精品解析：2026年福建省福州第一中学6月中考模拟数学试题

福州一中2025−2026学年第二学期期末模拟考试 初三数学试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，请将正确的答案涂在答题卡上） 1. 《国家宝藏》节目通过演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让馆藏文物一个个鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形是图形旋转后能与原图形重合，轴对称图形有对称轴，沿对称轴折叠后对称轴两旁的部分互相重合的定义即可选出正确选项． 【详解】A．此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项错误． B．此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． C．此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，有对称轴，也是轴对称图形，故此选项正确． D．此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项错误 2. 如图所示零件的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据已知几何体可得，左视图为一个矩形里有一条横向的实线和两条横向的虚线，据此即可解答． 【详解】解：如图所示零件的左视图是： ． 故选：D 3. 地球上水的总储量为，但目前能被人们生产、生活利用的水只占总储量的，即约为，因此我们要节约用水．请将用科学记数法表示是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式运算的相关法则，包括合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，逐一验证选项即可． 【详解】A． ，错误，故不符合题意． B．，错误，故不符合题意． C． ，错误，故不符合题意． D．，正确，故符合题意． 5. 福州一中合唱团从初一年段选了名身高统一的学生作为新成员，经过三年的学习与生活，这名学生的身高与入学时相比，身高差异明显变大，因此，三年后这名学生的身高（ ） A. 平均数不变，方差不变 B. 平均数变大，方差变小 C. 平均数变大，方差不变 D. 平均数变大，方差变大 【答案】D 【解析】 【分析】平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动大小，根据题干描述的身高变化判断两者变化即可． 【详解】解：∵经过三年生长，所有学生整体身高增加，平均身高上升， ∴平均数变大． ∵方差用来衡量一组数据的波动大小，题干明确三年后身高差异明显变大，即数据波动增大， ∴方差变大． 6. 如图，、为的两条弦，、分别为、的中点，的半径为．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理得出，利用勾股定理求出，最后利用三角形中位线的判定和性质求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与所对的弧为，且， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∵、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴． 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 8. 下列说法中错误的是( ) A. 在中，，则是直角三角形 B. 在中，，则是直角三角形 C. 在中，，，则是直角三角形 D. 在中，，则是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和三角形的内角和定理是解题的关键．根据勾股定理和三角形内角和定理即可判断． 【详解】解：A、在中，，， ，故是直角三角形，不符合题意； B、在中，， 设，， ， ， ， ，故是直角三角形，不符合题意； C、在中，，， ， ，故是直角三角形，不符合题意； D、在中，， 设，，， ， 不能构成三角形，则不是直角三角形故符合题意； 故选：D． 9. 如图，在的矩形网格中，每格小正方形的边长都是，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取格点，连接，根据网格特征和勾股定理逆定理可知，再根据正切函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，取格点，连接， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 10. 如图，在中，两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点逆时针旋转后得到．若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，根据得到，继而得到点的坐标，根据旋转的性质得到点的坐标，根据中点坐标公式得到点的坐标，继而根据待定系数法得到的值． 【详解】解：∵在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得（舍去负根）， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴点的横坐标，点的纵坐标，即点的坐标为， ∵点是斜边的中点，点，点， ∴，， ∴点的坐标为， 设点在反比例函数的图象上， ∴，即． 二、填空题（每小题4分，共24分，请将正确的答案写在答题卡上） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 13. 如图，已知，且，，若，则的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】求出线段，利用相似三角形的性质求出面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 小明训练引体向上，记录了次练习的成绩，结果如图所示，则这组数据的中位数是________． 【答案】个 【解析】 【分析】根据统计图，把次练习的成绩从小到大排列，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：由统计图可知，次练习的成绩从小到大排列为、、、、、， ∵排在第、第个数据为、， ∴这组数据的中位数是（个）． 15. 已知的半径为，是的弦，点是上异于点的一点，若，则的大小为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据弧长公式求出所对的圆心角度数，再分点在优弧上和点在劣弧上两种情况，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：设所对的圆心角为， 由弧长公式，将，代入得：， 解得，即所对的圆心角为， 分两种情况讨论：当点在优弧上时， 根据圆周角定理，， 当点在劣弧上时，根据圆内接四边形对角互补，得， 则的大小为或． 16. 已知抛物线经过点，，若，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据二次函数的性质，开口向下时抛物线上点到对称轴的距离越大，函数值越小，结合得到关于的不等式，再代入点坐标求出，结合得到另一个关于的不等式，解不等式后取交集得到的取值范围． 【详解】解：抛物线中，，开口向下， 对称轴为， 开口向下的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ，，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 点横坐标为，到对称轴的距离为， 点横坐标为，到对称轴的距离为， 化简得， 去绝对值得， 解得， 将代入抛物线解析式得， 由得， 即， 解得或， 取与或的交集，可得， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共86分，请将正确的答案写在答题卡上） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 如图，点在的边上，点在边的延长线上，且，求证：． 【答案】证明：∵在中，， ． 又， ， ． 【解析】 【分析】利用证明即可得到结论． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ； ∴当时，原式. 20. 某中学开展“国庆周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初中生观看阅兵盛典的收视情况，将调查结果统计后绘制成如图和图所示的不完整统计图． （1）把条形统计图补充完整； （2）若该学校有学生人，请估计该校没观看阅兵盛典的学生人数？ （3）某班级名男同学和名女同学都完整观看了阅兵盛典，要从这人中任选人写观后感在班级交流，请用列表法或画树状图法，求选出的人恰好是名男同学和名女同学的概率． 【答案】（1） （2）该校没观看阅兵盛典的学生人数为人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得到样本容量，根据频数之和等于样本容量，求得频数，再把条形统计图补充完整即可； （2）利用样本估计总体的思想求解即可; （3）利用列表法求概率解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，故观看一多半的人数为：（人）； 略 【小问2详解】 解：（人） 答：该校没观看阅兵盛典的学生人数为人． 【小问3详解】 解：列表如下： 一 二 男 女 女 女 男 （男，女） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，女） （女，女） 由表可知一共有种等可能性的结果，其中恰好是名男同学和名女同学的有种， ∴恰好是名男同学和名女同学的概率是. 21. 在学校组织的班级篮球比赛中，九年级班数学兴趣小组的同学想用数学知识研究投篮轨迹．他们拍摄了小明投篮的照片（如图），并测量了相关数据进行研究．如图所示，小明投篮的出手点在地面的正投影为点，以为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系． 小明在某次投篮中，成功命中篮筐．已知小明出手点离地面高度为米，篮筐中心到点的水平距离为米，离地面高度为米，篮球运动路线的最高点到点的水平距离为米．假设篮球运动的轨迹是抛物线的一部分．根据以上信息完成下列问题． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果球员小亮准备站在点与点之间的点（与点、点不重合）处拦截篮球，他起跳后能成功拦截的最大高度为米，当他能成功拦截时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点P、A的坐标代入计算即可； （2）设，先求出当时x的值，再根据二次函数的性质，可得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 由题可知：抛物线过点、， ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设，此时篮球高度为， 要想拦截成功，必须能触碰到篮球，即篮球高度不高于米，就能拦截成功， 当时，解得或， 抛物线开口向下，对称轴为直线，最高点为， 根据抛物线的函数值随自变量的变化趋势可知，当时，篮球高度不高于米；当时，篮球高度高于米；当时，篮球高度不高于米． 小亮站在点与点之间，即， 当或时，篮球高度不超过米，小亮可以成功拦截， 或． 22. 如图，在中，，，． （1）在上找一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作平分交于点，点即为所求， （2），过点作，由（1）可知平分，，根据角平分线的定义可知，根据含角的直角三角形的性质可知，根据勾股定理可以求出，根据三角形内角和定理可以求出，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，根据即可求出结果． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点作平分交于点，点即为所求， 平分， ， 过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作， 由（1）可知平分， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ． 23. 实数、、满足，，且． （1）若，当时，求及的值； （2）是否存在使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在， 【解析】 【分析】（1）易得、是关于的方程的两个不相等的实数根，把，代入方程，再解一元二次方程即可； （2）根据根与系数的关系，列出方程求出的值，再把的值代入原方程，判断方程的根的情况，进行取舍即可. 【小问1详解】 解：，，且 、是关于的方程的两个不相等的实数根， 当时，方程化为， 解得或 ，． 【小问2详解】 解：存在 理由：由（1）得、是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴，，， ， 解得或； 当时，方程化为，此时，符合题意； 当时，方程化为，此时，不符合题意； ． 24. 【知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计的下方，从离桌面的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积及液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图所示． 【解决问题】 （1）当小铝块下降时，弹簧测力计的示数为________，弹簧测力计的示数为________； （2）当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式； （3）当弹簧测力计悬挂的小铝块下降时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为．求，的值． 【答案】（1）； （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）观察图象即可得出答案． （2）观察图象可知关于的函数为一次函数，利用待定系数法即可得出弹簧测力计的示数关于的函数解析式． （3）根据（2）中得到的函数解析式得到小铝块下降时小铝块受到的浮力，利用待定系数法求出当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式，继而根据弹簧测力计的示数也为得到此时的． 【小问1详解】 解：由图像可知，当小铝块下降，即当时，弹簧测力计的示数为，弹簧测力计的示数为； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当时，设弹簧测力计的示数关于的函数解析式为， 将和分别代入，得，解得， ∴当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为； 【小问3详解】 解：根据图象，圆柱体小铝块所受重力为，当时，， ， ， 当时，设弹簧测力计的示数关于的函数解析式为， 将和分别代入，得，解得， 当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为， 乙液体中的小铝块所受的浮力也为， 此时弹簧测力计的示数为， 当时，解得， ． 25. 如图，是等边的外接圆，，点是外一点，分别交、于点、，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）如图，点是上的动点，点在内，，且． （）当，且时，求的值； （）如图，当过点时，求的最小值． 【答案】（1）证明：如图，过点作直径，连接、， ， ， 又， ， ， 是的直径， ， ， ∵，， ， ， ， 又是的直径， 是的切线． （2）（）；（） 【解析】 【分析】（1）过点作直径，连接、，由等式变形证，得到等角，根据直径所对圆周角为直角，等量代换推出半径与垂直，证得切线； （2）（）在中解直角三角形求出，套用夹角面积公式算出，通过角度换算得到，求出的高，结合长度直接计算面积；（）过点作，垂足为，连接，先算出、，结合证三角形相似，推出，确定点在以为直径的圆上，利用定点到圆心距离减半径，求出最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （）解：如图，分别过点、作、，垂足分别为、， 在等边中，，， ， ， ， ，且， 中边上的高为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （）解：如图，过点作，垂足为，连接， ，，过点， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在以为直径的圆上， 取的中点，连接、， ，， ， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2025−2026学年第二学期期末模拟考试 初三数学试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，请将正确的答案涂在答题卡上） 1. 《国家宝藏》节目通过演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让馆藏文物一个个鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示零件的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 地球上水的总储量为，但目前能被人们生产、生活利用的水只占总储量的，即约为，因此我们要节约用水．请将用科学记数法表示是 A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 福州一中合唱团从初一年段选了名身高统一的学生作为新成员，经过三年的学习与生活，这名学生的身高与入学时相比，身高差异明显变大，因此，三年后这名学生的身高（ ） A. 平均数不变，方差不变 B. 平均数变大，方差变小 C. 平均数变大，方差不变 D. 平均数变大，方差变大 6. 如图，、为的两条弦，、分别为、的中点，的半径为．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法中错误的是( ) A. 在中，，则是直角三角形 B. 在中，，则是直角三角形 C. 在中，，，则是直角三角形 D. 在中，，则是直角三角形 9. 如图，在的矩形网格中，每格小正方形的边长都是，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点逆时针旋转后得到．若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分，请将正确的答案写在答题卡上） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 因式分解：________． 13. 如图，已知，且，，若，则的面积为________． 14. 小明训练引体向上，记录了次练习的成绩，结果如图所示，则这组数据的中位数是________． 15. 已知的半径为，是的弦，点是上异于点的一点，若，则的大小为________． 16. 已知抛物线经过点，，若，则的取值范围为________． 三、解答题（共9题，共86分，请将正确的答案写在答题卡上） 17. 计算：． 18. 如图，点在的边上，点在边的延长线上，且，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某中学开展“国庆周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初中生观看阅兵盛典的收视情况，将调查结果统计后绘制成如图和图所示的不完整统计图． （1）把条形统计图补充完整； （2）若该学校有学生人，请估计该校没观看阅兵盛典的学生人数？ （3）某班级名男同学和名女同学都完整观看了阅兵盛典，要从这人中任选人写观后感在班级交流，请用列表法或画树状图法，求选出的人恰好是名男同学和名女同学的概率． 21. 在学校组织的班级篮球比赛中，九年级班数学兴趣小组的同学想用数学知识研究投篮轨迹．他们拍摄了小明投篮的照片（如图），并测量了相关数据进行研究．如图所示，小明投篮的出手点在地面的正投影为点，以为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系． 小明在某次投篮中，成功命中篮筐．已知小明出手点离地面高度为米，篮筐中心到点的水平距离为米，离地面高度为米，篮球运动路线的最高点到点的水平距离为米．假设篮球运动的轨迹是抛物线的一部分．根据以上信息完成下列问题． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果球员小亮准备站在点与点之间的点（与点、点不重合）处拦截篮球，他起跳后能成功拦截的最大高度为米，当他能成功拦截时，求的取值范围． 22. 如图，在中，，，． （1）在上找一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的长． 23. 实数、、满足，，且． （1）若，当时，求及的值； （2）是否存在使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24. 【知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关． 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计的下方，从离桌面的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积及液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图所示． 【解决问题】 （1）当小铝块下降时，弹簧测力计的示数为________，弹簧测力计的示数为________； （2）当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式； （3）当弹簧测力计悬挂的小铝块下降时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为．求，的值． 25. 如图，是等边的外接圆，，点是外一点，分别交、于点、，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）如图，点是上的动点，点在内，，且． （）当，且时，求的值； （）如图，当过点时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $