第12讲 函数与方程·分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 以函数零点为核心，通过五个递进考点系统覆盖存在性判断、个数分析、参数范围、复合函数及综合应用，题型涵盖选择、填空、解答，注重数学抽象与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数的零点与二分法|2考法7题|零点区间判断、近似解（二分法/牛顿迭代）|从定义与存在性定理到近似计算，构建基础认知| |函数零点与方程根的个数|3考法10题|数形结合判断交点、导数分析单调性、分段函数零点|结合图像与导数工具，深化零点个数判定逻辑| |利用零点求参数范围|3考法13题|端点效应、分离参数、分段函数根的分布|从定性分析到定量计算，建立参数与零点关系| |复合函数与嵌套函数的零点|1考法4题|换元法处理嵌套函数零点|通过换元转化为基础函数问题，体现化归思想| |零点的综合应用|3考法11题|对称性求零点和、等高线模型、唯一零点问题|整合函数性质与方程思想，提升综合解题能力|

第12讲 函数与方程 · 分类练习 考点一：函数的零点与二分法 考法1：函数的零点定义与存在性定理 1.（2025·沧州运东五校·二模）函数的零点所在的区间为（ 　　） A. B. C. D. 2.（2026·泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（ 　　） A. B. C. D. 3.已知函数，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（ 　　） A. B. C. D. 考法2：求方程的近似解 4.函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下： 那么方程的一个近似解 (精确度为 0.1) 为（ 　　） A. 1.5 B. 1.25 C. 1.41 D. 1.44 5.利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ 　　） A. B. C. D. 6.用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为 0.01 时，所需二分区间的次数最少为（ 　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7.牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（ 　　） A. 0.333 B. 0.335 C. 0.345 D. 0.347 考点二：函数零点与方程根的个数 考法3：利用数形结合判断交点或零点个数 8.（2026·佛山·检测）下列曲线中，与曲线交点个数最多的是（ 　　） A. B. C. D. 9.（2025·衡水中学·一模）函数与函数的图象交点个数为（ 　　） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 10.（2024·华南师大附中·三模）（多选）已知函数的零点为，的零点为，则（ 　　） A. B. C. D. 11.（2026·黄冈·调研）（多选）若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（ 　　） A. B. C. 成等比数列 D. 考法4：结合导数与单调性判断零点个数 12.（2026·山东九五协作体·一模）已知为两两不相等的正数，设函数，则（ 　　） A. 没有零点 B. 有唯一零点 C. 至多有一个零点 D. 至少有一个零点 13.（2026·孝感·二模）（多选）已知函数的定义域是，满足，且，若存在实数，使函数在区间上恰好有 2026 个零点，则实数的值可能为（ 　　） A. B. C. D. 考法5：分析分段函数或特殊方程的零点个数 14.（2026·菏泽·一模）（多选）函数图象是由函数，与函数，的图象“拼接”而成.则下列说法正确的有（ 　　） A. B. 若，则 C. 若有三个零点，则 D. 若关于的方程存在实数解，则实数满足或 考点三：利用零点求参数范围 考法6：结合零点存在性定理与端点效应求参数 15.函数在区间存在零点．则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 16.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 17.已知函数是 R 上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考法7：利用分离参数法与导数求参数范围 18.（2026·山东名校联盟·检测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 19.（2025·保定·一模）函数有且只有三个零点，则的取值可以是（ 　　） A. 3 B. C. 1 D. 20.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 21.若至少存在一个，使得方程成立．则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 22.（2026·龙岩·检测）已知函数恰有三个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考法8：利用分段函数或特殊方程的根求参数范围 23.（2026·山东师大附中·检测）已知函数，且函数在，内恰有 2025 个零点，则满足条件的有序数对（ 　　） A. 有且仅有 1 对 B. 有且仅有 2 对 C. 有且仅有 3 对 D. 有无数对 24.已知函数，若函数有两个零点，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 25.（2026·临泉田家炳·二模）已知函数恰有三个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 26.（2025·张家口·二模）已知关于 的方程 有两个不等实根，则正数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 27.（2026·山东九五协作体·一模）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）关于的方程有三个实根，且，求的取值范围. 考点四：复合函数与嵌套函数的零点 考法9：利用换元法处理嵌套函数零点 28.（2026·宁波·二模）已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 29.已知函数，则关于的方程有 7 个不同实数解，则实数满足（ 　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 30.定义在 R 上函数，若函数关于点对称，且，则关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ 　　） A. 2 B. 4 C. 2 或 4 D. 2 或 4 或 6 31.（2026·阜阳·一模）已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考点五：零点的综合应用 考法10：结合函数对称性求零点之和 32.（2026·滁州·一模）已知函数，的零点分别是，则满足（ 　　） A. B. C. D. 33.（2025·河南青桐鸣·联考）已知函数的定义域均为 R，且为偶函数，为奇函数，函数的最小值为，若函数有两个零点，则＿＿＿＿＿＿. 考法11：利用等高线模型求零点的和与积 34.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 35.已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 36.已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 37.设函数 ①若方程有四个不同的实根，则的取值范围是 ②若方程有四个不同的实根，则的取值范围是 ③若方程有四个不同的实根，则的取值范围是 ④方程的不同实根的个数只能是 1，2，3，6 四个结论中，正确的结论个数为（ 　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考法12：利用函数性质处理唯一零点问题 38.已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ 　　） A. B. 0 C. 2 D. 4 39.已知函数有唯一零点，则实数（ 　　） A. 1 B. C. 2 D. 40.已知实数满足，，则＿＿＿＿＿＿. 41.（2026·唐山·一模）已知，若，则＿＿＿＿＿＿. 42.（2026·宜春十校·联考）设数列的前 n 项和为，对任意，函数在定义域内有唯一的零点，则数列的通项公式＿＿＿＿＿＿. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 函数与方程 · 分类练习（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 B C C C C 6 7 8 9 10 B D B A ACD 11 12 13 14 15 ABD C AB ACD B 16 17 18 19 20 D A A D 21 22 23 24 25 B A A 26 27 28 29 30 见解析 D C B 31 32 33 34 35 D A A 36 37 38 39 40 A B D D 41 42 1.（2025·沧州运东五校·二模）函数的零点所在的区间为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， ， 又， 函数的零点所在区间是. 【点拨】本题考查函数零点所在区间的判断，利用零点存在性定理，结合函数单调性与端点函数值符号进行判断即可. 2.（2026·泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，则，，，， 所以， 又因为在上单调递增， 所以函数的零点所在的大致区间为. 【点拨】本题考查函数零点所在区间的判断，利用零点存在性定理，计算区间端点函数值，寻找异号区间即可. 3.已知函数，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，所以， 因为是方程的一个解， 所以是方程的解，令， 则，当时，恒成立， 所以单调递增， 又，， 所以. 【点拨】本题考查函数零点所在区间的判断，先求导化简方程，构造新函数，利用导数判断单调性，再结合零点存在性定理求解. 4.函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下： 那么方程的一个近似解 (精确度为 0.1) 为（ 　　） A. 1.5 B. 1.25 C. 1.41 D. 1.44 【答案】C 【解析】由所给数据可知，函数在区间内有一个根， 因为，， 所以根在内， 因为，所以不满足精确度， 继续取区间中点， 因为，， 所以根在区间， 因为，所以不满足精确度， 继续取区间中点， 因为，， 所以根在区间内， 因为满足精确度， 因为，所以根在内， 所以方程的一个近似解为. 【点拨】本题考查二分法求方程的近似解，根据二分法的步骤，结合所给数据，逐步缩小零点所在区间，直至区间长度满足精确度要求即可. 5.利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设， 当连续函数满足时，在区间上有零点， 即方程在区间上有解， 又，， 故， 故方程在区间上有解， 即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是. 【点拨】本题考查二分法求方程近似解的初始区间选择，构造函数，利用零点存在性定理判断零点所在区间即可. 6.用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为 0.01 时，所需二分区间的次数最少为（ 　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】根据题意，原来区间的长度等于 1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 则经过次操作后，区间的长度为，若，即. 【点拨】本题考查二分法求方程近似解的次数计算，根据二分法原理，每次操作区间长度减半，建立不等式求解即可. 7.牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（ 　　） A. 0.333 B. 0.335 C. 0.345 D. 0.347 【答案】D 【解析】令，则， 令，即，可得， 迭代关系为 ， 取，则，. 【点拨】本题考查利用牛顿迭代法求方程的近似解，理解题意，写出迭代关系式，代入初始值进行计算即可. 8.（2026·佛山·检测）下列曲线中，与曲线交点个数最多的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在，内单调递增，在内单调递减， 当时，函数取到极大值 2；当时，函数取到极小值； 且当趋近于时，函数趋近于；当趋近于时，函数趋近于； 对于选项 A：分别作出曲线和曲线的图象， 由图象可知：曲线与曲线有 3 个交点； 对于选项 B：曲线， 用替换可得，即，方程不变，曲线关于 y 轴对称； 用替换可得，即，方程不变，曲线关于 x 轴对称； 且当且时，曲线即为， 据此可得曲线和曲线的图象，如图所示： 由图象可知：曲线与曲线有 6 个交点； 对于选项 C：曲线即为， 由图象可知：曲线与曲线有 4 个交点； 对于选项 D：曲线即为， 由图象可知：曲线与曲线有 5 个交点； 综上所述：与曲线交点个数最多的是. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的图象与性质，以及数形结合思想判断曲线交点个数，先利用导数画出的草图，再分别画出各选项曲线的图象，观察交点个数即可. 9.（2025·衡水中学·一模）函数与函数的图象交点个数为（ 　　） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象， 由图象可知，函数与函数的图象交点个数为 3. 【点拨】本题考查函数图象的交点个数问题，利用数形结合思想，在同一坐标系中画出两函数的图象，观察交点个数即可. 10.（2024·华南师大附中·三模）（多选）已知函数的零点为，的零点为，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】由题意知，，即， 所以，即， 又， 设，易知在上单调递增， 且，，所以，即，故 A 错误； 因为，， 所以，所以， 所以，故 B 正确； 因为，， 所以，故 C 正确； ， 因为，所以， 即，由于无法判断是否大于 1，故 D 错误. 【点拨】本题考查函数零点的性质及应用，利用函数的单调性与零点存在性定理，结合方程的思想进行转化推导. 11.（2026·黄冈·调研）（多选）若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（ 　　） A. B. C. 成等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】对于 A，求导得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 故； 对于，函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 故. 对于 A，由图知，要使直线与两条曲线和有四个不同的交点，需使，故 A 正确； 对于 B，结合图象可知，，， 结合函数的单调性可知，，即，故 B 正确； 同理可得，由知不可能构成等比数列，故 C 错误； 由前面分析可知，故 D 正确. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的图象与性质，以及数形结合思想判断曲线交点个数，构造函数，利用导数求出单调区间和极值，画出图象，结合图象和方程的思想进行求解. 12.（2026·山东九五协作体·一模）已知为两两不相等的正数，设函数，则（ 　　） A. 没有零点 B. 有唯一零点 C. 至多有一个零点 D. 至少有一个零点 【答案】C 【解析】， 令， 若均大于，则在 R 上单调递增，且，， 此时至多有一个解； 若均小于，则在 R 上单调递减，且，， 此时至多有一个解； 若中一个大于，一个小于，不妨设， 则， 令，得， 因为，所以， 所以方程有唯一解， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在处取得极小值，也是最小值， 若，则无解； 若，则有唯一解； 若，由于，且当时，， 此时有两个解； 综上，可能没有零点，也可能有一个或两个零点， 故选 C. 【点拨】本题考查函数零点个数的判断，将方程变形，构造新函数，分类讨论参数的大小关系，利用导数研究函数的单调性与极值，从而判断零点个数. 13.（2026·孝感·二模）（多选）已知函数的定义域是，满足，且，若存在实数，使函数在区间上恰好有 2026 个零点，则实数的值可能为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】由题意，在上的图象有 2 个“波谷”点和，1 个“波峰”点。 因为，所以在上的图象可由上的图象向上平移个单位得到。 要使函数在区间上恰好有 2026 个零点，即方程在上恰好有 2026 个解。 因为，所以区间包含 506 个区间（），以及。 在每个区间内，方程最多有 4 个解，在内最多有 2 个解。 要使总解数为 2026，必须在每个内有 4 个解，且在内有 2 个解。 因此，直线必须介于所有的“波谷”和“波峰”之间，即要求“最高波谷”“最低波峰”。 (1) 当时，取即可满足条件，显然成立； (2) 若，图象整体呈上升趋势，“最高波谷”为，“最低波峰”为。 则需满足，即，解得； (3) 若，图象整体呈下降趋势，“最高波谷”为，“最低波峰”为。 则需满足，即，解得； 综上所述，实数的取值范围是。 对照选项，A、B 符合题意。 【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，以及函数零点个数问题，利用函数的递推关系与平移变换，结合数形结合思想，抓住“最高波谷”与“最低波峰”的临界条件进行分析求解。 14.（2026·菏泽·一模）（多选）函数图象是由函数，与函数，的图象“拼接”而成.则下列说法正确的有（ 　　） A. B. 若，则 C. 若有三个零点，则 D. 若关于的方程存在实数解，则实数满足或 【答案】ACD 【解析】对于 A，，， 所以，故 A 正确； 对于 B，易知在上单调递增， 由，得，解得，故 B 错误； 对于 C，函数有三个零点，等价于方程有三个不相等的实数根， 等价于函数的图象与直线有三个交点， 又直线恒过定点，如图， 当直线位于与之间（不包括两条直线）时满足条件， 当直线位于时，； 当直线位于时，联立与，消去整理得， 由相切，得，解得，又，则， 由图可知，故 C 正确； 对于 D，由上图得函数的值域为， 而的图象是由的图象向右平移 2026 个单位得到， 故的值域为， 将条件转化为关于的方程存在实数解， 所以，解得或，故 D 正确. 【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，函数零点个数问题，以及方程有解问题，利用数形结合思想，将零点问题转化为图象交点问题，结合导数或判别式求解. 15.函数在区间存在零点．则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增， 因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 【点拨】本题考查利用零点存在性定理求参数范围，先判断函数的单调性，再利用端点函数值异号列不等式组求解. 16.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】和在上是增函数， 在上是增函数， 只需即可，即，解得. 【点拨】本题考查利用零点存在性定理求参数范围，判断函数的单调性是关键，然后利用端点函数值异号求解. 17.已知函数是 R 上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】是奇函数，，，，易知在 R 上是增函数， 有唯一零点 0， 函数的零点在区间内，在上有解，， . 【点拨】本题考查奇函数的性质及函数零点问题，先利用奇函数性质求出参数，再利用单调性确定零点，最后根据零点所在区间求出参数范围. 18.（2026·山东名校联盟·检测）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，得， 令，则， 当或时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在处取得极大值，也是最大值，， 又当时，；当时，， 且， 画出的大致图象， 要使有且只有一个零点，即直线与的图象只有一个交点， 结合图象可知，， 所以实数的取值范围为. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，采用分离参数法，构造新函数，利用导数求出单调区间和极值，画出图象，数形结合求解. 19.（2025·保定·一模）函数有且只有三个零点，则的取值可以是（ 　　） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】令得， 当时，，则，令， 所以当时，，为增函数；当时，，为减函数， 所以函数在处取得极大值，且，当时，； 当时，， 则，则时，，为减函数， 当时，； 综上，与函数图象有三个交点时，即函数有且只有三个零点时. 所以的取值可以是. 【点拨】本题考查函数零点个数问题，采用分离参数法，将问题转化为直线与函数图象交点个数问题，利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象求解. 20.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为，所以 当时，有，解得，所以当时，有两个零点，不符合题意； 当时，由，解得或，且有，， 当，，在区间上单调递增； 当，，在区间上单调递减； 当，，在区间上单调递增； 又因为，， 所以，存在一个正数零点，所以不符合题意； 当时，令，解得或，且有， 当，，在区间上单调递减； 当，，在区间上单调递增； 当，，在区间上单调递减； 又因为，， 所以，存在一个负数零点，要使存在唯一的零点， 则满足，解得或，又因为，所以， 综上，的取值范围是． 【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点问题，分类讨论参数的符号，利用导数求出单调区间和极值，结合零点存在性定理进行判断. 21.若至少存在一个，使得方程成立．则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】原方程化简得:有解, 令,, 当时,, 所以在单调递减, 当时,, 所以在单调递增.. 所以. 【点拨】本题考查方程有解问题，采用分离参数法，转化为求函数的最值问题，利用导数研究函数的单调性与最值即可. 22.（2026·龙岩·检测）已知函数恰有三个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为恰有三个零点， 当时，由得，所以函数在上有一个零点， 所以函数在上有两个零点， 即方程在上有两个不相等的实数根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围是. 【点拨】本题考查分段函数的零点问题，将问题转化为二次方程在指定区间上的根的分布问题，利用二次函数的图象与性质列不等式组求解. 23.（2026·山东师大附中·检测）已知函数，且函数在，内恰有 2025 个零点，则满足条件的有序数对（ 　　） A. 有且仅有 1 对 B. 有且仅有 2 对 C. 有且仅有 3 对 D. 有无数对 【答案】A 【解析】因为，周期， 当时，， 函数在内恰有 2025 个零点， 即方程在内恰有 2025 个解， 因为 2025 是奇数，且每个周期内正弦函数最多有两个解， 所以个周期内，解的个数为或或， 若解的个数为 2025，则必有或， 解得或， 当时，区间为，， 要使解的个数为 2025，则在最后一个周期内只有 1 个解， 此时， 当时，区间为，， 要使解的个数为 2025，则在最后一个周期内有 3 个解，这不可能， 所以满足条件的有序数对只有 1 对，即. 【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，以及函数零点个数问题，利用三角函数的周期性与图象，结合数形结合思想进行分析. 24.已知函数，若函数有两个零点，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 存在两个零点，等价于与的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象： 由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足，解得： 【点拨】本题考查分段函数的零点问题，将问题转化为两函数图象的交点问题，画出图象，数形结合求解即可. 25.（2026·临泉田家炳·二模）已知函数恰有三个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】当时，令，得， 可知函数在上有一个零点， 则在上有两个零点，故当时，方程有两个不同的根， 故在上有两个不同的根， 即函数在上有两个零点， 当，则， 结合函数的图象可得，解得． 【点拨】本题考查分段函数的零点问题，将问题转化为二次方程在指定区间上的根的分布问题，利用二次函数的图象与性质列不等式组求解. 26.（2025·张家口·二模）已知关于 的方程 有两个不等实根，则正数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】方程变形为， 即， 令，则， 若，则，单调递增，最多只有一个零点，不合题意； 若，令，得， 解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 要使方程有两个不等实根，则， 即， 令，则，， 不等式化为， 即， 令，， 利用导数可证在时恒成立， 所以均满足题意. 【点拨】本题考查方程根的个数问题，利用导数研究函数的单调性与极值，结合数形结合思想进行分析求解. 27.（2026·山东九五协作体·一模）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）关于的方程有三个实根，且，求的取值范围. 【答案】见解析 【解析】（1） 当时，，， ，， 所以曲线在处的切线方程为． （2） 当时，，在单调递增，当时，． 方程①有三个不同的实数解， 且． 若，则， 此时方程①任意三个实数解之和必大于 0，不符合题意： 若， 当时，方程①可整理为②至多两个负数解， 当时，方程①即为③至多一个非负解． 所以方程②有两个不同的实数解， 且， 因为方程③有非负解， 由，可知． 由，得． 方程②变为， 由判别式，并结合， 可知． 经验证，此时为负数，符合题意． 综上，实数的取值范围是． 【点拨】本题考查导数的几何意义求切线方程，以及函数零点与方程根的综合应用，利用分段函数的解析式，将问题转化为二次方程根的分布问题，结合韦达定理求解. 28.（2026·宁波·二模）已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：， 在和单调递增，其简要图形如下： 设，即方程有三个不同的实数解， 又当时，有两个不同的实数解；时，只有一个实数解， 所以有三个不同的实数解，当且仅当方程有两个不同的实数解， 且，，解得， 时，即， 不妨设， 则， 即，解得 ， 又在上单调递增， 时，. 【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，以及嵌套函数方程根的个数问题，利用换元法将问题转化为内外层函数的交点问题，结合单调性求最值. 29.已知函数，则关于的方程有 7 个不同实数解，则实数满足（ 　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】令，作出函数的图象如下图所示： 由于方程至多两个实根，设为和， 由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为 0、2、3、4， 由于关于的方程有 7 个不同实数解， 则关于的二次方程的一根为，则， 则方程的另一根为， 直线与函数图象的交点个数必为 4，则，解得. 所以且. 故选：C. 【点拨】本题考查嵌套函数方程根的个数问题，利用换元法将问题转化为二次方程根的分布，结合函数图象交点个数进行分析求解. 30.定义在 R 上函数，若函数关于点对称，且，则关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ 　　） A. 2 B. 4 C. 2 或 4 D. 2 或 4 或 6 【答案】B 【解析】函数关于点对称，是奇函数，时，在上递减，在上递增， 作出函数的图象，如图，由图可知的解的个数是 1，2，3. 或时，有一个解，时，有两个解，时，有三个解， 方程中设，则方程化为，其判别式为恒成立，方程必有两不等实根，，，，两根一正一负，不妨设， 若，则，，和都有两个根，原方程有 4 个根； 若，则，，，，有三个根，有一个根，原方程共有 4 个根； 若，则，，，，有一个根，有三个根，原方程共有 4 个根． 综上原方程有 4 个根． 故选：B. 【点拨】本题考查函数的奇偶性与图象变换，以及嵌套函数方程根的个数问题，利用换元法将问题转化为二次方程根的分布，结合函数图象交点个数进行分析求解. 31.（2026·阜阳·一模）已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】函数在上单调递增，，在上单调递增，， 当，即时，，且， 当，即，，且， 当，即时，，且， 因此， 在坐标系内作出函数和的图像，关于的方程恰有三个不相等的实数根，则. 所以实数的取值范围是. 【点拨】本题考查分段函数的复合函数零点问题，先求出复合函数的解析式，再画出图象，利用数形结合思想求解. 32.（2026·滁州·一模）已知函数，的零点分别是，则满足（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可知，分别是，和的函数图象的交点的横坐标， 而和互为反函数，所以其函数图象关于对称， 因为和垂直，所以两个交点也关于对称， 联立、，得，故. 【点拨】本题考查反函数的图象特征及函数零点的对称性应用，将零点问题转化为图象交点问题，利用对称性求解. 33.（2025·河南青桐鸣·联考）已知函数的定义域均为 R，且为偶函数，为奇函数，函数的最小值为，若函数有两个零点，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为为偶函数，所以，即关于对称； 因为为奇函数，所以，即关于对称； 所以的周期， 因为的最小值为，所以，解得（）， 所以，对称轴为， 因为关于对称，周期为 4，所以关于对称， 所以关于对称， 因为有两个零点，所以，即. 【点拨】本题考查函数的奇偶性、对称性与周期性，以及函数零点的对称性应用，利用条件推导出两函数的公共对称轴，结合对称性求解. 34.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】. 先作图象，由图象可得，，. 因此为单调递减函数， ， 从而. 故选：A 【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，以及方程根的个数问题，利用数形结合思想，结合二次函数的对称性与对数函数的性质求出根的关系，再求代数式的范围. 35.已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】作出函数的图象，如图所示： 方程有四个不同的实根，，，，满足， 则， 即：，所以， ，所以，根据二次函数的对称性可得：， ， 考虑函数单调递增， ， 所以时的取值范围为. 故选：A 【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，以及方程根的个数问题，利用数形结合思想，结合二次函数的对称性与对数函数的性质求出根的关系，再求代数式的范围. 36.已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】画出分段函数的图像如图： 令互不相等的实数，，满足，， 则，，， 则， 又， ． 故选：A． 【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，以及方程根的个数问题，利用数形结合思想，结合指数函数的性质求出根的关系，再求代数式的范围. 37.设函数 ①若方程有四个不同的实根，则的取值范围是 ②若方程有四个不同的实根，则的取值范围是 ③若方程有四个不同的实根，则的取值范围是 ④方程的不同实根的个数只能是 1，2，3，6 四个结论中，正确的结论个数为（ 　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】对于①：作出的图像如下： 若方程有四个不同的实根，，，，则，不妨设， 则，是方程的两个不等的实数根，，是方程的两个不等的实数根， 所以，，所以，所以， 所以，故①正确； 对于②：由上可知，，，且， 所以， 所以，， 所以， 所以，故②错误； 对于③：方程的实数根的个数，即为函数与的交点个数， 因为恒过坐标原点，当时，有 3 个交点，当时最多 2 个交点，所以， 当与相切时，设切点为， 即，所以，解得，所以，所以， 所以当与相切时，即时，此时有 4 个交点， 若有 4 个实数根，即有 4 个交点， 当时由图可知只有 3 个交点，当时， 令，，则，则当时，即单调递增，当时，即单调递减， 所以当时，函数取得极大值即最大值，， 又及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当无限大时，即在和内各有一个零点，即有 5 个实数根，故③错误； 对于④：， 所以， 所以或， 由图可知，当时，的交点个数为 2， 当时，的交点个数为 3， 当时，的交点个数为 4， 当时，的交点个数为 1， 所以若时，则，交点的个数为个， 若时，则，交点的个数为 3 个， 若，则，交点有个， 若且时，则且，交点有个， 若，交点有 1 个， 综上所述，交点可能有 1，2，3，6 个，即方程不同实数根 1，2，3，6，故④正确； 【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，以及方程根的个数问题，利用数形结合思想，结合二次函数的对称性与对数函数的性质求出根的关系，再综合分析各个命题的真假. 38.已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ 　　） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】因为是函数的一个零点，则，于是，即， 而函数是奇函数，则有， 所以. 【点拨】本题考查函数的奇偶性与零点，利用奇函数性质求出对应函数值即可. 39.已知函数有唯一零点，则实数（ 　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】设，定义域为 R， ， 故函数为偶函数，则函数的图象关于 y 轴对称， 故函数的图象关于直线对称， 有唯一零点， ，即. 【点拨】本题考查函数图象的对称性与零点，构造偶函数，利用对称性确定唯一零点的位置，代入求解即可. 40.已知实数满足，，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由，即， 即， 令，则， 即， 由， 设函数，显然该函数为增函数， 又，， 所以函数在上有唯一的零点， 因此，即， 所以， 即， 所以. 【点拨】本题考查函数零点的唯一性及方程的求解，利用函数的单调性说明方程解的唯一性，通过构造相同结构的方程来寻找变量之间的关系. 41.（2026·唐山·一模）已知，若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意可得：， 当时，可得，即，解得或（舍去）； 当时，可得，即，方程无解； 综上所述：. 【点拨】本题考查分段函数的求值，去绝对值转化为分段函数，分类讨论求解方程即可. 42.（2026·宜春十校·联考）设数列的前 n 项和为，对任意，函数在定义域内有唯一的零点，则数列的通项公式＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】函数在定义域内有唯一的零点，结合余弦函数和二次函数的对称性， 为偶函数，其图象关于轴对称可知这个公共点的横坐标一定是 0，（否则公共点成对出现）， 即， 取得，所以， 当时得到， ，即， 数列为首项为 1，公比为 2 的等比数列， . 【点拨】本题考查函数零点与偶函数性质的综合应用，利用偶函数的唯一零点必为 0，求出数列的递推关系，进而求出通项公式. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $