力指数级别“1”级，代表自主学习能力很强；“2”级，代表自主学习能力较强；“3”级，代表自主学习能力一般；“4”级，代表自主学习能力较弱）请结合图中相关数据回答问题． （1）本次抽查的学生人数 　 　 人，并将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中3级对应圆心角的度数为 　 　 ． （3）本次抽查学生“居家学习”自主学习能力指数级别中位数为 　 　 级． （4）根据上述统计结果，估计该校九年级850名学生自主学习能力较强及以上的学生有多少名？ 21．（10分）糖类是一类有机化合物，有研究表明，不同种类的糖熔化过程中的温度变化不同．某校兴趣小组为研究糖的种类对其熔化过程中温度变化随时间的影响，选取了两种不同种类的糖，在其他方面均相同的情况下，记录糖初始温度，每隔0.5min测定其温度与初始温度的温度差为y℃，部分实验结果如下： 【说明】 a．此实验中均在同一实验室进行，糖的初温均相同； b．可使用函数刻画温度差y（单位：℃）与时间t（单位：min）之间的关系． c．糖完全熔化后持续吸热，温度保持不变，将保持不变的这个温度称为其熔点． 【实验结果】 白砂糖： t 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 y1 0 35.8 63.3 89.1 109.7 128.2 145.4 160.0 171.2 171.2 171.2 饴糖： t 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 y2 0 25.0 43.1 62.1 78.3 93.4 107.1 119.2 119.2 119.2 119.2 根据上述结果，回答下列问题： （1）建立平面直角坐标系，根据表格所给数据，分别画出y1与t，y2与t所满足的函数关系图象； （2）在相同条件下，更容易熔化的糖是 　 　 （填“白砂糖”或“饴糖”）； （3）查阅资料得知，该白砂糖的熔点在184℃～189℃，该饴糖的熔点在136℃～138℃． 若初始温度为整数． ①初始温度是 　 　 ℃； ②对于饴糖，当与初始温度的温度差为100.0℃时，其加热时间t为 　 　 min，此时白砂糖的温度为 　 　 ℃（结果均保留一位小数） 22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n，且满足，点D是线段OC上的一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处． （1）求线段AC的长； （2）求△ACD的面积； （3）点M在直线DE上，在y轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出满足条件的点N的个数，并直接写出两个点N的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（9分）在矩形ABCD中，BC＝2AB，点E是对角线AC上任意一点，过点E作AD的垂线分别交AD，BC于点F，G，作FH平行AC交CD于点H． （1）证明：EF＝CH． （2）连结GH交AC于点K，若AE：CK＝3，求AE：EK的值． （3）作△FGH的外接圆⊙O，且AB＝1． ①若⊙O与矩形的边相切时，求CH的长． ②作点E关于GH的对称点E′，当E′落在⊙O上时，直接写出△FGH的面积． 24．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴和y轴分别交于点A（3，0）和点B（0，3），点P是此抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在x轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出x的取值范围； （3）当﹣2≤x≤2时，直接写出二次函数y＝﹣x2+bx+c的最大值与最小值的差； （4）过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣3m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小． ①求m的取值范围； ②直接写出线段PQ与抛物线y＝﹣x2+bx+c交点个数及对应的m的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A． B B C C C D 9． ﹣a（a+6）（a﹣6）． 10． 两点之间线段最短． 11． 30． 12． ． 13． 24． 14． ②③④． 15． 解： ， 当a＝2时，原式． 16． 解：（1）∵四张卡片中“既不是轴对称图形，也不是中心对称图形”只有B， ∴P（“既不是轴对称图形，也不是中心对称图形”）， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中抽取的两张卡片上的图标都是中心对称图形的情况有：（A，C），（C，A）， 故所求概率 ． 17． 证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝∠ECM＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∴EM＝EN，∠MEN＝90°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF＝90°， ∴∠DEN+∠NEF＝∠FEM+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠FEM， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形． 18． 解：设所镶金边的宽度为xcm， 根据题意得，（80+2x）（50+2x）＝5400， 整理得：x2+65x﹣350＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣70（不符合题意，舍去）， 答：所镶金边的宽度为5cm． 19． 解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求． （2）如图②，四边形ABCD即为所求． （3）如图③，四边形ABCD即为所求． 20． 解：（1）本次抽查的学生人数为12÷24%＝50（人）， “1”级的学生数为50×8%＝4（人），将条形统计图补充完整如图所示； 故答案为：50； （2）扇形统计图中3级对应圆心角的度数为：360°144°， 故答案为：144°； （3）本次抽查学生“居家学习”自主学习能力指数级别中位数为3级， 故答案为：3； （4）850×（8%+24%）＝272（人）． 答：估计该校九年级850名学生自主学习能力较强及以上的学生有272人． 21． 解：（1）由描点，连线可得两个函数的图象如下： （2）相同条件下，温度差越小越容易熔化，由图象可知，怡糖容易熔化， 故答案为：怡糖； （3）①由题意可知，初始温度为整数，初始温度为0℃， 故答案为：0； ②当y2＝100℃时，由两个函数的图象可知，饴糖加热时间t1约为2.8min，此时白砂糖的温度为 138.2℃． 故答案为：2.8，138.2（答案不唯一）． 22． 解：（1）∵线段OA、OC的长分别是m，n且满足， ∴m﹣6＝0，n﹣8＝0， ∴OA＝6，OC＝8； ∴， ∴线段AC的长为10； （2）设DE＝x， 由翻折的性质可得：OA＝AE＝6，OD＝DE＝x，DC＝8﹣OD＝8﹣x， ∴EC＝10﹣AE＝10﹣6＝4， 在Rt△DEC中，由勾股定理可得：DE2+EC2＝DC2， 即x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴DE＝OD＝3， ∴S△ACDAC•DE10×3＝15； （3）在y轴上存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 过E作EG⊥OC，如图1， 在Rt△DEC中，， 即， 解得：EG＝2.4， 在Rt△DEG中，， ∴OG＝OD+DG＝4.8， ∴点E的坐标为（2.4，4.8）， 设直线DE的解析式为：y＝ax+c， 把D（0，3），E（2.4，4.8）代入解析式可得： ， 解得：， ∴DE的解析式为：yx+3， 把x＝6代入DE的解析式yx+3，可得：y， 此时M（6，）， 即AM， 当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形且CN为边时， ∴CN＝AM， ∴ON＝8，ON′＝8， ∴点N的坐标为（0，）或（0，）； 如图2，当CN为平行四边形的对角线时， 设M（m，m+3），N（0，n），而A（6，0），C（0，8）， ， 解得：， ∴N（0，）； 综上：N的坐标为（0，）或（0，）或（0，）． 23． （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD⊥AD， ∵过点E作AD的垂线分别交AD，BC于点F，G， ∴FG∥CD， ∵FH∥AC， ∴四边形ECHF为平行四边形， ∴EF＝CH； （2）解：如图1，过点K作KM⊥CD于点M，则KM∥AD， ∴∠EAF＝∠CKM， ∵∠AFE＝∠KMC＝90°，AE：CK＝3， ∴△AEF∽△KCM， ∴，即EF＝3CM， ∵EF＝CH， ∴CH＝3CM，即HM＝2CM， ∵KM∥AD，FG∥CD， ∴， ∴CK＝2EK， ∴AE＝6EK， ∴AE：EK＝6； （3）解：①根据题意得：FG＝CD＝AB＝1，AD＝2CD＝2， 当⊙O与边CD相切时，此时点H为切点， 如图2，设⊙O与BC交于点G、R，连接OH，FR，则OH⊥CD， ∵∠FGR＝90°， ∴FR为⊙O的直径， ∴点O，F，R共线，且OF＝OR， ∵OH⊥CD，AD⊥CD， ∴OH∥AD， ∴， ∴； 当⊙O与边AD相切时，则⊙O与边BC也相切，如图3，此时 F，G 为切点，FG为直径， ∴∠FHG＝90°， ∴∠DHF+∠CHG＝90°＝∠DHF+∠DFH， ∴∠CHG＝∠DFH， ∵∠D＝∠BCD＝90°， ∴△FDH∽△HCG， ∵FH∥AC， ∴△FDH∽△ADC， ∴△HCG∽△ADC，， ∴，， ∴，DF＝2DH，即CH＝2CG， ∵DF＝CG， ∴CH＝2DF， ∴CH＝4DH， ∴； 当⊙O与边AB相切时，如图4，设⊙O与边BC的另一个交点为点Q，设切点为点N，连接ON，则ON⊥AB，ON⊥FG， ∵∠FGQ＝90°， ∴FQ为直径， ∴∠FHQ＝90°， 同理△FDH∽△HCQ， ∴， ∵FH∥AC， ∴，即， ∴，， ∴CH＝2CQ，AF＝2CH， 根据题意得：OP∥BC， ∴△FOP∽△FQG， ∴， ∴， 设CQ＝a，则CH＝2a，NP＝BG＝AF＝4a， ∴GQ＝2﹣5a，， ∴， ∴FQ＝2ON＝2+3a， 在Rt△FGQ中，由勾股定理得：1+（2﹣5a）2＝（2+3a）2， 解得：或（不合题意，舍去），即； 综上所述，CH的长为0.5或或； ②△FGH的面积为；理由如下： 由题意可得如图5，连接E′G，E′H，E′F，EE′，EH，过点H作HR⊥EG于点R， 由折叠的性质可知：EH＝E′H，∠FGH＝∠E′GH， ∵∠FGH＝∠FE′H，∠E′GH＝∠E′FH， ∴∠E′FH＝∠FE′H， ∴FH＝E′H＝EH， ∵HR⊥EG， ∴FR＝ER， ∵∠D＝∠RFD＝∠FRH＝∠BCD＝90°， ∴四边形FRHD，FGCD是矩形， ∴FG＝CD＝AB＝1，FR＝DH， ∵EF＝CH， ∴EG＝DH＝FR， ∴， ∵FH∥AC，FD∥RH， ∴∠DAC＝∠DFH＝∠FHR， ∵， ∴， ∴． 24． 解：（1）把A（3，0）和B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得：0＝﹣x2+2x+3， 解得x＝﹣1或x＝3， 由图可得，点P在x轴上方的抛物线上时，x的取值范围是﹣1＜x＜3； （3）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线关于直线x＝1对称，在x＝1处，y有最大值，最大值为4， ∵|﹣2﹣1|＞|2﹣1|，﹣1＜0， ∴当x＝﹣2处，y有最小值，最大值为﹣（﹣2﹣1）2+4＝﹣5， ∴当﹣2≤x≤2时，直接写出二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣5）＝9； （4）①∵PQ∥x轴，点P横坐标为m，点Q的横坐标为﹣3m+1， ∴当m＝﹣3m+1，即时，P与Q重合； 当m＜﹣3m+1，即时，PQ＝﹣3m+1﹣m＝﹣4m+1， ∵﹣4＜0， ∴此时PQ随m的增大而减小，符合题意； 当﹣3m+1＜m，即时，PQ＝m﹣（﹣3m+1）＝4m﹣1， ∵4＞0， ∴此时PQ随m的增大而增大，不符合题意； 综上所述，当线段PQ的长度随m的增大而减小，m的取值范围是； ②由①知， ∵抛物线关于直线x＝1对称，P（m，﹣m2+2m+3）， ∴1×2﹣m＝2﹣m， ∴点P关于直线x＝1对称的点的坐标为（2﹣m，﹣m2+2m+3）， 如图1，当﹣3m+1≥2﹣m时， ∴PQ与抛物线有两个交点， ∴， ∴，PQ与抛物线有两个交点， 如图2，当﹣3m+1＜2﹣m时， ∴PQ与抛物线有一个交点， ∴，PQ与抛物线有一个交点； 综上，，PQ与抛物线有一个交点，，PQ与抛物线有两个交点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $