精品解析：四川省宜宾市第一中学校2024-2025学年高一上学期期期末模拟考试（二）数学试题

2024级高一上期期末模拟题（二） 数学试题 满分：150分 考试时间：120分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合子集的定义，以及交集、并集和补集的概念与运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由，可得集合不是的子集，所以A错误； 对于B，由，可得，所以B错误； 对于C，由，可得，所以C错误； 对于D，由，可得，所以D正确. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含量词命题否定方法“改变量词，否定结论”即可求解. 【详解】命题“”的否定是“”. 3. 实数满足：，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，可判断ABD的真假，对C，可以举反例说明其错误. 【详解】对A：因为，，所以，故A成立； 对B：因为，，所以，故B成立； 对C：令，，，，则满足，但，，所以不成立，即C不成立； 对D：因为，，所以，故D成立. 故选：C 4. 已知函数，则函数的零点为（ ） A. B. ，0 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】函数的零点，即令分段求解即可. 【详解】函数 当时， 令，解得 当时， 令，解得（舍去） 综上函数的零点为0 故选：D． 【点睛】本题考查函数的零点个数，考查分段函数的知识，属于基础题. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和值域可得答案. 【详解】由解析式知，函数定义域为R，且，为奇函数，排除A,C; 时，，排除D. 6. 若定义在实数集上的偶函数满足和对任意恒成立，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由确定周期，即可求解. 【详解】因为，所以， 即函数的周期为4，故. 因为函数为偶函数，所以. 当时，，又，所以. 故选：D. 7. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（ ） A. 10% B. 20% C. 30% D. 50% 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比为8000比信噪比为1000时提升了多少即可． 【详解】由题意可知，， ， 故提升了， 故选：C． 8. 已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出函数，根据题意得出函数的性质，从而解决问题. 【详解】解：因为是定义在上的奇函数， 所以 所以函数是定义在上的偶函数， 因为对，且有， 所以在上单调递增， 所以， 当时，则有， 所以，即， 所以在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数， 所以在上单调递减， 因为， 所以即为， 所以，解得. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，，则（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式中“1”整体代换即可判断A； 利用消元法结合二次函数的性质即可判断B；利用基本不等式结合对数运算即可判断C；利用基本不等式结合指数运算即可判断 D. 【详解】由题意可得，当且仅当时，等号成立，则A错误； , ，，，, 当时，的最小值为，则B正确； 因为，且，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，则C正确； ,当且仅当时，等号成立，则D正确； 故选：BCD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 如果是第一象限的角，则角是第四象限的角 B. 函数在上的值域是 C. 已知角的终边上的点的坐标为，则 D. 已知为第二象限的角，化简 【答案】AC 【解析】 【详解】对于选项A，是第一象限角，与的终边关于轴对称，因此是第四象限角，A正确； 对于选项B，时，，B错误； 对于选项C，角的终边上的点的坐标为，由正弦函数定义知，C正确； 对于选项D，是第二象限角时，，D错误. 11. 已知函数，若方程有四个不同的根、、、，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数与的图象，数形结合可判断A选项；求出，，利用基本不等式可判断B选项，利用双勾函数的单调性可判断D选项；利用二次函数的对称性可求得的值，可判断C选项的正误. 【详解】在同一个坐标系内作出和的图象，如下图所示： 要使方程有四个不同的根，只需，故A错误； 对于B，由图可知， 由可得，所以，，即， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故B对； 对于C，由图可知，点与点关于直线对称，则， 所以，，故C对； 对于D，由得：， 令，其中，任取、且， 则， 因为，则，，故， 即函数在上单调递增，因为，则，故D对. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：___________. 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用对数的运算性质以及指数幂的运算法则求解即可. 【详解】 ， 故答案为： 13. 已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可求得，进而可求得的值，确定的正负可求值. 【详解】由，得， . 因为，所以， 故. 故答案为：. 14. 已知，若函数有最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，结合二次函数与指数函数单调性即可求解. 【详解】（i）当  时：  时，函数 开口向上，对称轴 ，在定义域内可取得最小值 ；  时，函数在定义域内单调递减， 则，因此整个函数最小值为0，符合题意； （ii）当 时：  时，对称轴 ，在 单调递减，最小值为 ；   时，，函数 在定义域内单调递增，则， 函数有最小值要求左段最小值不大于右段下界，即， 整理得 ，解得 ，结合 得 . 综上，的取值范围是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （2）设命题，若命题p为假命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，结合重复不必要条件求得的取值范围. （2）根据是真命题来求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意， ， ，，所以. 由于是的充分不必要条件， 所以. 【小问2详解】 由于命题为假命题， 所以为真命题， 即为真命题， 构造函数，是开口向上的二次函数， 所以，即. 16. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）偶函数 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合函数奇偶性的定义和余弦函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，把不等式转化为，结合余弦函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 可得， 令，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数， 所以函数为偶函数. 【小问2详解】 解：由函数， 可得， 因为不等式，可得， 则满足，解得， 故该不等式解集为. 17. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． （1）写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为10万件时，小王在这一商品生产中所获利润最大，最大利润是15万元 【解析】 【分析】（1）根据已知，分以及，分别求解，即可得出函数解析式； （2）分为以及两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案. 【小问1详解】 因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得： 当时，， 当时，， ∴． 【小问2详解】 当时，， 当时，取得最大值9； 当时，， 此时，当即时，取得最大值. 综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元. 18. 已知，函数满足为奇函数. （1）求实数的值，判断并用定义证明函数在上的单调性； （2）若不等式成立，求实数可取的最小整数值. 【答案】（1），证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义列方程可解得，进而根据定义可判断的单调性； （2）首先求出函数值为对应自变量的值，再结合单调性列不等式即可求解. 【小问1详解】 因为为奇函数， 所以所以. 由可得， 解得. 在上是增函数，证明如下： 因为，所以. 任取，则， 由得，所以，所以， 故函数在上是增函数. 【小问2详解】 令，可得，解得，即有 所以，即， 又在上是增函数，所以，解得， 故实数可取的最小整数为6. 19. 若在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“可分拆函数”， （1）试判断函数是否为“可分拆函数”？并说明理由． （2）证明：函数为“可分拆函数”． （3）若函数为“可分拆函数”，判断关于x的方程的根的个数． 【答案】（1）不是“可分拆函数”,理由见解析.（2）答案见解析.（3）两个不同实根 【解析】 【分析】（1）假设是“可分拆函数”，则存在，使得，即，即可求得答案； （2）令，则，根据，， 故，即可求得答案； （3）函数为“可分拆函数”，故存在实数，使得，，且，可得 ，结合条件，即可求得答案； 【详解】（1） 假设是“可分拆函数”， 则存在，使得， 即， 而此方程的判别式，方程无实数解， 不是“可分拆函数”． （2）令 则， 又，， 故， 在上有实数解， 也即存在实数，使得成立， 是“可分拆函数”． （3）函数为“可分拆函数”， 存在实数，使得， ，且， ， ，则， ， 由得，即的取值范围是． 又① ， 整理变形①式可化为 ， 即：② 令，其中 易得在上单调递增， 从而， 又， 而． 关于的方程②有两个不同实根． 从而关于的方程①有两个不同实根． 【点睛】本题主要考查了函数的新定义，解题关键是掌握函数基础知识和解对数方程的方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一上期期末模拟题（二） 数学试题 满分：150分 考试时间：120分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 实数满足：，则下列不等式不成立的是（ ） A B. C. D. 4. 已知函数，则函数的零点为（ ） A. B. ，0 C. D. 0 5. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若定义在实数集上的偶函数满足和对任意恒成立，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到8000，则大约增加了（ ） A 10% B. 20% C. 30% D. 50% 8. 已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，，则（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 如果是第一象限的角，则角是第四象限的角 B. 函数在上的值域是 C. 已知角的终边上的点的坐标为，则 D. 已知为第二象限的角，化简 11. 已知函数，若方程有四个不同的根、、、，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：___________. 13. 已知，，则________. 14. 已知，若函数有最小值，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （2）设命题，若命题p为假命题，求实数m的取值范围． 16. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）求关于的不等式的解集. 17. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完． （1）写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知，函数满足奇函数. （1）求实数的值，判断并用定义证明函数在上的单调性； （2）若不等式成立，求实数可取的最小整数值. 19. 若在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“可分拆函数”， （1）试判断函数是否为“可分拆函数”？并说明理由． （2）证明：函数为“可分拆函数”． （3）若函数为“可分拆函数”，判断关于x的方程的根的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $