精品解析：山东省德州市宁津县苗场中学2025-2026学年八年级下学期阶段测试数学试题

2025-2026学年第二学期第二次月考检测试题 八年级数学科目 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. y=（m﹣1）x|m|+3m表示一次函数，则m等于（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0或﹣1 D. 1或﹣1 3. 有①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 一条对角线平分一组对角 5. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知三角形顶点坐标分别是，，，将三角形平移后顶点A的对应点的坐标是，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的图象过点，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　） A. （，-1） B. （2，﹣1） C. （1，-） D. （﹣1，） 10. 如图，菱形的边长为4，，，点P是对角线上一动点，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本题5个小题，每小题4分，共20分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 如图，在中，，若，则正方形和的面积的和为________. 13. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则______ 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 15. 如图，若菱形ABCD的周长为20，对角线为BC边上的中点，则AE的长为______． 三、解答题：（本大题8小题，共90分，解答题写出必要的证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） 17. 在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． 18. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 19. 如图，直线l的解析式为，点，点B在y轴的正半轴上，直线与直线l交于点C，直线l与x轴交于点D，． （1）求点D的坐标； （2）求直线的解析式； （3）求的面积． 20. 如图，在中，，是的角平分线，点O为的中点，过点A作直线交并延长到点E，使，连接． （1）求证：． （2）求证：四边形是矩形； （3）当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由． 21. 如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． （1）求台风中心从点移到点的距离的长？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 22. 阅读下列简化过程： ； ；…… 解答下列问题： （1）化简的值为：______； （2）计算； （3）设，，，比较，，的大小关系． 23. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. (1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 . (2)【性质探究】如图2，试探索垂美四边形ABCD的两组对边AB,CD与BC ，AD之间的数量关系，写出证明过程． (3)【问题解决】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE,BG,GE, 已知AC=,BC=1 求GE的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第二次月考检测试题 八年级数学科目 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可． 【详解】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意； C、被开方数含分母，故C不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. y=（m﹣1）x|m|+3m表示一次函数，则m等于（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0或﹣1 D. 1或﹣1 【答案】B 【解析】 【详解】由一次函数的定义知，|m|=1且m-1≠0，所以m=-1，故选B. 3. 有①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，，各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】若三角形三边中两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，结合三角形三边关系定理逐一验证各组数即可统计得到结果． 【详解】①，，, ， 能组成直角三角形； ②，，， ， 能组成直角三角形； ③，，， ， 能组成直角三角形； ④，，， ，，， 不能组成直角三角形； ⑤，，， ，不满足三角形三边关系定理， 不能构成三角形，故不能组成直角三角形； 综上，能组成直角三角形的个数为，故选C． 4. 下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 一条对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，根据正方形和菱形的性质解题即可． 【详解】解：A、菱形和正方形的对角线都互相平分，不符合题意； B、正方形的对角线都相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意； C、正方形与菱形的对角线都互相垂直，不符合题意； D、菱形和正方形的一条对角线都平分一组对角，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8， ∴BC=8， ∵△AEF是△AEB翻折而成， ∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形， ∴CE=8﹣3=5， 在Rt△CEF中，CF==4， 设AB=x， 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2， 即（x+4）2=x2+82， 解得x=6， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解． 6. 已知三角形顶点坐标分别是，，，将三角形平移后顶点A的对应点的坐标是，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A和平移后对应点的坐标找出三角形的平移规律，再据此计算点B的对应点的坐标即可. 【详解】解：∵点平移后的对应点为， 计算得横坐标平移量：，纵坐标平移量：， ∴向右平移了个单位长度，向上平移了个单位长度， ∵点B的坐标为， ∴点B的对应点的坐标为，即. 7. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； C．，此选项计算正确； D．2与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念． 8. 一次函数的图象过点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可． 【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y随x增减而减小． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系． 9. 如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　） A. （，-1） B. （2，﹣1） C. （1，-） D. （﹣1，） 【答案】A 【解析】 【分析】作AD⊥y轴于D，作CE⊥y轴于E，则∠ADO=∠OEC=90°，得出∠1+∠2=90°，由正方形的性质得出OC=AO，∠1+∠3=90°，证出∠3=∠2，由AAS证明△OCE≌△AOD，得到OE=AD=1，CE=OD=，即可得出结果． 【详解】解：作AD⊥y轴于D，作CE⊥y轴于E，如图所示： 则∠ADO=∠OEC=90°，∴∠1+∠2=90°． ∵AO=2，AD=1，∴OD=，∴点A的坐标为（1，），∴AD=1，OD=． ∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC=90°，OC=AO，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2． 在△OCE和△AOD中，∵，∴△OCE≌△AOD（AAS），∴OE=AD=1，CE=OD=，∴点C的坐标为（，﹣1）． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键． 10. 如图，菱形的边长为4，，，点P是对角线上一动点，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，点B与点D关于对称，，则．过点D作于点N，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，，从而在中求出，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵菱形的边长为4， ∴，点B与点D关于对称，， ∴，，， ∴， 过点D作于点N，则， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴， 即的最小值是． 二、填空题（本题5个小题，每小题4分，共20分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于零，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为： 12. 如图，在中，，若，则正方形和的面积的和为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，小正方形的面积为，大正方形的面积为．两正方形面积的和为，对于，由勾股定理得．长度已知，故可以求出两正方形面积的和． 【详解】解：正方形的面积为：， 正方形的面积为：， 在中，，， 则， 故答案为：289． 13. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则______ 【答案】##32度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判断与性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 首先证明四边形是菱形，利用菱形的对角线平分一组对角即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象交点和一元一次不等式的问题的应用，数形结合思想是关键．结合图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可得：两直线的交点横坐标为， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 15. 如图，若菱形ABCD的周长为20，对角线为BC边上的中点，则AE的长为______． 【答案】 【解析】 【详解】∵菱形ABCD的周长为20， ∴AB=BC=5， ∵AC=5， ∴△ABC为等边三角形， 又∵E为BC边上的中点， ∴AE⊥BC，BE=BC=， ∴AE=. 故答案为. 三、解答题：（本大题8小题，共90分，解答题写出必要的证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 17. 在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝CB， 在△DAE和△BCF中 ∴△DAE≌△BCF（SAS）， ∴DE＝BF， ∵AB＝CD，AE＝CF， ∴AB-AE＝CD-CF， 即DF＝BE， ∵DE＝BF，BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）4 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵AB∥CD， ∴∠DFA＝∠BAF， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴AD＝DF， ∵四边形DEBF是平行四边形， ∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4， ∴AD＝5， ∵AE＝3，DE＝4， ∴AE2+DE2＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∵DE∥BF， ∴∠ABF＝∠AED＝90°， ∴AF＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理及逆定理，能综合运用知识点进行推理是解题的关键． 18. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 19. 如图，直线l的解析式为，点，点B在y轴的正半轴上，直线与直线l交于点C，直线l与x轴交于点D，． （1）求点D的坐标； （2）求直线的解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）点D的坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了两直线相交的问题，待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，仔细观察图形，数学结合是解题的关键． （1）利用直线l：与x轴交于点D，令即可得到点D坐标． （2）直线经过，，利用待定系数法即可得到直线的函数解析式． （3）作轴，垂足为点M，则点M坐标为，求得点C的坐标，即可得到的面积． 【小问1详解】 当时，， 解得． ∴点D的坐标为． 【小问2详解】 在中，由勾股定理得． ∴点B的坐标为． 设直线的解析式为，把点A，B的坐标分别代入， 得，解得 ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 如图，过点C作轴，垂足为点M． 由，得 ∴点C的坐标为． ∴点M的坐标为． ． ∵，， ． ． 20. 如图，在中，，是的角平分线，点O为的中点，过点A作直线交并延长到点E，使，连接． （1）求证：． （2）求证：四边形是矩形； （3）当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】（1）证明：， ， ∵， ， ． （2）证明：∵点O为AB的中点 ， 在和中， ， ， ，即． ∴四边形是平行四边形； ∵，是的角平分线， ， ∴， ∴是矩形． （3）当满足时，四边形是正方形． 理由如下： ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据“等边对等角”得到，即可推出，根据平行线的判定即可证明； （2）先证明得到，结合得到，再根据“三线合一”得到，即可证明是矩形； （3）当时，，得到，即可得到四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． （1）求台风中心从点移到点的距离的长？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】（1）的长为 （2）市受到台风影响的时间持续小时 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意并正确计算是关键． （1）使用勾股定理直接计算即可； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点、，使用勾股定理求出，再除以台风的速度求出持续时间． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 在直角中，． 答：的长为． 【小问2详解】 解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点、， 由题意可知，台风在段时，对市有影响． 在直角中，， 同理，， ∴， ∴影响持续的时间为． 答：市受到台风影响的时间持续小时． 22. 阅读下列简化过程： ； ；…… 解答下列问题： （1）化简的值为：______； （2）计算； （3）设，，，比较，，的大小关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查代数式计算规律探究，分母有理化计算，根据例题掌握计算的规律并解决问题是解题的关键． （1）根据已知可得：两个连续正整数算术平方根的和的倒数，等于分子分母都乘以这两个连续正整数算术平方根的差，化简得这两个连续正整数算术平方根的差； （2）利用分母有理化分别化简，再合并同类二次根式得解； （3）将a、b、c分别化简，比较结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ∴； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：，，， ， ， 又， ， ． 23. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. (1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 . (2)【性质探究】如图2，试探索垂美四边形ABCD的两组对边AB,CD与BC ，AD之间的数量关系，写出证明过程． (3)【问题解决】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE,BG,GE, 已知AC=,BC=1 求GE的长. 【答案】菱形、正方形 【解析】 【详解】【分析】（1）根据垂美四边形的定义进行判断即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【详解】（1）菱形的对角线互相垂直，符合垂美四边形的定义， 正方形的对角线互相垂直，符合垂美四边形的定义， 而平行四边形、矩形的对角线不一定垂直，不符合垂美四边形的定义， 故答案为菱形、正方形； （2）猜想结论：AD2+BC2=AB2+CD2，证明如下： 如图2，连接AC、BD，交点为E，则有AC⊥BD， ∵AC⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2； （3）连接CG、BE，设AB与CE的交点为M ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 又∵AG=AC,AB=AE， ∴△GAB≌△CAE(SAS)， ∴∠ABG=∠AEC， 又∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMC， ∴∠ABG+∠BMC=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2， ∵AC=,BC=1 ∴AB=2, ∴ , ∴ , ∴ , GE的长是. 【点睛】本题考查了四边形综合题，涉及到正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $