第12讲 函数与方程·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦函数与方程核心知识，整合2025-2026多省模考题，通过零点存在性、方程根的个数、参数范围讨论等分层设计，适配一轮复习基础巩固与逻辑推理能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|函数奇偶性、二分法、曲线交点、方程根的个数|结合江西上饶二模等真题情境，突出抽象能力与几何直观| |填空题|3题/15分|零点区间、方程解的个数、零点和|聚焦数学语言表达，如正实数参数范围求解| |解答题|5题/77分|切线方程、零点个数讨论、含参方程解|综合考查推理能力，如浙江强基联盟考题中自然对数方程解的探究|

第12讲 函数与方程·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数 是奇函数，且 ，若 是函数 的一个零点，则 （ 　　） A. B. C. D. 2.用二分法求函数 的一个零点，根据参考数据，可得函数 的一个零点的近似解 (精确到 ) 为 (参考数据：，，，，)（ 　　） A. B. C. D. 3.（2025·江西上饶·二模）下列选项中，曲线 与 在 上的交点个数不一样的是（ 　　） A. B. C. D. 4.（2025·江西鹰潭·二模）已知函数 ，若方程 有三个不同根，则实数 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 5.已知函数 ，若函数 ，则函数 的零点个数为（ 　　） A. B. C. D. 6.（2026·山东德州·三模）对于正整数 ，函数 对于实数 ，使得方程 有四个不同实数解的所有正整数 的和为（ 　　） A. B. C. D. 7.已知函数 ，设关于 的方程 有 个不同的实数解，则 的所有可能的值为（ 　　） A. B. 或 C. 或 D. 或 或 8.已知函数 ，若互不相等的实数 ，， 满足 ，则 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2025·河北承德·一模）已知函数 的零点个数可以为（ 　　） A. B. C. D. 10.（2026·河北沧州·二模）已知函数 在区间 上有两个不同的零点，则（ 　　） A. B. C. D. 11.（2026·江苏南京·二模）已知函数 则（ 　　） A. B. C. 在 上单调递减 D. 有且仅有 个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数 ，若 在区间 上有零点，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿. 13.（2026·江西宜春·一模）已知关于 的方程 有两个不相等的实数解，则正实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 14.（2026·湖南联盟·3月联考）函数 的所有零点的和为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（2026·山东九五协作体·一模）已知函数 . （1） 求曲线 在点 处的切线方程； （2） 关于 的方程 有三个实根 ，，，且 ，求 的取值范围. 16.（15分）（2026·河南新未来·5月测评）已知函数 . （1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 当 时，讨论曲线 与 的交点个数. 17.（15分）已知函数 ，若函数 在 上恰有三个不同的零点，求 的取值范围. 18.（17分）（2026·浙江强基联盟·5月检测）设关于 的方程 为自然对数底数 有 个不相等的实数解 ，求 的值. 19.（17分）设 ，对任意实数 ，记 . 若 有三个零点，求实数 的取值范围. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 函数与方程 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 D C B A D 6 7 8 9 10 B A A ACD ACD 11 12 13 14 15 BCD （1） （2） 16 17 18 19 （1） （2）见解析 逐题详解 1.已知函数 是奇函数，且 ，若 是函数 的一个零点，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵ 是函数 的一个零点，则 ，于是 ，即 ，而函数 是奇函数，则有 ，∴ . 【点拨】利用函数零点定义得到 ，再结合奇函数性质 实现求值转化. 2.用二分法求函数 的一个零点，根据参考数据，可得函数 的一个零点的近似解 (精确到 ) 为 (参考数据：，，，，) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可知：，，又∵ 函数在 上连续，∴ 函数在区间 上有零点，约为 . 【点拨】二分法求近似解的核心在于寻找区间端点函数值异号的区间，再取区间中点作为近似值. 3.（2025·江西上饶·二模）下列选项中，曲线 与 在 上的交点个数不一样的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】依题意，，，曲线 与 的交点个数，即方程 解的个数. 对于A，，由 ，得 或 ，当 时，由 ，得 ，方程 有 个解，共 个； 对于B，，由 ，得 或 ，当 时，，共 个； 对于C，，由 ，得 或 ，当 时，方程 有 个解，方程 有 个解，共 个； 对于D，，由 ，得 或 ，当 时，方程 有 个解，方程 有 个解，共 个.所以交点个数不一样的是 . 【点拨】利用三倍角公式（或和差角公式展开）将方程化为关于 的代数方程，再结合正弦函数在给定区间的图象特征确定解的个数. 4.（2025·江西鹰潭·二模）已知函数 ，若方程 有三个不同根，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】函数 的定义域为 ，且在 上单调递增，，即 ，方程 ，即 ，于是 ，即 ，令 ，依题意，直线 与函数 的图象有三个不同的交点，求导得 ，当 时，，当 时，，函数 在 ， 上递减，在 上递增，当 时， 取极小值 ；当 时， 取极大值为 ，而当 或 时，恒有 ，观察图象得 ，原方程有三个不同实根，∴ 实数 的取值范围为 . 【点拨】探究给定函数的对称性及单调性，脱去法则“”，构造新函数，利用导数探讨函数的性质并作出图象，数形结合求得答案. 5.已知函数 ，若函数 ，则函数 的零点个数为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当 时，，；当 时，，. ∴ ，，且定义域为 ，关于原点对称，故 为奇函数，∴ 我们求出 时零点个数即可，，，令 ，解得 ，故 在 上单调递增，在 单调递减，且 ，而 ，故 在 有 个零点，，故 在 上有 个零点.故 在 上有 个零点，又∵ 其为奇函数，则其在 上也有 个零点，且 ，故 共 个零点. 【点拨】利用奇偶性简化问题，只需研究 时的零点分布，通过导数确定单调性与极值，再结合零点存在性定理判断. 6.（2026·山东德州·三模）对于正整数 ，函数 对于实数 ，使得方程 有四个不同实数解的所有正整数 的和为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意，要使方程有四个不同的实数解，即直线与函数的图象有四个不同的交点。 先分析时，。 当时，，； 当时，，。 令，得。 若要在区间内产生2个交点，折点必须在轴左侧，即满足，解得。 此时，在上单调递减，在上单调递增。 要使与该部分图象有2个交点，需满足。 再分析时，。 当时，。 令，得。 若要在区间内产生2个交点，折点必须在轴右侧，即满足，解得。 由于为正整数，故。 此时，在上单调递减，在上单调递增。 要使与该部分图象有2个交点，需满足。 综上所述，要使方程有四个不同实数解，必须在和两段各产生2个交点， 即存在实数同时满足和。 这要求两个区间的右端点均严格大于0，即： ，解得。 当时，且，两个以0为左端点的区间交集必然非空，即一定存在满足条件的。 因此，所有满足条件的正整数的取值为2，3，4，5，6，7。 其和为。对应选项B。 【点拨】本题考查分段函数与方程根的个数问题。解题的关键是分别画出两段含有绝对值的函数的大致图象，找出每段产生两个交点时参数的取值范围，再根据交集非空转化为端点值的不等式求解。 7.已知函数 ，设关于 的方程 有 个不同的实数解，则 的所有可能的值为 A. B. 或 C. 或 D. 或 或 【答案】A 【解析】，∴ 在 和 上单增， 上单减，又当 时，， 时，，故 的图象大致为先从 增至 ，再减至 ，最后增至 . 令 ，则方程 必有两个根， 且 ，不妨设 ， 当 时，恰有 ，此时 有 个根， 有 个根； 当 时必有 ，此时 无根， 有 个根； 当 时必有 ，此时 有 个根， 有 个根. 综上，对任意 ，方程均有 个根. 【点拨】通过换元法将嵌套方程转化为二次方程根的分布问题，再结合原函数的极值与渐近线特征，利用根与系数的关系（特别是两根之积为定值）进行分类讨论，发现不同情况下解的总数保持不变. 8.已知函数 ，若互不相等的实数 ，， 满足 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】画出分段函数 的图象，令互不相等的实数 ，， 满足 ，， 则 ，，， 则 ， ， 所以 . 又 时，， 所以 ， 又 ，所以 ， ∴ . 【点拨】画出分段函数的图象，利用数形结合将函数值相等转化为参数 的方程，分别求出各根关于 的表达式，再求和并利用 的范围求值域. 9.（2025·河北承德·一模）已知函数 的零点个数可以为 A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】函数 的零点个数等价于方程 的解的个数，即函数 与 的图象交点的个数. 因为 和 都是偶函数，图象关于 轴对称. 当 时，方程为 . 这两个函数互为反函数，图象关于 对称. 交点个数取决于 的取值.当 时，没有交点；当 时，有 1 个交点；当 时，有 2 个交点. 因为图象关于 轴对称，所以总交点个数为 时交点个数的 2 倍. 即总交点个数可以为 0，2，4. 【点拨】将零点问题转化为两个偶函数图象的交点问题，再利用反函数性质及底数 对指数、对数函数交点个数的影响进行判断. 10.（2026·沧州八校·二模）已知函数 在区间 上有两个不同的零点，则 A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】当 时，函数 在区间 上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. 要使 在 上有两个不同的零点，需满足： （A正确）； （C正确）； ，选项B错误； 由 . 由 . ∵ ，且 ，. ∴ . ∴ （D正确）. 【点拨】利用导数分析对勾函数的单调性与极值，结合零点存在性定理列出端点与极值点的不等式组，进而推导各选项的不等关系. 11.（2026·江苏南京·二模）已知函数 则 A. B. C. 在 上单调递减 D. 有且仅有 个零点 【答案】BCD 【解析】对于A，，A错误. 对于B，，所以 的周期为 2，B正确. 对于C，当 时，，∵ 周期为 2，，∴ 在 上单调递减，C正确. 对于D，当 时，，零点为 ；当 时， 是周期函数，在 上 ，无零点（ 不在区间内），在 上 ，无零点.所以 有且仅有 1 个零点 ，D正确. 【点拨】根据递推关系推导出函数的周期性，结合分段函数的解析式在各个周期内进行分析，是解决此类问题的关键. 12.已知函数 ，若 在区间 上有零点，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设 ，，则 ，此时 ， 则 ， 当 时，， 记 ，则 ， 所以 在 上递增，在 上递减， 故 ，所以 ， ∴ 的最大值为 . 【点拨】将零点条件转化为参数关系，利用配方法将目标代数式转化为关于零点 的函数，再通过导数求最值. 13.（2026·江西宜春·一模）已知关于 的方程 有两个不相等的实数解，则正实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】方程 可化为 ，两边取对数得 . 令 ，则 ，方程化为 ，即 . 令 ，∵ ，若 显然无两解，故 ，，此时 . 代入得 ，即 . 令 ，则方程化为 . 因为 在 上单调递增，在 上单调递减，要使方程有两个不相等的实数解，需满足 ， 即 ，解得 . 综上，正实数 的取值范围是 . 【点拨】利用换元法和同构思想，将复杂方程转化为 的形式，结合函数 的单调性得出参数需满足的条件. 14.（2026·湖南联盟·3月联考）函数 的所有零点的和为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】令 ，. 则 . 所以 的图象关于直线 对称. 当 时， 在 上单调递增. 当 时，，则 . ∴ 在 上单调递减. 结合 的图象关于直线 对称可得： 在 上单调递增. 又 ， 且当 时，. 所以 有 4 个交点，且关于 对称. 故 有 4 个零点，且关于 对称. 则所有零点的和为 . 【点拨】通过换元或代数变形发现函数的对称性，再利用导数或复合函数单调性确定单调区间，结合极值与端点值判断零点个数，最后利用对称性求和. 15.（13分）（2026·山东九五·一模）已知函数 . （1） 求曲线 在点 处的切线方程； （2） 关于 的方程 有三个实根 ，，，且 ，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 当 时，，， 1 分 ，， 3 分 ∴ 曲线 在 处的切线方程为 . 4 分 （2） 当 时，，在 单调递增，当 时，. 方程 ① 有三个不同的实数解 ，且 . 若 ，则 ，此时方程①任意三个实数解之和必大于 0，不符合题意； 6 分 若 ，当 时，方程①可整理为 ② 至多两个负数解， 当 时，方程①即为 ③ 至多一个非负解. ∴ 方程②有两个不同的实数解 ，且 ， ∵ 方程③有非负解 ，由 ，可知 . 9 分 由 ，得 . 方程②变为 ， 由判别式 ，并结合 ， 可知 . 12 分 经验证，此时 为负数，符合题意. 综上，实数 的取值范围是 . 13 分 【点拨】处理含绝对值的函数时，先去绝对值转化为分段函数.对于方程根的个数与和的问题，转化为分段区间上的二次方程和一次方程，利用根与系数的关系及判别式求解. 16.（15分）（2026·河南新未来·5月测评）已知函数 . （1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 当 时，讨论曲线 与 的交点个数. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1） 由题意得 ，. 2 分 故 ，. 3 分 则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . 4 分 （2） 由题意 等价于 . 5 分 设 . 则 ，记 . 6 分 且 ，则 是偶函数，且 . 7 分 ① 当 时，，. 故 ， 在区间 上单调递增，. 9 分 ② 当 时，. 10 分 则当 时，. 又∵ 是偶函数，∴ 当 时，.从而 在区间 上单调递增， 11 分 ，， ∴ ， 12 分 若 或 ，即 或 ，则曲线 与 无交点， 14 分 若 ，则曲线 与 有一个交点. 15 分 【点拨】将交点问题转化为构造函数 的零点问题，通过两次求导并结合偶函数性质确定 的单调性，最后利用端点值判断零点个数. 17.（15分）已知函数 ，若函数 在 上恰有三个不同的零点，求 的取值范围. 【答案】 【解析】当 时，， ∵ 恰有三个不同的零点， 函数 在 上恰有三个不同的零点，即 有三个解， 而 无解，故 . 3 分 当 时，函数 在 上恰有三个不同的零点， 即 ，即 与 的图象有三个交点， 当 时， 与 有交点， ∴ ，即 在 上有根. 6 分 令 ， 若 ，，抛物线开口向下，在 上无根或有一根（不可能有两根）. 实际上，当 时，.若 即 ，两根之和为 ，两根之积为 ，∴ 有两个正根！ 此时 有两个交点. 而当 时， 与 的交点： . ∵ ，令 . （因为 ）. ∴ 在 上有且仅有一个根（因为两根之积 ，一正一负）. ∴ 当 时， 有 2 个交点， 有 1 个交点，共 3 个交点.符合题意！ 10 分 若 ，，开口向上，两根之积为 ，∴ 必有一正一负根. 因此 时，必有且仅有 1 个交点. 要使总共有 3 个交点，则 时， 必须有两个非正根. ∴ 需满足： 解得 . 14 分 综上所述， 的取值范围是 . 15 分 【点拨】将零点问题转化为分段函数图象与直线 的交点问题，分 和 两段转化为二次方程根的分布，利用判别式、对称轴和端点值列不等式组求解. 18.（17分）（2026·浙江强基·5月检测）（改）设关于 的方程 为自然对数底数 有 个不相等的实数解 ，求 的值. 【答案】 【解析】由 ，∵ 不是方程的解，两边同除以 ，得 . 4 分 令 ，则 ，即 . 7 分 解得 ，. 10 分 结合 的图象，可得方程 有 个不相等的实数解，不妨设 ， 则有 ，. 13 分 进而有 . 两边取自然对数，得 . ∴ . 17 分 【点拨】观察方程结构特征，将其看作关于 和 的齐次式，通过同除以 并换元转化为一元二次方程，再利用对数运算性质求和. 19.（17分）（改）设 ，对任意实数 ，记 . 若 有三个零点，求实数 的取值范围. 【答案】 【解析】令 ，， ∵ 函数 有一个零点，函数 至多有两个零点， 又 有三个零点， ∴ 必须有两个零点，且其零点与函数 的零点不相等， 且函数 与函数 的零点均为函数 的零点. 4 分 由 可得，，∴ ， ∴ 为函数 的零点， 即 ， ∴ . 8 分 令 ，可得 ， 由已知 有两个根， 设 ，则 有两个正根， ∴ ，，， ∴ ，故 . 12 分 当 时， 有两个正根， 设其根为 ，，则 ， 设 ，则 ，， ∴ . 15 分 令 ，，则 ，， 则 ，， 且 ，， ∴ 当 时，， ∴ 当 时， 为函数 的零点，又 也为函数 的零点， 且 与 互不相等， ∴ 当 时，函数 有三个零点. 故实数 的取值范围为 . 17 分 【点拨】将新定义函数 的零点转化为两个基本函数 和 的零点，利用换元法将指数方程转化为一元二次方程，结合根的分布与判别式求解. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $