25.2.3 因式分解法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过复习直接开平方法、配方法、公式法，以方程(2x-5)(x+7)=0用公式法求解后观察解与因式的关系，引出“若a·b=0则a=0或b=0”原理，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于结合物理上抛问题抽象出10x-5x²=0，培养数学眼光，通过方法对比表梳理四种解法的适用范围与关键步骤，发展数学思维，纠错环节（小刚漏根问题）强化推理意识。学生能提升方法选择能力，教师可依托清晰流程与分层练习高效教学。

25.2.3 因式分解法 22051 1.会用因式分解法解一元二次方程. 2.能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法.. 学习目标 22051 (1) x² - 8 = 0 (2) x² + 4x -12 = 0 直接开平方法 配方法 解：移项得，x²= 8 即 ∴ 解：移项得，x² + 4x = 12. 配方，得 x² + 4x + 2² = 16 (x + 2)² = 16 由此可得 x + 2 = ±4 思考：我们已经学过了哪几种解一元二次方程的方法？尝试解下列一元二次方程： 复习导入 22051 (3) ( 2x-5 ) ( x+7 ) = 0 公式法 解：化成一般式得：2x2+9x-35=0 a＝2，b＝ 9，c＝-35 b2－4ac = 361 > 0 ∴方程有两个不等的实数根 即 观察(3)的解和原方程有什么关系？ 复习导入 22051 ( 2x-5 ) ( x+7 ) = 0 解得： 当x = 时，( 2x-5 ) = 0； 当x = -7 时，(x+7 ) = 0. 我们发现像(2x-5)(x+7)=0这样的方程，他的解就是依据如果a·b=0，那么a=0或b=0，令两个因式中其中一个为0得出来的. 那是不是像这样的方程都可以这么去解呢？ 复习导入 22051 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过 x s离地面的高度(单位：m)为 10x - 5x2 . 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m ，即 10x - 5x2 = 0 新知讲解 22051 思考1 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？ 解：将方程的左边分解因式，得 x (10 - 5x) = 0 10x - 5x2 = 0 这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0. 我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0. 新知讲解 22051 x (10 - 5x) = 0 所以 x = 0，或(10 - 5x) = 0 所以，方程10x - 5 x2 = 0的两个根是 x1 = 0，x2 =2. 这两个根中，x₁=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而x2 = 2表示物体约在2 s时落回地面. 新知讲解 22051 思考2 二次方程是如何降为一次的？ 10x - 5 x2 = 0 x (10 - 5x) = 0 通过因式分解降次 可以发现上述解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 新知讲解 22051 例 解下列方程： 解：因式分解，得 于是得 x－2＝0 或 x＋1=0， x1 = 2，x2 = －1. (x－2)(x＋1)=0. 解：移项、合并同类项，得 因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 于是得 2x＋1=0或2x－1=0， = -= 例题讲解 22051 问题1 尝试归纳用因式分解法解一元二次方程的步骤. (1)移项：将方程化为一般形式； (2)化积：将方程左边分解为两个一次因式的乘积； (3)转化：令每个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 归纳：右化零，左分解，两因式，各求解. 归纳小结 22051 问题2 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 思路：都是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程解决. 方法 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开 平方法 ( mx ＋ n )2＝ p ( m ≠0， p ≥0) 开平方 求解迅速，但只适用于一些特殊的方程 配方法 所有的一元二次方程 配方 当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可优先用此法 公式法 所有的一元二次方程 代入求 根公式 计算量大，易出现符号错误 因式分 解法 适用于等号左边是两个一次因式的积，右边是0的方程 分解因式 求解迅速，但适用范围较小 22051 将下列序号填到对应的横线上. ① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t 2 + t = 0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . ② ⑥ ③ ⑤ ⑨ ① ⑦ ⑧ ④ 小试牛刀 22051 (1)移项：将方程化为一般形式； (2)化积：将方程左边分解为两个一次因式的乘积； (3)转化：令每个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程； (4)求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 步骤 因式分解法 先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 概念 课堂小结 22051 1.下面是一元二次方程x2 - 2x - 3 = 0的解答过程： ∵x2 - 2x + 1 = 4，(x-1)2 = 4， ∴x - 1 = ±2， ∴x1 = 3 或 x2 = - 1． 上述解法用到的方法是( ) A. 直接开平方法 B. 因式分解法 C. 公式法 D. 配方法 D 当堂检测 基础 22051 2. 请选择你认为适当的方法解下列方程． (1)(x+4)²=4x²+1-4x ； (2) x² - 4x - 1 = 0； 配方法： 解：整理，得x² - 4x + 4 = 5 (x - 2)2 = 5 即 即 直接开平方法： 解：整理，得(x+4)²=(2x-1)² x + 4 = ± (2x - 1) x+ 4 = 2x - 1 或 x + 4 = -2x + 1 当堂检测 基础 22051 (3)2x²+x-1=0 ； (4) x(x - 4) = 2x - 8 . 因式分解，得(x - 4) (x - 2)＝0 解得 因式分解法： 解：移项，得 x(x - 4) -2x + 8 =0， 整理，得 x(x - 4) -2(x - 4)=0. 即 公式法： 解：a＝2，b＝1，c＝-1. b2－4ac＝1²- 4×2×(-1) = 9 > 0. 方程有两个不等的实数根 当堂检测 基础 22051 3. (过程纠错改错)下面是小刚在作业本中做的一道题，老师说小刚的方法有问题，可是小刚不明白，你能帮帮他吗？ 解一元二次方程：(2x﹣1)2＝4x﹣2． 解：原方程变形为(2x﹣1)2＝2(2x﹣1)…① 两边同时除以(2x﹣1)，得2x﹣1＝2…② 移项，合并得2x＝3…③ 系数化为1，得 …④ 上述解法中，该解法第一步采用的是__________法解方程；第二步的依据是___________，你认为第 ___步有问题，问题在于______________. 提公因式 等式的性质　 ② 2x﹣1可以为0 当堂检测 提升 22051 请你将该方法正确的过程写出来． 解：(2)正确解法为： (2x﹣1)2＝4x﹣2， (2x﹣1)2﹣2(2x﹣1)＝0， (2x﹣1)(2x﹣1﹣2)＝0， 2x﹣1＝0或2x﹣1﹣2＝0， 所以，x1= ，x2= . 解一元二次方程：(2x﹣1)2＝4x﹣2． 解：原方程变形为(2x﹣1)2＝2(2x﹣1)…① 两边同时除以(2x﹣1)，得2x﹣1＝2…② 移项，合并得2x＝3…③ 系数化为1，得 …④ 当堂检测 提升 22051 $