吉林省长春市榆树市北片学校2025-2026学年度第二学期6月份阶段测试八年级数学试题

**基本信息** 2025-2026学年八年级数学6月月考卷，含选择（8题24分）、填空（6题18分）、解答（78分），梯度覆盖基础与能力，如无人机配送应用题（17题）和正方形综合探究题（23题），体现运算能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|一元二次方程定义、科学记数法、矩形性质等|基础概念辨析，如第1题考查一元二次方程定义| |填空题|6/18|同类二次根式、菱形周长、分式方程解等|性质应用，如第12题结合三角形中位线求菱形周长| |解答题|78|方程求解、实际应用、几何证明与探究|情境化与探究性，如17题无人机配送（应用意识）、23题正方形中AE=EF证明及拓展（推理能力）|

2025-2026学年度第二学期6月份月考八年级数学试题 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．2x+y＝4 B．3x3﹣x＝1 C．y5 D．2x﹣3x2＝9 2．（3分）下列二次根式中最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）中国女药学家屠呦呦获诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，0.0000015用科学记数法表示为（　　） A．1.5×10﹣6 B．15×10﹣7 C．0.15×10﹣5 D．1.5×106 4．（3分）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx+2（k≠0）向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线，则直线y＝kx+2经过的点可以是（　　） A．（6，6） B．，0） C． D．（3，1） 5．（3分）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，AC＝8，则AB的长为（　　） A．4 B． C．3 D．5 7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，过点O作平行于DC的直线交PD于点E，若BC＝6，EO＝2，则CD的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 8．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶角A在反比例函数的图象上，则k的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9．（3分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为　 　 ． 10．（3分）如果x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+2x+m2﹣9＝0的根，那么m的值为　 　 ． 11．（3分）如图，直线y＝kx与函数的图象l交于点A，过点A作y轴的平行线与函数（x＞0）的图象交于点B，直线OB与图象l交于点C，当△AOC为直角三角形时，k的值为 　 　 ． 12．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是 　 　 ． 13．（3分）已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的值为 　 　 ． 14．（3分）如图，直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD，DE⊥BC于E，点F为AB上一点，且AF＝EC，点M为FC的中点，连结FD、DC、ME，设FC与DE相交于点N，下列结论：①∠FDB＝∠FCB；②△DAF≌△DEC；③；④ME垂直平分BD．其中正确结论的是　 　 ．（填出序号） 三、解答题（共78分） 15．（6分）计算： （1）； （2）． 16．（6分）解方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）（x﹣3）2＝（3x﹣1）（x﹣3）． 17．（6分）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 18．（6分）在数学活动课上，老师出了一道题，让同学们解答． 在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF．求证：四边形BFDE是矩形． 小星和小红分别给出了自己的思路： 小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明； 小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明． （1）小星的思路 　 　 ，小红的思路 　 　 （选填“正确”或“错误”）； （2）请选择小红或小星的思路完善证明过程． 19．（8分）【问题情景】 数学活动课上，老师给出如下探究问题： 已知▱ABCD，请利用直尺和圆规作一个菱形，要求如下： ①所作菱形的四边至少经过▱ABCD的两个顶点； ②所作菱形的面积等于▱ABCD的面积． 【实践探究】 （1）下列同学们提交的四种作图中，满足要求的是 　 　 ；（填序号） （2）选择（1）中一种正确作图，根据作图痕迹，证明所作的图形是满足要求的菱形； 【拓展提升】 （3）请利用下面所给的平行四边形作出满足要求的菱形，且该菱形的边长与（1）中满足要求的菱形的边长不相等．（保留作图痕迹，不写作法） 20．（6分）面试是中小学教师资格考试的有机组成部分，属于标准参照性考试．面试时，考官根据考生面试过程中的表现，进行综合性评分，并填写面试评分表．如表是某位考生的面试评分表（已简化，评分为整数）．已知面试中考生得分不低于60分为合格． 测试项目 职业认知 心理素质 仪表仪态 言语表达 思维品质 教学设计 教学实施 教学评价 总分 考官评分（0～10分） 7 6 7 7 6 6 m 6 权重 0.5 0.5 0.5 1.5 1.5 1 3.5 1 考生得分 （1）考官对这位考生各项评分的众数一定是6分吗？请说明理由． （2）若考官对这位考生各项评分的中位数是6.5分，则m＝　 　 ． （3）若这位考生面试合格，则m的最小值是多少？ 21．（8分）根据信息完成下列各题． 一套简单的密码由三部分组成：明文、密文、密钥，它们之间的关系是利用密钥可以将明文转化为密文． 某校信息兴趣小组，编制了一套密码．如表：x表示明文，y表示密文，且x为非负整数． 6 9 13 14 y 13 ？ 0 2 已知当0≤x≤12时，加密密钥为y＝2x+1，当13≤x≤25时，加密密钥为y＝mx+n（m≠2，n≠1，且m≠0）． （1）表格中“？”处的数字是 　 　 ． （2）请求出当13≤x≤25时这套密码的加密密钥，即y与x的函数关系式． （3）若小樊同学给某个“明文数字”加密后对应的“密文数字”是“12”，请求出对应的“明文数字”． 22．（9分）（1）如图1，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接CE，BD，试猜想CE与BD的大小关系，并说明理由； （2）如图2，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACD，∠EAB＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，若AB＝6，BC＝3，∠ABC＝45°，求BD的长； （3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，CD＝BC，∠BCD＝60°，∠BAD＝30°，AB＝15，AC＝25，求AD的长． 23．（11分）探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形ABCD中，E为BC边上一点（点E与点B，C不重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）观察猜想：如图①，若E为BC的中点，猜想AE与EF的数量关系为　 　 ． 证明此猜想时，可取AB的中点G，连接EG．易证△AEG≌△EFG．判断三角形全等的依据是　 　 ． （2）数学思考：如图②，若E为BC上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． （3）结论拓展1：如图③，连接AF，交CD于点M，连接EM，则EM与DM，BE之间存在的等量关系为 　 　 ． （4）结论拓展2：如图③，连接DF，若正方形ABCD的边长为4，求DF+AF的最小值． 24．（12分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．把△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在y轴上的点E处，折痕交x轴于点C．直线CE与直线AB相交于点D． （1）求BE的长： （2）求直线CE的解析式： （3）在x轴上存在点P，当BP+DP的值最小时，点P的坐标为 　 　 ； （4）在x轴上方的平面内存在一点M，平面内存在一点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点M的坐标． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A． A B A C B 9． 2． 10． ﹣3． 11． 或． 12． 16． 13． 5、4、2、1． 14． ①②③④． 15． 解：（1）原式 ＝﹣1+（﹣3）﹣1 ＝﹣1﹣3﹣1 ＝﹣5； （2）原式 ． 16． 解：（1）∵x2+2x﹣3＝0， ∴（x+3）（x﹣1）＝0， ∴x+3＝0，x﹣1＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝1； （2）∵（x﹣3）2＝（3x﹣1）（x﹣3）， ∴（x﹣3）2﹣（3x﹣1）（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）[x﹣3﹣（3x﹣1）]＝0， ∴（x﹣3）（﹣2x﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0，﹣2x﹣2＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1． 17． 解：（1）设无人机的速度为x千米/时，则传统车辆的速度为1.5x千米/时， 可得， 解得 x＝40， 经检验，x＝40是原分式方程的根，符合题意， ∴1.5×40＝60， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）设无人机的速度提高到m千米/时，则 ， 解得m≥48， 答：无人机的速度至少提高到48千米/时． 18． 解：小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明，正确， 小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明，正确， 故答案为：正确，正确； （2）证明：小红的思路： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AD＝CB，∠A＝∠C， ∵BE⊥CD， ∴BE⊥AB， ∴∠BED＝∠EBF＝∠BEC＝90°， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠DFA＝∠BEC＝90°， ∴∠BED＝∠EBF＝∠DFB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； 小星的思路： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB， ∵AF＝CE， ∴AB﹣AF＝CD﹣CE， 即BF＝DE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵BE⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∴平行四边形BFDE是矩形． 19． （1）解：图①中所作菱形的面积不等于▱ABCD的面积，不符合题意； 图②中所作菱形的面积等于▱ABCD的面积，且经过▱ABCD的两个顶点，符合题意； 图③中所作菱形的面积不等于▱ABCD的面积，不符合题意； 图④中所作的四边形不是菱形，不符合题意； 故答案为：②； （2）证明：由作图可得AE＝BF，CF＝CD． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD． ∵AE＝BF， ∴AE+AF＝BF+AF．即EF＝AB． ∴EF＝CD， ∵EF∥CD， ∴四边形CDEF是平行四边形． 又∵CF＝CD， ∴▱CDEF是菱形． ∵菱形CDEF与▱ABCD等底同高， ∴菱形CDEF与▱ABCD的面积相等． 由图可知菱形CDEF的四边经过▱ABCD的顶点C，D， ∴菱形CDEF是满足要求的菱形． （3）解：作法如图，图中所作的四边形AEBF就是求作的菱形． 20． 解：（1）考官对这位考生各项的评分的众数不一定是6分．理由如下： 当m≠7 时，考官对这位考生各项的评分的众数是6分；当m＝7时，考官对这位考生各项的评分的众数是6分，7分．所以考官对这位考生各项的评分的众数不一定是6分； （2）将考官对这位考生已知的评分（单位：分）按照从小到大的顺序排列为6，6，6，6，7，7，7．因为考官对这位考生各项评分的中位数是6.5分， 6.5＝6→7，所以 m≥7，又因为m≤10且m为整数， 所以m的值为7或8或9或10． 故答案为：7或8或9或10； （3）由题意可得，7×0.5+6×0.5+7×0.5+7×1.5+6×1.5+6×1+3.5m+6×1≥60， 解得m，又因为m为整数，所以m的最小值是6． 21． 解：（1）把x＝9代入y＝2x+1得： y＝2×9+1＝19； 故答案为：19； （2）把x＝13，y＝0和x＝14，y＝2代入y＝mx+n得： ， 解得， ∴y＝2x﹣26（13≤x≤25）； （3）当0≤x≤12时，12＝2x+1， 解得x＝5.5（不是整数，舍去）， 当13≤x≤25时，12＝2x﹣26， 解得x＝19， ∴“密文数字”是“12”，对应的“明文数字”为19． 22． 解：（1）猜想：BD＝CE，理由如下： ∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC， 即∠EAC＝∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD（SAS）， ∴BD＝CE； （2）∵等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACD中，∠EAB＝∠CAD＝90°， ∴∠ABE＝∠AEB＝∠ACD＝∠ADC＝45°，AE＝AB，AC＝AD， ∵∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD（SAS）， ∴BD＝CE， ∵AE＝AB＝6， ∴BE6， ∵∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝45°+45°＝90°， ∴△EBC是直角三角形， ∴CE9， ∴BD＝9； （3）如图3，连接BD， ∵CD＝BC，∠BCD＝60°， ∴△BCD是等边三角形， 把△ACD绕点D顺时针旋转60°得到△EBD，连接AE， 则BE＝AC＝25，△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE，∠EAD＝60°， ∵∠BAD＝30°，AB＝15， ∴∠BAE＝∠BAD+∠EAD＝30°+60°＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE20， ∴AD＝AE＝20． 23． 解：（1）∵点E、点G分别为BC、AB中点， ∴AG＝BGAB，CE＝BEBC， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，则AG＝CE＝BG＝BE， ∵∠AEF＝90°， ∴∠CEF+∠AEB＝90°， ∵∠GAE+∠AEB＝90°， ∴∠GAE＝∠CEF， ∵BG＝BE，∠B＝90°， ∴∠BGE＝∠BEG＝45°，则∠AGE＝135°， ∵CF为正方形外角的角平分线， ∴∠DCF90°＝45°， ∴∠ECF＝90°+45°＝135°， 在△AEG和△EFC中， ， ∴△AEG≌△EFC（ASA）， ∴AE＝EF， 故答案为：AE＝EF，ASA； （2）如图1， 成立，理由如下： 在AB上取一点G，使BG＝BE，连接EG． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°． ∵BG＝BE， ∴AG＝EC，△BEG是等腰直角三角形， ∴∠BGE＝∠BEG＝45°， ∴∠AGE＝135°． ∵CF是∠BCD的外角平分线，∠BCD＝90°， ∴∠ECF＝135°， ∴∠AGE＝∠ECF． ∵AE⊥EF， ∴∠AEB+∠FEC＝90°． ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC， ∴△AEG≌△EFC（ASA）， ∴AE＝EF； （3）如图2， 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADN， ∵AE＝EF，∠AEF＝90°， ∴∠EAF＝45°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°﹣∠EAF＝45°， ∵△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADN， ∴∠1＝∠3，∠B＝∠ADN＝90°，AE＝AN，BE＝ND， ∴∠NAM＝∠2+∠3＝45°，∠MDN＝180°， 则点N、D、M三点共线， 在△ANM和△AEM中， ， ∴△ANM≌△AEM（SAS）， ∴EM＝MN＝DN+DM＝BE+DM， 即EM＝BE+DM， 故答案为：EM＝BE+DM； （4）如图3， 延长BC至G，使CG＝BC＝4，连接DG，交∠BCD的外角平分线于F，此时DF+AF最小，最小值是AG的长， ∵∠B＝90°，AB＝4，BG＝8， ∴AG， ∴（DF+AF）最小＝4． 24． 解：（1）当x＝0时，y＝6， ∴B （0，4）， 当y＝0时，x+6＝0， ∴x＝﹣8， ∴A（﹣8，0）， ∴OA＝8，OB＝6， ∴AB10， ∵把△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在y轴上的点E处， ∴BE＝AB＝10； （2）依题意，OE＝BE﹣OB＝10﹣6＝4， ∴E（0，﹣4）， 由（1）知△ABC≌△EBC， ∴AC＝CE， 设C（t，0），则AC2＝（t+8）2，CE2＝t2+16， ∴（t+8）2＝t2+16， 解得t＝﹣3， ∴C（﹣3，0）， 设直线CE的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把C（﹣3，0）和 E（0，﹣4）代入y＝kx+b（k≠0）， ∴，解得 ， ∴直线CE的解析式为； （3）依题意，， 解得， 把 代入y，得， ∴D（，）， 如图，取点B关于x轴的对称点B'，连接B′D交x轴于一点P， 该点P是满足BP+DP的值是最小值， 则BP+DP≥DB'， ∵B（0，6）， ∴B'（0，﹣6）， ∵D（，）， ∴设直线DB'的解析式为y＝k1x+b1（k≠0）， 把 B'（0，﹣6）和 代入 y＝k1x+b1， 得出 ，解得 ， 直线BD的解析式为， 令 y＝0，则， ∴， ∴； 故答案为：； （4）设点M（m，n）， ∵点M在x轴上方， ∴yM＝n＞0， 当AB为对角线时，则△ABM是等腰直角三角形， ∴∠AMB＝90°， ∴AM＝BM， ∴AM2+BM2＝AB2， 把AM2＝（m+8）2+n2BM2＝m2+（n﹣6）2，AB2＝10代入AM2+BM2＝AB2， 整理 ， 解得 n1＝7 n2＝﹣1 （舍去）， ∴， ∴M（﹣7，7）． 当AM为对角线时，则△ABM是等腰直角三角形， ∴∠ABM＝90°， ∴AB＝BM， ∴AB2+BM2＝AM2， 把AM2＝（m+8）2+n2，BM2＝m2+（n﹣6）2，AB2＝10 代入AB2+BM2＝AM2， 整理得， 解得 n1＝14，n2＝﹣2 （舍去）， ∴， ∴M（﹣6，14）， 当AN为对角线时，则△ABM是等腰直角三角形． ∴∠MAB＝90°， ∴AB＝AM， ∴AB2+AM2＝BM2， 把AM2＝（m+8）2+n2，BM2＝m2+（n﹣6）2，AB2＝10 代入AB2+AM2＝BM2， 整理得， 解得 n1＝8，n2＝﹣8 （舍去）， ∴∴， M（﹣14，8）． 综上所述，点M的坐标为 （﹣7，7），（﹣6，14），（﹣14，8）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $