精品解析：四川省宜宾市第一中学校2024-2025学年高一上学期期末模拟考试数学试卷（四）

高一期末模拟（四） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可得集合. 【详解】因为，， 故. 2. 命题p：“”的否定是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】“”改为“”，“”改为“”，因此是“”. 故选：C． 3. 函数的零点在下列区间内（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的单调性，结合函数的零点存在定理判断即可． 【详解】函数在定义域上连续，且为增函数， 又， ， 故函数的零点在区间内. 4. 已知是定义在R上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. 2 D. 98 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性和周期性求函数值即可. 【详解】因为，所以4是的一个周期， . 故选：C. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及指数函数性质，利用排除法即可得出结论． 【详解】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图象关于轴对称； 又当时，，因此排除A， 又， 利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD， 故选：B. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、C，根据不等式的性质判断B，利用作差法判断D. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：若，，则，故B正确； 对于C：当时满足，但，故C错误； 对于D：若，，则，．所以，所以，故D错误． 故选：B． 7. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%．经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ） A. 13分钟 B. 14分钟 C. 15分钟 D. 16分钟 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数模型先解出值，再依据解出的取值范围即可. 【详解】根据题意可知，当时， 代入 所以函数为 要使浓度小于等于01%，即. 所以有 两边同时取对数，有 即 所以至少需要14分钟. 8. 已知函数在区间单调递增，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性结合对数运算、对数函数的性质比较函数值大小即可. 【详解】因为函数满足， 又，所以， 因为，且函数在区间单调递增， 所以. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 角终边在第二象限或第四象限的充要条件是 B. 若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是2 C. 经过4小时时针转了 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由充要条件的定义及角所在象限的正负判断A；由弧长公式，求出半径判断B；由顺时针旋转的角为负角，判断C；由诱导公式求出的值，判断D. 【详解】对于A，由角终边在第二象限或第四象限，可得； 由，可得角终边在第二象限或第四象限； 所以角终边在第二象限或第四象限的充要条件是，故A正确； 对于B，因为扇形的弧长为，圆心角为，设扇形的半径为， 所以， 解得，故B正确； 对于C，经过4小时时针转了，故C错误； 对于D，，故D错误. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是2 C. 当时，的最大值为1 D. 设，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式的“一正、二定、三相等”，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由时，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确； 对于B中，由，当且仅当时，即时，等号成立， 因为，此时等号不成立，所以B不正确； 对于C中，当时，可得，则， 由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. D. 若有两个不同的零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，分和两种情况求解，对于B，和两种情况解不等式，对于C，先求，再求，对于D，画出函数图象，根据图象求解. 【详解】对于A，当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得， 综上或，所以A错误， 对于B，当时，由，得，解得； 时，由，得，解得， 综上，或，所以B正确， 对于C，因为，所以，所以C正确， 对于D，的图象如图所示，有两个不同的零点，等价于方程有两个不等的实根， 则等价于与有两个不同的交点， 因为，所以由图象可得，所以D正确， 故选：BCD 三、填空题 12. 已知角的终边经过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用三角函数的定义求值即可． 【详解】角的终边经过点，则. 故答案为：. 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数的运算性质化简可得出所求代数式的值. 【详解】原式. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数有3个零点，则m的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】依据题意画出函数的图象，有3个零点，即函数与有3个交点.根据图象即可求出的取值范围. 【详解】由题可知，有3个零点，即函数与有3个交点， 作出函数的图象，从图象可以看出， 当时，有3个交点；当时，有2个交点； 当时，有4个交点；当时，有3个交点， 所以的取值范围是或. 四、解答题 15. 已知集合为实数集，或，. （1）若，求； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再利用补集与交集定义计算即可得； （2）由题意可得集合是集合的真子集，再分及讨论并计算即可得. 【小问1详解】 当时，，且， 故； 【小问2详解】 ∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当，即，即时，此时满足题意； 当，即，即时， 只需或，即或， 又，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 16. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值. 【答案】（1） （2）最大值为，；最小值为－1，. 【解析】 【分析】（1）利用函数的周期公式，及整体代入求得增区间. （2）利用整体代入法求得函数的最大值最小值以及取得最值时的x的值. 【小问1详解】 函数的最小正周期， 由，， 解得：，， 所以函数的单调递增区间是. 【小问2详解】 由，得， 则当，即时， ； 当，即时， ， 所以函数在上的最大值为，此时； 最小值为－1，此时. 17. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）35（台），最大利润为2050（万元）． 【解析】 【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果. 【小问1详解】 由题意可得， 所以． 【小问2详解】 当时，，对称轴方程， 且二次函数开口向下，故当时，取最大值，（万元）； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，即（万元）， 因为， 故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）． 18. 已知函数的定义域为，函数. （1）判断的奇偶性，并加以证明； （2）若. ①用函数单调性的定义证明：在上单调递减； ②解关于的不等式. 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性函数的定义判定证明. （2）①利用减函数的定义，结合指数函数单调性推理得证；②利用奇函数性质及单调性脱去法则“g”，再解析指数不等式. 【小问1详解】 是R上的奇函数． 显然定义域为R，对于任意的，都有，， 所以是R上的奇函数. 【小问2详解】 ①由，得， 任取， 由，且函数在R上单调递增，得，即， 因此，即， 所以在上单调递减. ②由（1）及①知，是上单调递减的奇函数， 不等式， 则有，即， 因此，解得， 所以原不等式的解集为. 19. 对于定义在上的函数，若存在实数，使得，则称是函数的一个不动点.已知，，. （1）当时，求的不动点； （2）若函数有两个不动点，，且.求实数的取值范围； （3）若对，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解方程即可 （2）方程有两解，结合条件运用双根式，再验证判别式 （3）转化为恒成立问题 【小问1详解】 当时,. 由,得方程,即. 所以的不动点为和. 【小问2详解】 由,得方程. 由题知方程有两个根,所以. 令,得. 因为,所以. 所以所以 满足. 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 (3)设,因为,所以. 则. 当. 因为对,使得. 所以,在上恒成立. 即,在上恒成立. 所以,即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期末模拟（四） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题p：“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点在下列区间内（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在R上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. 2 D. 98 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%．经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ） A. 13分钟 B. 14分钟 C. 15分钟 D. 16分钟 8. 已知函数在区间单调递增，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 角终边在第二象限或第四象限的充要条件是 B. 若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是2 C 经过4小时时针转了 D 10. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是2 C. 当时，的最大值为1 D. 设，且，则的最小值为 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. D. 若有两个不同的零点，则 三、填空题 12. 已知角终边经过点，则__________. 13. 计算：______． 14. 已知函数，若函数有3个零点，则m的取值范围是________． 四、解答题 15. 已知集合为实数集，或，. （1）若，求； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值. 17. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 18. 已知函数的定义域为，函数. （1）判断的奇偶性，并加以证明； （2）若. ①用函数单调性的定义证明：在上单调递减； ②解关于的不等式. 19. 对于定义在上的函数，若存在实数，使得，则称是函数的一个不动点.已知，，. （1）当时，求的不动点； （2）若函数有两个不动点，，且.求实数的取值范围； （3）若对，，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $