精品解析：广东省清远市阳山县2026年中考一模数学试卷

2026年初中学业水平适应性考试（一） 数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 说明：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列用七巧板拼成的图案中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国航空领域公开报道的最小加工公差为毫米，由一线技能大师在特定手工加工场景中实现．用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某校进行《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《红楼梦》的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，． 其中包含所有正确结论的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解=______． 12. 点在直线上，则代数式的值为________． 13. 如图，在平行四边形中，，点在的延长线上，，若平分，则________． 14. 分式方程的解是________． 15. 如图，正方形中，绕点顺时针旋转到，，分别交对角线于点，，若，，则的长为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组：． 17. 同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． （1）求种材料和种材料的单价； （2）若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 18. 如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，．求证：是的切线． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为加强对中学生文明素养教育，提升学生整体素质，某校决定举办“讲文明，树新风”活动．为了解学生对中学生文明素养基本规范的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 7.5 a 众数 b 8 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中的 ， ， ． （2）你认为哪个年级的学生对文明素养基本规范的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20. 如图，在中，，分别为，的中点． （1）尺规作图：过点作，垂足为； （2）在（1）的条件下，过点作交延长线于点．若，，，求的长． 21. 综合与实践 【知识再现】 （1）如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，．若，，则___________； 【问题探究】 （2）如图，分别以，，为边向外作等边三角形，等边三角形的面积分别为，，．猜想，，之间的数量关系，并说明理由； 【实践应用】 （3）如图，分别以，，为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，，，为直径的半圆柱的体积分别为，，．若，柱体的高，直接写出的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，抛物线交轴于点． （1）若点的坐标为，的顶点坐标为，求的值； （2）过点的直线与轴右侧的抛物线交于另一个点，与抛物线交于点． ①若直线与轴垂直，求的值； ②若点在轴左侧，且是线段的中点，试判断点是否为的顶点，并说明理由． 23. 如图，在菱形中，，是上一点，将沿翻折得到，连接，是的中点，连接． 【知识技能】 （1）求证：； 【数学理解】 （2）如图，过点作，垂足为．若，判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展探索】 （3）如图，过点作，垂足为．连接并延长交于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平适应性考试（一） 数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 说明：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数加法中异号两数相加的法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 【详解】解：∵ ，， ∴ 2. 下列用七巧板拼成的图案中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 我国航空领域公开报道的最小加工公差为毫米，由一线技能大师在特定手工加工场景中实现．用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 某校进行《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《红楼梦》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式，用符合要求的结果数除以所有等可能的总结果数即可求解. 【详解】解：∵共有4本不同的书，任取一本时所有等可能的结果共4种， 其中抽到《红楼梦》的结果只有1种， ∴所求概率. 6. 已知，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．与不是同类项，无法合并为，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可求出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 判别式， 整理得：， 解得：． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用反比例函数的性质比较函数值大小，反比例函数，当时，图象位于第二、四象限，第二象限函数值为正，第四象限函数值为负，且每个象限内随的增大而增大，据此可直接比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象分别在第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大． ∵， ∴点在第二象限，可得． ∵， ∴点，都在第四象限，可得． 综上，． 9. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，． 其中包含所有正确结论的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过，，， ∴对称轴，即， ∴，故②正确； ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程的两个根，即的两个根，相当于函数与的交点的横坐标， ∵， ∴， ∵ ∴根据图象得，，故④正确； 故正确的有． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 12. 点在直线上，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入直线解析式，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：点在直线上， ， 移项整理得， 等式两边同乘得， ． 13. 如图，在平行四边形中，，点在的延长线上，，若平分，则________． 【答案】 5 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得且，利用平行线的性质可得内错角相等，结合角平分线的定义可证为等腰三角形，从而求出的长，最后根据线段的和差关系求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 点在的延长线上 ， ， ， 平分， ， ，  ，  ， ， ． 14. 分式方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验所得根是否满足原分式方程即可． 【详解】解：原方程整理得， 方程两边同乘最简公分母，得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 经检验，时，， 所以是原分式方程的解． 15. 如图，正方形中，绕点顺时针旋转到，，分别交对角线于点，，若，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用旋转的性质构造全等三角形，将分散的线段、、集中到一个直角三角形中，得出,利用正方形对角线互相垂直平分及勾股定理，推导出,联立方程组求解的长，进而求出． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，如图： 由旋转的性质知，，，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵绕点顺时针旋转到， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵且， ∴， 设正方形对角线、交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】正方形旋转必构造手拉手全等，将分散线段转化为直角三角形三边，结合对角线平方恒等式 秒杀． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后再求出它们的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 17. 同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． （1）求种材料和种材料的单价； （2）若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 【答案】（1）A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）最多能购买种材料20件． 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元， 依题意， 解得， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； 【小问2详解】 解：设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得． ∴m的最大值为20． 答：最多能购买种材料20件． 18. 如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，．求证：是的切线． 【答案】证明：如下图，连接， 为的直径， ，即， ， ， ， ， ，即， 是半径， 是的切线． 【解析】 【分析】连接，由是直径，得到，再由，，得到，由切线的判定定理：经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线即可得． 【详解】略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为加强对中学生文明素养教育，提升学生整体素质，某校决定举办“讲文明，树新风”活动．为了解学生对中学生文明素养基本规范的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 7.5 a 众数 b 8 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中的 ， ， ． （2）你认为哪个年级的学生对文明素养基本规范的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）8；7； （2）八年级，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义以及优秀率的标准求解即可； （2）可以根据众数和中位数做决策． 【小问1详解】 解：八年级抽取50名学生，则中位数为第25，26名同学成绩的平均数，由条形统计图可得中位数； 七年级得分为7分的人数最多为15人， ∴众数； 七年级的得分优秀率为：， 故答案为：8；7；； 【小问2详解】 解：八年级的学生对文明素养基本规范的掌握情况更好， 因为八年级的学生成绩的中位数和众数都高于七年级． 20. 如图，在中，，分别为，的中点． （1）尺规作图：过点作，垂足为； （2）在（1）的条件下，过点作交延长线于点．若，，，求的长． 【答案】（1）如图：点即为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，线段为半径画弧交于点，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧在下方交于点，连接交于点，点即为所求； （2）解直角三角形得出，证明是的中位线，得出，再证明四边形为矩形，得出，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： 由（1）可得， ∴， ∵，， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 21. 综合与实践 【知识再现】 （1）如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，．若，，则___________； 【问题探究】 （2）如图，分别以，，为边向外作等边三角形，等边三角形的面积分别为，，．猜想，，之间的数量关系，并说明理由； 【实践应用】 （3）如图，分别以，，为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，，，为直径的半圆柱的体积分别为，，．若，柱体的高，直接写出的值． 【答案】（1） （2）解：， 理由：∵中，， ∴， 过点D作交于G， 在等边三角形中，，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理和直角三角形的面积公式可求解； （2）过点D作交于G，分别求出，，，由勾股定理可得，进而可得结论； （3）设以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为，可得，又由，进而可得答案． 【小问1详解】 解：∵中，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为、以为直径的圆的面积为， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，抛物线交轴于点． （1）若点的坐标为，的顶点坐标为，求的值； （2）过点的直线与轴右侧的抛物线交于另一个点，与抛物线交于点． ①若直线与轴垂直，求的值； ②若点在轴左侧，且是线段的中点，试判断点是否为的顶点，并说明理由． 【答案】（1） （2）①；②解：点是的顶点， 理由：如图，由①得抛物线的顶点坐标为，， 当点为的顶点时，即， ∵点是线段的中点， ∴， ∴，即， 将代入，得， ∴在抛物线的图象上， ∴点为的顶点． 【解析】 【分析】（1）将的顶点坐标为和点A的坐标代入中即可解答； （2）①易求抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线（即轴），由题意可得点与点关于直线对称，，求出，将代入，得到，进而得到，求出，得到，即可解答；②由①得抛物线的顶点坐标为，，当点为的顶点时，即，根据中点坐标求出，判断点是否在抛物线的图象上，即可解答． 【小问1详解】 解：∵的顶点坐标为， ∴， 将点代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：①抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，且抛物线的开口方向都向上， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线（即轴）， ∵直线与轴垂直， ∴点与点关于直线对称，， ∴， 将代入，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②略 23. 如图，在菱形中，，是上一点，将沿翻折得到，连接，是的中点，连接． 【知识技能】 （1）求证：； 【数学理解】 （2）如图，过点作，垂足为．若，判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展探索】 （3）如图，过点作，垂足为．连接并延长交于点，若，求的长． 【答案】（1）证明： ∵四边形是菱形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵是的中点， ∴． （2），理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， 由折叠的性质可得，， 由（1）可知，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质和折叠的性质可得，结合等腰三角形的性质即可证明； （2）由菱形的性质容易证明和都是等边三角形，则，．由（1）可知，，则，结合折叠的性质可得，由等量代换可得，从而证明，因此； （3）以为圆心，为半径作圆，连接、，由菱形的性质可知，点、、都在圆上，则．结合（2）的结论容易证明是等边三角形，则，进而得到，因此．由平行可判定，则，计算得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，以为圆心，为半径作圆，连接、， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴点、、都在圆上， ∴， ∵是的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $