精品解析：四川省双流中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度四川省双流中学高2024级高一上期末考试数学学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：王卓宁 注意事项： 1，开考前，请先将自己的姓名，准考证号，座位号等信息涂写在试卷和答题卡的相应位置上. 2，考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，当时，方程的根的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 扇面是中国书画作品的一种重要表现形式如图，图为其结构简化图设扇面，间的圆弧长为，，间的弦长为，圆弧所对的圆心角为，则，和所满足的关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 10. 已知函数（，且），则下列结论正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数的值域为 C. 函数在区间上单调递增 D. 若直线与函数的图像有两个公共点，则实数的取值范围是 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 函数在上单调递增 D. 方程的解为， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的最小值为_____________. 13. 如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______ 14. 函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合，集合． （1）求， （2）若 ，求实数的取值范围． （3）在做这类题目的时候，你觉得要注意哪些细节？写出两点可能扣分的细节即可. 16. 设函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且都有，求的最大值. 17. 已知是定义在上的奇函数，其中、，且. （1）求、的值； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 18. 已知函数，其中，函数图像上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在处取到最小值. （1）求函数的解析式. （2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将向左平移个单位，得到函数图象，求函数的单调递增区间. （3）若关于x的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围. 19. 已知函数与的图象关于直线对称． （1）若是奇函数，求实数的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知实数，满足，．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度四川省双流中学高2024级高一上期末考试数学学科试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：王卓宁 注意事项： 1，开考前，请先将自己的姓名，准考证号，座位号等信息涂写在试卷和答题卡的相应位置上. 2，考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接解不等式确定集合，再根据集合的基本关系确定参数范围即可. 【详解】由可得，由可得， 又，所以，即，故D正确. 故选：D 2. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】化简，对照条件的定义可得答案. 【详解】不等式，等价于， 因为，所以，显然，不一定得出； 也不一定得出. 故选：D 3. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得且，然后代入不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可知，是关于的方程的两实根，且， 则，解得， 则不等式可化为， 即，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 4. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 5. 若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数单调性，结合媒介数比较大小即得. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：D 7. 已知函数，当时，方程的根的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，画出函数的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果. 【详解】 设，则，即，故， 因为，故，画出的大致图象，由图象可知与共有6个公共点， 故原方程共有6个根. 故选：D. 8. 扇面是中国书画作品的一种重要表现形式如图，图为其结构简化图设扇面，间的圆弧长为，，间的弦长为，圆弧所对的圆心角为，则，和所满足的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，连接，取的中点为，连接， 由题意可得，，， 设，在 中，， 又， 所以由可得， 即 . 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最值判断AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用基本不等式等号成立的条件判断D即可. 【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号， 而，因此不能取等号，D错误. 故选：BC 10. 已知函数（，且），则下列结论正确的是（ ） A. 函数恒过定点 B. 函数的值域为 C. 函数在区间上单调递增 D. 若直线与函数的图像有两个公共点，则实数的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数解析式确定即可判断A；根据指数函数的值域来判断B；利用复合函数的单调性与指数函数的性质即可判断C；分情况作图分析，求直线与函数的图像有两个公共点时，可得实数a的取值范围，可判断D. 【详解】已知函数（，且），则， 对于A，，函数恒过定点，故A错误； 对于B，，则，所以， 函数的值域为，故B正确； 对于C，当时，则单调递减，又，所以， 所以，显然此时在上单调递减； 当时，则单调递增，又，所以， 所以，显然此时在上单调递减；故C错误； 对于D，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到， 分和两种情况分别作图，如图所示： 当时，，显然不合题意； 当时，此时，即，故D正确. 故选：BD 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 函数在上单调递增 D. 方程的解为， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出周期及、、，进而求出解析式，再根据正切函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由图可知，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，所以， 因为，则，则， 因为，则，所以，故B正确； 对于C，，由，得， 而，即时，没有意义，故C错误； 对于D，，则， 方程，得， 即，即， 所以或，因为，， 所以或，解得或，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由可知， 且：，因为对于任意，恒成立， 结合均值不等式的结论可得：. 当且仅当，即时等号成立. 综上可得的最小值为. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 13. 如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的条件，求解得到结果. 【详解】依题意得：， 则 当且仅当即时取等号，故 本题正确结果： 【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于的基本不等式的形式，从而利用取等条件得到结果. 14. 函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义和对数的运算性质，结合恒成立思想，可得的值，由不等式有解，结合函数的奇偶性和单调性和双钩函数的性质得值域，求出的范围. 【详解】若函数是定义在实数集上的奇函数， 可得， 即， 即， 由，可得； 所以， 任取，设则 ， ， ， 则 所以则函数为上的增函数， 又因为函数为上的奇函数，所以函数为上的增函数， 所以不等式有解， 转化为， 即有解， 所以有解，即， 令，因，则，即， 则 ，当且仅当时取等号， 由双钩函数的单调性知：，函数单调递减， ，函数单调递增， 当时，，当时， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合，集合． （1）求， （2）若 ，求实数的取值范围． （3）在做这类题目的时候，你觉得要注意哪些细节？写出两点可能扣分的细节即可. 【答案】（1）或，； （2）或； （3）由集合的包含关系求参数范围，遗漏空集的情况；解分式不等式直接乘分母不讨论符号. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再由集合的运算求解. （2）利用给定交集的结果，结合集合的包含关系列式求解. （3）由集合的包含关系特征及分式不等式的解法得答案. 【小问1详解】 解不等式，得，则集合， 不等式，解得或，集合或， 所以或，，. 【小问2详解】 由，得，当时，，解得； 当，即时，，解得，则， 所以实数的取值范围为或. 【小问3详解】 由集合的包含关系求参数范围，遗漏空集的情况；解分式不等式直接乘分母不讨论符号. 16. 设函数. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且都有，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据一元二次不等式的解集即可求解； (2)根据题意可得函数关于直线对称，利用二次函数的对称轴得出，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 依题意可知：和是方程的两根， 则有且 ∴ 【小问2详解】 由知关于直线对称， 即 当且仅当时等号成立. ∴的最大值为 17. 已知是定义在上的奇函数，其中、，且. （1）求、的值； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）在上为减函数，证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质可得出，再结合可求得、的值，然后验证出函数为奇函数即可； （2）判断出函数在上为减函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时求实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分,、、和四种情况讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案． 【小问1详解】 解：因为函数是定义在上的奇函数，则，可得， 则，则，解得，所以，，下面验证函数为奇函数. 对任意的，，故函数的定义域为， 则，故函数为奇函数，合乎题意， 因此，，. 【小问2详解】 解：函数在上单调递减，证明如下： 任取、且，即，则，， 则， 所以，，故函数在上单调递减. 【小问3详解】 解：若对任意的，总存在，使得成立， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递减， 则当时，，， 所以，记在区间内的值域为. ①当时，在上单调递减， 则，，得在区间内的值域为. 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. ②当时，，在上单调递减，且， 则，，得在区间内的值域为， 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. ③当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为 ，所以，该不等式组无解； ④当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为，不符合题意. ⑤当时，在上的值域为，此时为值域的子集， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 18. 已知函数，其中，函数图像上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在处取到最小值. （1）求函数的解析式. （2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将向左平移个单位，得到函数图象，求函数的单调递增区间. （3）若关于x的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）或. 【解析】 【分析】（1）由题易知函数的最小正周期，最小值，结合条件可求出函数解析式； （2）利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的单调性，可得的增区间； （3）利用数形结合可求. 【详解】（1）函数，其中， 由题知函数的最小正周期为，解得， 又函数在处取到最小值-2， 则，且， 即 令可得 ， ∴. （2）函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得，再向左平移个单位可得 令，解得， ∴的单调递增区间为 （3）方程在上有两个不同的实根， 作出函数的图象， 由图可知或 解得或. 19. 已知函数与的图象关于直线对称． （1）若是奇函数，求实数的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知实数，满足，．求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象的对称可知，再由奇函数的定义列方程解方程； （2）代入函数解析式，分离常数构造新函数，利用换元法结合对勾函数的单调性可得最值，进而确定参数范围； （3）根据指数与对数的运算化简可得，构造函数，利用定义法可确定函数单调递增，则可得，即，进而可得解. 【小问1详解】 由已知函数与的图象关于直线对称， 则， 则， 又函数是奇函数， 所以， 整理可得， 又不恒为，所以， 此时或， 均满足奇函数， 所以； 【小问2详解】 由，即， 由（1）得， 则可转化为， 即不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 即在上的最大值为， 即， 所以，即； 【小问3详解】 由实数，满足，， 所以，，则， 所以，，即，，， 令，，则 设，则，，， 所以，即， 所以在上单调递增． 因为方程等价于， 所以，即， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $