吉林榆树市部分学校2025-2026学年度第二学期6月份考前冲刺数学试题（一）

**基本信息** 2025-2026学年第二学期6月考前冲刺数学试卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖代数、几何、统计核心知识，以健步走追及、采茶计费等现实情境为载体，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配初中数学模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|绝对值、三视图、平行线判定、规律探究等|第4题以单项式串规律探究考查抽象能力，第6题结合测量树高情境考查解直角三角形应用| |填空题|6/18|因式分解、抛物线性质、圆中计算等|第13题折叠与等腰三角形动态问题，第14题圆中角度与线段计算，体现几何直观| |解答题|7/78|概率、分式方程、函数应用、几何探究等|20题健步走追及问题构建函数模型，23题等腰三角形折叠探究考查推理能力，24题二次函数综合体现综合思维|

· 2025-2026学年度第二学期6月份考前冲刺 · 数学试题（一） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1．（本题3分）下列各数中，绝对值最小的是（    ） A． B． C．0 D．3 2．（本题3分）如图，该几何体的主视图是（　  　） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图所示，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知单项式串：，，，，…，，其中为非负整数，为正整数．规定：，下列说法： ①若，则，； ②从单项式，，，，，中任选4个，存在7种情况，使得其中两个单项式的积等于另外两个单项式的积； ③从单项式串中任取10个相邻单项式，至少存在1种情况，使得其中五个单项式的积等于另外五个单项式的积． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（本题3分）若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C． D．或 6．（本题3分）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标示意图 相关数据 米，， 设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在中，，点为中点，，绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 8．（本题3分）如图，在直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数（，）的图像与正方形的两边分别交于点M、N，轴，垂足为D，连接．下列结论：①；②；③四边形与面积相等；④若，，则点C的坐标为．其中正确结论的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题（共6小题，每3分，共18分） 9．（本题3分）分解因式：a3﹣a=_____． 10．（本题3分）已知，则___． 11．（本题3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C在上，且的长为2π，点D在OA上，连接BD，CD，BC，若点C，O关于直线BD对称，则BC长=____________． 12．（本题3分）抛物线（a、b、c为常数，），经过，两点．下列结论：①；②抛物线与x轴一定有两个交点；③不等式的解集为；④若，则恒成立．其中正确的结论（序号）是___________． 13．（本题3分）如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 _____． 14．（本题3分）如图，P为直径上的一点，，点M和N在上， ，，则________________ ．    三、解答题（共78分） 15．（本题6分）计算： (1) (2) 16．（本题6分）袋子中有3个红球，2个黄球．甲先从中任取一个球，取后不放回，乙再从中任取一个球，用表格列举试验结果，分别求出下列事件的概率． (1)甲取到红球； (2)乙取到红球； (3)两人都取到红球． 17．（本题6分）清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的2倍，每个熟练采茶工人采摘400斤鲜叶比新手采茶工人采摘320斤鲜叶少用15天． (1)求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； (2)某茶厂计划一天采摘鲜叶400斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和16名新手采茶工人，熟练采茶工人每人每天的工资为300元，新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 18．（本题6分）如图，平分，且，点是上一点，过点作于点，交于点，若，求的值． 19．（本题6分）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作： （Ⅰ）将矩形纸片沿折叠，使点落在边上点处，如图②； （Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点再次折叠，使得点落在边上点处，如图③，两次折痕交于点； （Ⅲ）展开纸片，分别连接、、、，如图④． 【探究】 （1）证明：； （2）若，设为，为，求关于的关系式． 20．（本题9分）国家卫建委发布的《中国居民膳食指南（2022）》为2岁以上健康人群提出的八条核心建议中的第二条提到“吃动平衡，健康体重”，运动和膳食是保持健康的有效方式．为此，小华妈妈制定了每天在家后面的健康步道上健步走1小时的运动计划，用手机记录了其1个月（30天）内每天60分钟健步走的步数情况，整理画出的直方图如图所示．某周六傍晚19：00，小华妈妈沿用以往健步走的平均速度，从家里出发沿健康步道进行锻炼，19：08家中的小华接到妈妈的电话，让其帮忙送水，19：10小华拿着水沿健康步道的同一方向跑步去追妈妈，19：20小华正好经过离家1470米远的A观景台．已知小华妈妈平均每步长0.6米，小华跑步的时间记为分钟，小华离家的路程记为米，妈妈离家的路程记为米．（备注：小华和妈妈的运动视为理想的匀速运动状态） (1)求关于的函数关系式； (2)通过计算，请你帮小华判断，他能19：30追上妈妈吗？ (3)小华追上妈妈后，两人休息10分钟，此时小华和妈妈利用某设备进行互联设置．若该设备有效连接范围是200米，即：小华和妈妈的距离不超过200米时，该设备能正常互联，超过200米时，该设备不能正常互联．休息结束，妈妈立即以原来的速度继续前进，且设备开始互联计时，t分钟后，小华以原来的速度沿妈妈行走的路线追妈妈．若要保证该设备能正常连续不间断互联的时间不低于10分钟，求t的取值范围？（结果保留小数点后二位） 21．（本题9分）作为网红城市的重庆，五一节小长假将迎来旅行的高峰，为方便外地游客的出行，重庆市某约车公司推出了一种新型的打车方式，该打车方式的费用收取是按照行驶的路程进行分段计费．小李选用了该打车方式出行，图中折线是小李打车所付车费y（元）与路程x（千米）之间的关系，请根据图象信息，解决下列问题 （1）若小李打车的路程为26千米，则小李所付的车费为　 　； （2）请求出当3≤x≤6时车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式； （3）若小李支付的车费为37元，求小李打车的路程．    22．（本题9分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图： (1)如图①，在上画一点E，连结，使； (2)如图②，在上画一点F，连结，使； (3)如图③，在上画一点M，连结，使． 23．（本题9分）如图1，是一张等腰三角形纸片，，小明用该等腰三角形纸片进行折纸探究活动．将过点B所在直线折叠，使得翻折至处，折痕为交于点F． 操作发现：经过若干次操作尝试，小明发现折叠后的可以与平行，如图2； 质疑探究：是否存在一种等腰三角形纸片使得与既平行又相等，小明运用所学过的数学知识通过探究发现这样的等腰三角形是存在的，如图3． (1)请在操作发现的情形下，证明：； (2)请在质疑探究的情形下，求的值． 24．（本题12分）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点是该抛物线在第四象限上的点，点在轴上，点、点的横坐标分别为、，射线交轴于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当点在该抛物线的顶点时，求的面积； (3)当是等腰直角三角形时，求点的坐标； (4)当线段和抛物线有公共点时，设公共点为（点不与点、、重合），连接．若，则的值为___________．（写出一个即可） 第3页 共10页 ◎ 第4页 共10页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B C B D C 9．a（a﹣1）（a+1） 10． 11．6 12．①③④ 13．或或 14． 15． （1）解： ； （2）解： ． 16． （1）解：设3个红球分别为，2个黄球为， 列表如下： 乙 甲 A B C D E A B C D E 可得共有种等可能情况，甲取到红球有种情况， 所以甲取到红球的概率为； （2）解：可得共有种等可能情况，乙取到红球有种情况， 所以乙取到红球的概率为； （3）解：根据上述表格可得共有种等可能情况，两人都取到红球有种情况， 所以两人都取到红球的概率为． 17． （1）解：设新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，则熟练采茶工人一天能采摘鲜叶2x斤． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶16斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶8斤． （2）解：设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元， 则每天安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶． 根据题意，得． ∵， ∴y随m的增大而减小． ∵是整数，，且m为整数， ∴当时，y有最小值， 此时． 答：茶厂一天应安排17名熟练采茶工人采摘鲜叶，16名新手采茶工人采摘鲜叶能使费用最少． 18． 解：如图，过点作于． 平分，于点，于， ，． ． ． 于，， ． ． 19． （1）如图，连接、，并过点作的平行线分别交、下点、． 由图形翻折得：，， ，，， ， 为等腰直角三角形，． 又， ， ． 在与中，， ． （2）由（1）得：，是等腰直角三角形 ． 在中，， ，即． 20． （1）解：∵19：10小华拿着水沿健康步道的同一方向跑步去追妈妈，19：20小华正好经过离家1470米远的A观景台， ∴小华跑步的速度为（米/分钟）； 设小华跑步的时间记为分钟，小华离家的路程记为米， ∴关于x的函数关系式为． （2）解：根据直方图表示了30天内每天60分钟健步走的步数情况， 故30天内健步走的总步数为：（步），小华跑步的速度为（米/分钟）， 平均每天的步数为（步）， ∵小华妈妈平均每步长米， ∴小华妈妈平均每天运动的路程为（米）， 故小华妈妈健步走的速度为（米/分钟）； 设妈妈离家的路程记为米，根据题意可知妈妈健步走的时间为分钟， ∴关于x的函数关系式为， 当时，小华追上妈妈， 即， 解得：， 即19：30时，小华追上妈妈． （3）解：根据题意可知，小华和小华妈妈的运动速度不变，故休息结束后，妈妈的健步走时间为分钟，小华跑步的时间为分钟，小华跑步的路程记为米，妈妈健步走的路程记为米， 则，； 当小华尚未出发时，两人之间的距离为， 则根据题意，， 解得：， 即的最大值为分钟， 当小华跑步超过妈妈时，两人之间的距离为， 则根据题意，， 整理得：， ∵设备能正常连续不间断互联的时间不低于10分钟， 即， 故， 解得：， 故的最小值为分钟， ∴t的取值范围为． 21． （1）设车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为y＝kx+b（x>6)， 把（6，16），（9，20.5）代入得： ，解得：k＝1.5，b＝7， ∴y＝1.5x+7， 当x＝26时，y＝1.5×26+7＝46元， 故答案为46； （2）当3≤x≤6时车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为y＝kx+b， 把（3，10），（6，16）代入得： ，解得：k＝2，b＝4， ∴y＝2x+4， 答：当3≤x≤6时车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为y＝2x+4； （3）把y＝37元代入y＝1.5x+7得， 1.5x+7＝37， 解得：x＝20， 答：小李支付车费37元，其打车的路程为20千米． 22． （1） 解： （2）解：过点D作的垂线，与相交于点F， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：取格点G，连接，交于点M， 由图可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 23． （1）证明：由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． （2）解：过点A作，垂足为H， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设，，则， 由（1）得：， 解得：（舍去），， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 24． （1）解：∵抛物线（是常数）经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，点在该抛物线的顶点， ∴， ∵点是该抛物线在第四象限上的点，点在轴上，点、点的横坐标分别为、， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴的面积， （3）解：∵点是该抛物线在第四象限上的点，点在轴上，点、点的横坐标分别为、， ∴，， ∴ 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴或， 解可得或（不符合题意，舍去）， 当时，，此时，不在第四象限，故不符合题意； 解可得或（不符合题意，舍去）， 当时，，此时，在第四象限，符合题意，此时； （4）解：由（3）可得：，，， ∴点为的中点， ∵线段和抛物线有公共点时，设公共点为（点不与点、、重合），， 又∵四点共线， ∴, 又∵点为的中点， ∴点是线段或线段的中点， 当点是线段的中点时，此时， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当点是线段的中点时，此时， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 答案第14页，共15页 10 学科网（北京）股份有限公司 $