25.2.1 课时2 配方法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦配方法解一元二次方程，通过人体雕像比例情境导入抽象出方程，引导学生观察完全平方形式规律，示范例题步骤后解决导入问题，搭建从实际到数学模型再到方法应用的学习支架。 其亮点在于以情境培养数学眼光，通过规律探究发展数学思维，用规范步骤强化数学语言。例题分层含无解情况，拓展求最值应用，帮助学生深化理解，教师教学有清晰梯度，提升教学效率。

25.2.1 课时2 配方法 22051 1.理解并掌握配方法的一般步骤. 2.能根据方程的结构特点熟练、灵活地运用配方法解一元二次方程. 学习目标 22051 情境：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为 2 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长? x 2－x 解：设雕像下部高x m. x2+2x-4＝0. A B D 如何解这个方程呢？ 情境导入 22051 观察 等式左边的常数项和一次项系数有什么关系？对于形如 x2 + ax的式子，如何配成完全平方式？ (1) x2 + 2 x+___= ( )2； (2) x2 + 8 x + ___ = ( x + ____ )2. 1 2 4 2 4 x+1 一半 一半 通过观察可以发现，对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方式. 对于形如 x2 + ax的式子，不妨猜测： . x2 + ax + ( )2 = ( x + )2 新知讲解 22051 x2 + 6x = - 4 x2+6x+9=-4+9 ( x+3)2=5 降次(直接开平方法) 解： x2+6x+4=0 移项 两边加9 二次项系数是1 即 使左边配成 x2+2bx+b2的形式 左边写成完全平方形式 配一次项系数一半的平方 x+3= x+3= ，或 x+3= 解一次方程 可以验证，-3± 是方程x2+6x+4 =0的两个根. 探究 尝试用你发现的规律解方程x2+6x+4 =0. 新知讲解 22051 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 基本思路：将一般式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 转化为(x+n)2 = p 的形式，再通过直接开平方法(降次)，转化为一元一次方程求解． 核心思想：配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程. 归纳小结 22051 解决导入：能否将x2＋2x－4＝0变形成为(x＋n)2＝p的形式? 解: 移项可得：x2＋2x＝4, 等式左右两边＋1: x2＋2x＋1＝4＋1, 配成完全平方形式: (x＋1)2＝5, 根据平方根的意义降次: x＋1＝±, 解得x1＝－1, x2＝－1. 新知讲解 22051 配方法解一元二次方程的步骤： 一移，化成一般式，把常数项移到等号右边； 二化，二次项系数化为1(等式两边同时除以二次项系数)； 三配，等式两边同时加上一次项系数一半的平方； 四写，方程写成(x+n)2=p的形式； 五开，将等式两边直接开平方； 六解，解一元一次方程； 七定，写出原方程的根. 注意：移项要改变符号 注意：p≥0，才有根. 归纳小结 22051 (1) x2-8x+1=0 解：移项，得 x2－8x=－1， 由此可得 配方，得 x2－8x+( 4 )2=－1+42， ( x－4)2=15 即 分析：方程的二次项系数为1，直接运用配方法. 例1 解下列方程： 例题讲解 22051 分析：先把方程化为2x2 - 3x + 1= 0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程两边都除以2. 解：移项，得 2x2－3x=－1， 二次项系数化为1，得 配方，得 由此可得 (2) 2x2+1=3x 例1 解下列方程： 例题讲解 22051 分析：与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方. 解：移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根． (3) 3x2-6x+4=0 例1 解下列方程： 例题讲解 22051 思考 将一元二次方程通过配方法转化成(x+n)2 = p 形式后，它的根和 p 有什么关系？ 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)²=p 的形式，那么就有： (1)当p＞0时，方程有两个不等的实数根： (2)当p=0时，方程有两个相等的实数根： (3)当p＜0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程无实数根. 新知讲解 22051 例2 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =(k－2)2＋1 因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 例题讲解 22051 13 应用配方法求最值： (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 6x -7的最大值. 解：原式 = 2(x2 - 2x) +5 = 2(x2 - 2x + 1 ) -2 + 5 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时，有最小值3. 解：原式= -3(x2 - 2x) - 7 = -3(x2 - 2x + 1 )+3 - 7 = -3(x - 1)2 - 4 当x =1时，有最大值-4. 小试牛刀 22051 一移，化成一般式，把常数项移到等号右边； 二化，二次项系数化为1； 三配，等式两边同时加上一次项系数一半的平方； 四写，方程写成(x+n)2=p的形式； 五开，将等式两边直接开平方； 六解，解一元一次方程； 七定，写出原方程的根. 配方法 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法. 步骤 定义 课堂小结 22051 一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ） A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4 2.方程3x2+9=0的根为（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根 D D 当堂检测 基础 22051 3.用配方法解下列方程. （1）x2+10x+9=0； （2）x2+4x-9=2x-11; 解：移项，x2+10x=-9 配方，x2+10x+25=16 (x+5) 2=16 x+5=±4 方程的两个根为x1=-1，x2=-9 解：移项，x2+2x=-2 配方，x2+2x+1=-1 (x+1)2=-1 方程没有实数根. 当堂检测 基础 22051 4.试证明：无论a为何实数，关于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程． 证明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0， ∴无论a为何实数，该方程都是一元二次方程. 当堂检测 提升 22051 $