24.4 数据的分组课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“数据的分组”核心知识点，通过招聘成绩分组的实际问题导入，联系生活分类现象，先回顾离差与离差平方和旧知，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生理解按组内离差平方和最小原则分组的方法。 其亮点在于以问题驱动教学，通过公式推导培养数学思维，结合树苗高度、奥运会金牌等实例让学生用数学语言表达数据关系，形成数据观念与模型观念。教学方法注重探究与应用结合，课堂小结清晰，当堂小练巩固，助力学生提升数据分析能力，方便教师高效开展教学。

第二十四章 数据的分析 24.4 数据的分组 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 数据的分组 5. 课堂小结 6. 当堂小练 CONTENTS 7. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 1. 经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法. 2. 能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断和预测，并进行交流，感受用统计的思维和方法解决实际问题的过程，形成数据观念和模型观念. 学习目标 知识回顾 一般地，有 n 个数据 x1，x2，，xn，用表示它们的平均数，我们把 xi- （i=1，2，，n）叫作 xi 关于平均数的离差. 离差 统计中通常先对离差进行平方，然后求和. 我们把 (x1- )2+(x2- )2++(xn- )2 叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”. 离差平方和 新课导入 在社会生活中，分类现象普遍存在.例如，超市里各种商品按用途不同分类摆放，宾馆根据硬件设施、服务水平等分成不同的星级，等等.在实际问题中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便.对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，也会有助于我们解决问题. 新课讲解 知识点 数据的分组 问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩(百分制)按从小到大的顺序排列如下：58 64 68 75 76 83 85 89 90 92你认为哪一部分应聘者应当进入面试? 自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进人面试．那么笔试成绩怎样才算好呢？可以有不同的标准．例如，前三名或85分及以上等，不管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组. 对笔试成绩进行分组，上面提到的标准各有其合理性，在实际中也经常被采用．但这些标准都没有考虑数据自身的特点，这可能导致两个很接近的笔试成绩被分到不同的组.例如，83分与85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩，而83分属于差成绩．而从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法. 因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组. 新课讲解 思考 怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？ 在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组. 将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起. 因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法. 可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成9个间隔，如图所示. 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法. 新课讲解 如果把这组数据分为两组，前m(m<n)个数据为一组，后(n-m)个数据为一组，它们的平均数分别记为1和2，离差平方和分别为 d12=(x1-1)2+(x2-1)2++(xm-1)2, d22=(xm+1-2)2+(xm+2-2)2++(xn-2)2. 那么 d2=(x1-)2+(x2-)2++(xn-)2 =(x1-1+1-)2+(x2-1+1-)2++(xm-1+1-)2+ (xm+1-2+2-)2+ (xm+2-2+2-)2+ +(xn-2+2-)2 =(x1-1)2+(x2-1)2++(xm-1)2+(xm+1-2)2+(xm+2-2)2++(xn-2)2+ m(1-)2+(n-m)(2-)2 =d12+d22+m(1-)2+(n-m)(2-)2. 新课讲解 其中d12+d22称为组内离差平方和. 表示两个组内数据的离散程度；记d122=m(1-)2+(n-m)(2-)2, d122 是m个第一组数据平均数、(n-m) 个第二组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异． 根据组内离差平方和最小的原则进行分组时，由于d²不变，既可以按d12+d22最小来分组，也可以按d122最大来分组. 新课讲解 这样，根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者分在同一组．利用计算器或信息技术工具，可以计算出图中的9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示. 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 799.6 799.6 第2个间隔 18 503.5 521.5 第3个间隔 50.7 271.4 322.1 第4个间隔 152.8 170.8 323.6 第5个间隔 228.8 54.8 283.6 第6个间隔 411.3 26 437.3 第7个间隔 587.4 4.7 592.1 第8个间隔 819.5 2 821.5 第9个间隔 1 026.2 0 1 026.2 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小． 因此，按组内离差平方和最小的分法为{58，64，68，75，76}和{83，85，89，99，92}. 数据分组的步骤： 1. 将数据由小到大排列； 2. 从m＝1开始，分类讨论所有可能的分组情况； 3. 分别计算全部数据和分组后数据的平均数； 4. 计算两组的组内离差平方和(或组间离差平方和)； 5. 组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大)的分组即为最合理的分组. 新课讲解 归纳 1. 由小到大进行数据排序才能保证分组方案有效. 2. 若有n个数据，则有(n－1)种分组方法. 注意 新课讲解 例 1. 生物小组测量了10株新栽树苗的高度(单位：厘米)，数据按从小到大的顺序排列为12，15，18，20，22，25，28，30，33，35.老师按照前5株(12~22)、后5株的方式将树苗分成了2组. (1) 请计算该分组下的组内离差平方和. (2) 请计算该分组下的组间离差平方和，并验证 =d 2是否成立. 解 ：(1) =(12-17.4)2+(15-17.4)2+(18-17.4)2+(20-17.4)2+(22-17.4)2=63.2. ， =(25−30.2)2+(28−30.2)2+(30−30.2)2+(33−30.2)2+(35−30.2)2=62.8, =63.2+62.8=126.0. 新课讲解 例 1. 生物小组测量了10株新栽树苗的高度(单位：厘米)，数据按从小到大的顺序排列为12，15，18，20，22，25，28，30，33，35.老师按照前5株(12~22)、后5株的方式将树苗分成了2组. (1) 请计算该分组下的组内离差平方和. (2) 请计算该分组下的组间离差平方和，并验证 =d 2是否成立. =63.2+62.8=126.0. 解：(2)因为  所以 =5×(17.4-23.8)2+5×(30.2-23.8)2=409.6. (12-23.8)2+(15-23.8)2++(35-23.8)2=535.6. 因为  所以  成立. 新课讲解 练一练 1. 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示. 城市 北京 石家庄 呼和 浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 3 3 -3 -11 10 21 22 12 9 17 解：将表中的数据按从小到大排列，可得 -11 -3 3 3 9 10 12 17 21 22 将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示. 新课讲解 练一练 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 584.2 584.2 第2个间隔 32 380.9 412.9 第3个间隔 98.7 285.7 384.4 第4个间隔 132 158.8 290.8 第5个间隔 228.8 113.2 342 第6个间隔 308.8 62 370.8 第7个间隔 397.4 14 411.4 第8个间隔 562 0.5 562.5 第9个间隔 789.6 0 789.6 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为 {北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}. 新课讲解 练一练 2. 巴黎奥运会中，美国、中国、日本、澳大利亚、法国分别以金牌40枚、40枚、20枚、18枚、16枚位列金牌榜前5位，根据组内离差平方和最小的原则，把这5个国家分为三组，应该如何分？(保留小数点后一位) 解：将所得金牌数量按照从小到大的顺序排列为16，18，20，40，40. 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 第三组离差平方和 组内离差平方和 {16}{18}{20,40,40} 0 0 266.7 266.7 {16}{18,20}{40,40} 0 2 0 2 {16}{18,20,40}{40} 0 296 0 296 {16,18}{20}{40,40} 2 0 0 2 {16,18}{20,40}{40} 2 200 0 202 {16,18,20}{40}{40} 8 0 0 8 观察最后一列可以发现，按组内离差平方和最小的分组方法为{法国}，{澳大利亚、日本}和{美国、中国}或{法国、澳大利亚}，{日本}和{美国、中国}. 课堂小结 数据的分组 按组内离差平方和最小分组 按组间离差平方和最大分组 当堂小练 1. 科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率(单位：μmol·m－2·s－1)．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若根据“组内离差平方和最小”的原则将其分为两组，则需先将数据由______到______排序，再将这8株植物分成两组，共有______种分法． 小 大 7 当堂小练 C 2. 某校开展了以“书香校园”为主题的读书活动．八(1)班班长统计了该班其中一个小组的5名学生一学期课外图书的阅读量(单位：本)，分别为5，6，10，14，20．现要依据阅读量把这5名学生分成两组，班长给出了四种分组方式(如下表)，并计算出了不同分组方式的组内离差平方和(保留两位小数)，你认为其中分组最合理的方式是(　　) A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．第四种   分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组1个{5}，第二组4个{6，10，14，20}  107.00 第二种 第一组2个{5，6}，第二组3个{10，14，20}  51.17 第三种 第一组3个{5，6，10}，第二组2个{14，20}  32.00 第四种 第一组4个{5，6，10，14}，第二组1个{20}  50.75 当堂小练 3. 现有一组数据：12，15，18，20，22，25，将其分成两组{12，15}和{18，20，22，25}，则这种分组情况的组内离差平方和为________． 31.25 解：第1组数据{12，15}的平均数为{12＋15}÷2＝13.5， 则离差平方和为(12－13.5)2＋(15－13.5)2＝4.5. 第2组数据{18，20，22，25}的平均数为(18＋20＋22＋25)÷4＝21.25， 则离差平方和为(18－21.25)2＋(20－21.25)2＋(22－21.25)2＋(25－21.25)2＝26.75. 所以这种分组情况的组内离差平方和为4.5＋26.75＝31.25. 当堂小练 4. 如图记录了某地连续5天的日最低气温，若把这5天的最低气温按组间离差平方和最大的原则分成两组，则这两组是__________________和_________________________． {星期一，星期二} {星期三，星期四，星期五} 当堂小练 5. 五个城市某月的平均低温单位： 如下表所示： 城市 A B C D 平均低温/ 0 -2 5 2 3 根据平均低温的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组． 解：将平均低温按从小到大的顺序排列 ， 5个平均低温按顺序排列形成4个间隔， 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 13 13 第2个间隔 2 4.67 6.67 第3个间隔 8 2 10 第4个间隔 14.75 0 14.75 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第2个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此，按组内离差平方和最小的分法为{A ，B}和{C，D，E} ． 拓展与延伸 6. 艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干名同学进行艺术测评与分析，下面是对九(1)班抽测到的10 名同学的测评分值的数据分析过程： 【收集与整理】10 名同学的测评分值分组统计如下： 分组方式 组别 测评分值 方式一 (按平均分相同分组) Ⅰ组 80，85，85，90，100 Ⅱ组 80，85，90，90，95 方式二 (按分数段分组) 甲组 80，80，85，85，85 乙组 90，90，90，95，100 【描述与分析】分组数据统计量分析表 分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和 方式一 Ⅰ组 m 85 46 360  Ⅱ组 90 90 26 方式二 甲组 85 85 6 110  乙组 90 n 16 说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度. 它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近． 10 名同学的测评分值的分布情况如图. 根据以上信息，解答下面各题： (1) 扇形统计图中“100 分”对应的圆心角度数为_____°； (2) m＝_____，n＝_____； 36 85 90 拓展与延伸 【收集与整理】10 名同学的测评分值分组统计如下： 分组方式 组别 测评分值 方式一 (按平均分相同分组) Ⅰ组 80，85，85，90，100 Ⅱ组 80，85，90，90，95 方式二 (按分数段分组) 甲组 80，80，85，85，85 乙组 90，90，90，95，100 【描述与分析】分组数据统计量分析表 分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和 方式一 Ⅰ组 m 85 46 360  Ⅱ组 90 90 26 方式二 甲组 85 85 6 110  乙组 90 n 16 说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度. 它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近． 10 名同学的测评分值的分布情况如图. 【判断与决策】(3)为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由． 解：方式二利于开展小组学习．理由如下： 由表知，方式二的组内离差平方和小于方式一，更利于开展小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步． $