2026年辽宁省鞍山市海城市协作体中考前模拟数学试题

**基本信息** 以现实情境与创新定义为载体，全面考查初中数学核心知识，突出数学眼光、思维与语言的综合应用，适配中考三模备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、视图、抽样调查、几何图形性质等|微信收付款（第1题）、高考人数科学记数法（第3题）等情境，考查抽象能力与几何直观| |填空题|5/15|因式分解、不等式、勾股数规律、圆内接四边形等|勾股数规律（第13题）、二阶行列式（第14题），体现推理意识与符号意识| |简答题|8/75|方程应用、统计图表、新定义、解直角三角形、圆与函数综合等|全民阅读调查（第18题）、智慧城市交通建模（第21题），新定义“虹桥值”（第19题）、抛物线内接三角形（第22题），考查模型意识与创新思维|

2026年三模数学参考答案 一．选择题（每题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A B C D C C B 2、 填空题（每小题3分，共15分） 11. a（a+3）（a﹣3） 12．x＜﹣10 13．12，35，37 14．1 15．100° 三、解答题（共8题，共75分） 16.(10分)解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17 (8分).解：（1）设去年准备的A道具x件，B道具y件， ， 解得， 则100×（1+10%）＝110（件），200×（1+20%）＝240（件）， 答：今年准备A道具110件，B道具240件． （2）设第二组每小时摆m件B道具， ， m＝1000， 经检验m＝1000是原方程的解， 答：第二组每小时摆1000件B道具． 18.(8分）解：（1）在扇形统计图中，“散文”对应的扇形圆心角度数为：360°×30%＝108°， 故答案为：108； （2）调查学生的总数为：60÷30%＝200（人）， 本次调查中最喜爱“小说”的学生人数是：200﹣60﹣20﹣40＝80（人）； （3）86086（人）， 答：估计全校最喜爱“诗歌”的学生大约有86人． 19. (8分)解：（1）设函数的“虹桥值”为w， ∴． ∴当x＞0时，w随x的增大而减小． ∵1≤x≤5， ∴当x＝1，w最大＝6， ∴函数的“最优虹桥值”为6． （2）设二次函数y＝﹣x2+5x+c的“虹桥值”为w， ∴w＝y﹣x ＝﹣x2+5x+c﹣x ＝﹣（x﹣2）2+c+4， ∴开口向下， ∴当x＞2时，w随x的增大而减小， ∵3≤x≤6， ∴当x＝3时，w最大＝﹣（3﹣2）2+c+4＝6， ∴c＝3． 20.(8分)解：延长DC交AN于点H，则DH⊥AN． 在Rt△BCH中，∠BCH＝∠β＝78.5°， ∵cos∠BCH，sin∠BCH， ∴CH＝CB•cos78.5° ≈10×0.20 ＝2（m）， BH＝CB•sin78.5° ≈10×0.98 ＝9.8（m）． ∴DH＝CD+CH＝3.6（m）． ∵DE∥AN， ∴∠DAN＝∠EDA＝α＝8.5°． 在Rt△DAH中， ∵tan∠DAN， ∴（m）． ∴AB＝AH﹣BH＝24﹣9.8＝14.2（m）， 答：河宽AB约为14.2m． 21.(8分)（1）证明：连接OB、OP， 由题意可得：PA⊥OA， ∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP（SSS）， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切线． （2）解：连接CB，设OP交AB于点F， 由切线长定理可得：PA＝PB，∠OBP＝90°， ∴△PAB是等腰三角形， ∵OA＝OB， ∴∠OPA＝∠OPB，∠BFP＝90°，AF＝BF， ∴∠APB＝2∠OPB， ∵AO＝BO， 由中位线的性质可得：OF∥CB，， ∵∠APC＝3∠BPC， ∴∠APB＝3∠BPC+∠BPC＝4∠BPC， ∴2∠OPB＝4∠BPC， ∴∠OPB＝∠OPC+∠BPC＝2∠BPC， ∴∠OPC＝∠BPC， 由题意可得：AB⊥BC， ∵PO⊥AB， ∴PO∥BC， ∴∠OPC＝∠BCP， ∴∠BPC＝∠BCP， ∴PB＝CB＝2OF， 设PF＝x，OF＝m，则PB＝CB＝2m， ∵，且PO＝x+m，PB2＝（2m）2＝4m2， ∴PF•PO＝PB2， ∴x（x+m）＝4m2， 解得，（舍去）， ∴， ∵PF∥CB， ∴△PEF∽△CEB， ∴， ∴的值为． 22 (12分)解：（1）∵A（﹣1，1），B（1，1）， ∴对称轴为直线x＝0，即y轴， ∵O（0，0）， ∴设抛物线解析式为y＝ax2， 将A（﹣1，1）代入得a＝1， ∴y＝x2， 故答案为：y＝x2； （2）设AB与y轴交于点M， ∵△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝∠A＝∠B＝60°，OA＝OB＝AB， ∴∠AOM＝30°， 设BM＝m，则OMm， ∴B（m，）， 将B坐标代入y＝x2得，m（m＝0不合题意，舍去）， ∴点A的坐标是，点B的坐标是； （3）如图，过点A作 AC⊥x轴于点C，过点B作 BD⊥x轴于点D． 设点，点， ∵∠AOB＝∠ACO＝∠ODB＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°∠AOC+∠OAC＝90° ∴∠OAC＝∠BOD， ∴△AOC∽△OBD． ∴，即OC•OD＝BD•AC， ∴， 解得x1x2＝﹣1或x1x2＝0（舍去）． 设直线AB的解析式为y＝kx+m（k≠0）． 由 得x2﹣kx﹣m＝0． ∵x1x2＝﹣m＝﹣1， ∴m＝1． ∵当x＝0时，y＝m＝1， ∴点P的坐标是（0，1）； （4）①如图，设抛物线的对称轴交AB于点D． 由抛物线和等腰直角三角形的对称性， 得AD＝BD，CD⊥AB，∠DCB＝∠DCA＝45° ∴CD＝BD＝AD＝a． ∵对称轴为， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 将点B，C的坐标分别代入y＝x2+bx+c， 得， 解得a＝1或 a＝0（舍去）． ∴AB＝2a＝2，CD＝1． ∴． ②∵点A和点B在x轴上，点C在y轴上， 若当点A和点B在y轴同侧时，则△ABC为钝角三角形， 如图， 此时∠ABC＞90°或∠BAC＞90°， ∵抛物线开口向上， ∴c＞0； 若∠ACB＞90°时，则可先讨论∠ACB＝90°的c值， 如图， 设A（x1，0），B（x2，0）， ∴x1•x2＝c， ∵∠ACB＝90°， ∴∠OAC＝∠OCB＝90°﹣∠OCA， ∵∠AOC＝∠BOC， ∴△AOC∽△COB， ∴，即， ∴﹣x1x2＝c2， ∴﹣c＝c2， 解得x＝﹣1或c＝0（舍去）， ∴此时﹣1＜c＜0时，∠ACB＞90°； 综上，c＞0或﹣1＜c＜0． 23.(13分)解：（1）∵将线段AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得到线段AD， ∴∠CAD＝α＝30°，AC＝AD， ∴， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝120°+30°＝150°， ∵AC＝AD，AB＝AC， ∴AB＝AD， ∴， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝75°﹣15°＝60°； 如图，过点A作AG⊥BC于点G， ∵AB＝AC， ∴， 在Rt△ABG中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60；． （2），证明如下： ∵将线段AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得到线段AD， ∴∠CAD＝α，AC＝AD， ∴， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝120°+α， ∵AB＝AC，AC＝AD， ∴AB＝AD， ∴， ∴； ∵AE⊥BD，AB＝AD， ∴AE垂直平分BD， ∴FB＝FD， ∴△BFD是等边三角形， ∴∠DBF＝60°，∠AFB＝∠AFC＝30°， 如图，延长FB至G，使得BG＝CF，连接AG， ∵， ∴， ∵， ∴∠ACD＝∠ABF， ∴180°﹣∠ACD＝180°﹣∠ABF，即∠ABG＝∠ACF， 在△ABG和△ACF中， ， ∴△ABG≌△ACF（SAS）， ∴AG＝AF，∠G＝∠AFC＝30°， ∴∠FAG＝120°， 由（1）可得， ∴，即； （3）情况一∵， 由（1）的结论可得：， ∵△BFD是等边三角形， ∴BD＝BF， ∴， ∵BF＜AC，则当α＞120°时，符合题意，如图， 在Rt△AEB中，， 在Rt△BEF中，， ∴． 情况二：∵AB＝AC＝AD，∠BAC＝120°，BC， ∴， ∵AF⊥BD，α＞120°，△BFD为等边三角形，BF＝3， ∴BD＝BF＝3，， ∵∠AEB＝90°， ∴， ∵△BFD是等边三角形，FE⊥BD， ∴， ∵A、E、F共线，AF＝AE+EF， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年海城市协作体中考第三次质量监测 数学试卷 (试卷满分120分，答题时间120分钟） 温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上,答题要求见答题卡，否则不给分. 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求.） 1．微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款10元记作+10元，那么向商家付款20元记作（　　） A．+20元 B．﹣20元 C．+10元 D．﹣10元 2．如图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（　　） A． B． C． D． 3．截至2026年4月，根据教育部发布的数据显示，2026年高考报名人数是13420000人，比2025年增加了390000人，连续第9年增长，创历史新高．数据13420000用科学记数法表示为（　　） A．1342×104 B．134.2×105 C．13.42×106 D．1.342×107 4．“致中和，天地位焉，万物育焉”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．为了解某校学生的户外运动时间，现对该校学生进行抽样调查，下列抽样方式较合理的是（　　） A．随机抽取该校一个班级的学生 B．随机抽取该校50名学生 C．在操场上随机抽取50名学生 D．随机抽取该校50名男生 6．下列运算正确的是（　　） A．3a+b＝3ab B．a3•a4＝a12 C．a8÷a4＝a4 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 7．如图，象棋盘上，若“将”位于点（1，﹣1），“象”位于点（3，﹣2）．则“炮”位于点（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 8．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AB＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则OE的长为（　　） A． B． C．3 D． 9．《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛：大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容器各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 10．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝4，FB＝2，则MG＝（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．因式分解：a3﹣9a＝ 　 　 ． 12．关于x的不等式的解集为　 　 ． 13．杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　 　 ． 14．我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为过，称为二阶行列式，并规定它的运算法则为．例如：．若，则x的值为　 　 ． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝100°，则∠ADE＝　 　 ． 三、简答题（共8小题，共75分，解答应写出适当文字） 16．(10分)计算： （1）； （2）． 17．(8分)为迎接国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了300件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多10%，B道具数量比去年多20%，今年两种道具总数比去年多50件． （1）求今年准备的A，B两种道具各多少件？ （2）今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的1.5倍，第一组比第二组提前10分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 18．(8分)2026年4月第四周是首个依法设立的“全民阅读活动周”，某校策划开展“书香校园”系列活动，努力营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围．学校要在各楼层图书角放置散文、小说、诗歌、戏剧四类体裁的文学类书籍，为了解学生对这四类书籍的喜爱情况，图书管理员设计了以“我最喜爱的文学类书籍”为主题的调查问卷，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择其中一项），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成如图两幅不完整统计图． 调查问卷 我最喜爱的文学类书籍是（　　）（单选） A．散文B．小说C．诗歌D．戏剧 请根据以上信息，解答下列问题： （1）在扇形统计图中，“散文”对应的扇形圆心角度数为　 　 °； （2）求本次调查中最喜爱“小说”的学生人数； （3）若该校共有860名学生，请你估计全校最喜爱“诗歌”的学生人数． 19．(8分)【概念呈现】 在平面直角坐标系中，点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“虹桥值”，函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”． 【概念理解】 求函数y＝2x+1（2≤x≤4）的“最优虹桥值”； 解：设函数y＝2x+1的“虹桥值”为w， ∴w＝y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1， ∵k＝1＞0 ∴w随x的增大而增大 ∵2≤x≤4时， ∴当x＝4，w最大＝5 ∴函数y＝2x+1（2≤x≤4）的“最优虹桥值”为5． 【拓展应用】 （1）求函数的“最优虹桥值”； （2）若二次函数y＝﹣x2+5x+c（3≤x≤6）的“最优虹桥值”为6，求c的值． 20．(8分)小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡BM上的点C处安装测角仪CD，测得河对岸点A的俯角α为8.5°，CD与BM的夹角β为78.5°，又测得点C与河岸点B之间的距离CB为10m．已知CD＝1.6m，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且CD⊥AB．求河宽AB．（参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin78.5°≈0.98，cos78.5°≈0.20，tan78.5°≈4.92） 21．(8分)综合实践：智慧城市交通规划中的几何建模 为推进国家智慧城市交通网建设与城市立体交通规划的实施，某城市规划院设计了圆形交通枢纽模型：⊙O为城市核心交通圈（圆心为O），AC是⊙O的直径（代表枢纽主交通干线），规划的快速联络道PA是⊙O的切线（快速道沿切线方向接入交通圈），交通圈上的换乘节点B在⊙O上，且快速道PA与联络道PB的规划长度相等（PA＝PB）．规划的综合廊道PC与交通圈的核心联络弦AB交于换乘分流点E． （1）规划师需验证：联络道PB是否也为⊙O的切线（即PB是⊙O的切线），请完成证明； （2）若规划中测得（廊道规划的角度设计关系），求PE：CE的比值． 22．(12分)新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，△ABC的三个顶点A（1，0），B（2，﹣1），C（4，3）都在抛物线y＝x2﹣4x+3上，我们把△ABC叫做抛物线y＝x2﹣4x+3的内接三角形，抛物线y＝x2﹣4x+3叫做△ABC的外接抛物线． 问题： （1）已知点A（﹣1，1），B（1，1），则△ABO的外接抛物线的解析式为　 　 ； （2）如图2，已知等边△ABO是抛物线y＝x2的内接三角形，求顶点A，B的坐标； （3）如图2，已知Rt△ABO是抛物线y＝x2的内接三角形，∠AOB＝90°，求边AB与y轴的交点P的坐标； （4）已知△ABC是抛物线y＝x2+bx+c的内接三角形，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当△ABC是等腰直角三角形时，求△ABC的面积； ②当点C在y轴上，且△ABC是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 23.(13分)某同学制作一架小型航AC模，其主体骨架由若干根轻质杆组成．在骨架的一部分结构中，有三根长度相同的杆，分别记作AB、AC、AD，其中A是骨架上的一个节点，B、C是位于同一直线上的两个连接点，且杆AB与AC之间的夹角为120°，在组装过程中，他将杆绕节点A沿逆时针方向旋转一个角度a（0°＜α＜180°），使其到达新的位置AD，然后用两根短杆分别连接B与D、D与C，构成一个四边形骨架ABCD． （1）如图1，当α＝30°时，∠BDC＝　 　 °，　 　 ； （2）在上述结构中，过节点A作一条与BD垂直的直线，该直线与BD相交于点E，并与直线DC相交于点F，再用一根杆连接B与F．设当0°＜α＜120°时，试探究线段AF、CF、BF之间的数量关系并证明你的结论； （3）在第（2）问的条件下，若，在杆AC绕A旋转的整个过程中（0°＜α＜180°），当BF＝3时，求AF的长．（直接写出结果） 数学试卷 第 页（共6页）1 学科网（北京）股份有限公司 $