精品解析：山东省聊城市茌平区振兴街道中学2025-2026学年第二学期第二次学情调研 八年级数学试题

2025-2026学年第二学期第二次学情调研 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共10个小题、共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算各选项，即可判断正确结果． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意． 3. 如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．先证明四边形是平行四边形，结合平分，可得，可得，从而可得结论. 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当平分时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故D符合题意； 而或或都不能得到四边形是菱形， 故选：D． 4. 若二次根式与能够合并，则m的值可能为（ ） A. 9 B. 16 C. 46 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】先化简得到其最简被开方数，再根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化简后被开方数相同的二次根式，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵能够合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化简后被开方数相同， 又∵， ∴化简后被开方数为3，因此化简后被开方数也应为3． A 、当时，，被开方数为，不符合题意； B、 当时，，被开方数为，不符合题意； C、 当时，，被开方数为，符合题意； D 、当时，，被开方数为，不符合题意． 5. 如图，函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象，解题的关键是用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数与一次函数的自变量系数分别是k和，则两直线相交．故B、C不符合题意； A、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 已知，化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选D． 7. 某中学体育老师给该校九年级学生上了一节篮球课，教同学们定点投篮．为了了解同学们的学习情况．随机抽取了20名学生，对他们的定点投篮命中数量进行统计，统计结果如表： 投篮命中数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 5 6 4 2 根据如表，下列说法正确的是（　　） A. 投篮命中数量的平均数是4.8 B. 样本为20名学生 C. 投篮命中数量的中位数是3 D. 投篮命中数量的众数是4 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本的概念、众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可． 【详解】解：A．投篮命中数量的平均数是，选项说法错误，不符合题意； B．样本为20名学生的定点投篮命中数量，选项说法错误，不符合题意； C．共20个数据，中位数为4，选项说法错误，不符合题意； D．投篮命中数量的众数是4，选项说法正确，符合题意． 8. 如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角为（ ）度． A. 34 B. 36 C. 44 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质求出，然后由旋转的性质得到，，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴旋转角为36度． 9. 随着科技发展，无人配送车逐渐普及．某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站出发，给距离配送站的居民送包裹．小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为，若小橙、小绿行驶的路程（单位：）与小橙行驶的时间为（单位：）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 小橙的行驶时间为 B. 小橙的速度为 C. 小橙比小绿先出发 D. 小橙比小绿晚到达居民位置 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象，正确地从图象上获取信息是关键． 根据一次函数的性质，结合函数图象对选项依次进行判断即可． 【详解】解：从图象上可知，小橙比小绿先出发，故C正确； 总路程为，小绿的行驶速度为， ∴小绿的行驶时间为， ∴， 由图象可知，当时，， ∴小橙的行驶速度为，故B错误； 小橙行驶时间为，故A错误； 小橙比小绿晚到达，故D错误． 故选：C． 10. 如图，在正方形中，，F是对角线，的交点，G，E分别是，上的动点，且保持，连接，，．在此运动变化的过程中，有下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形可能为正方形；③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变．其中正确的是（ ） A. 仅①②③ B. 仅①②④ C. 仅②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】先证可得，然后说明可判断①；当G，E为中点时，四边形为正方形，可判断②；先说明当最小时，最小，时，最小为4，然后运用勾股定理求得的最小值；根据全等三角形的性质可得，即，据此即可判定④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴为等腰直角三角形， 又∵F为斜边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形．故①正确， 当G，E为中点时，四边形为正方形，故②正确； ∵为等腰直角三角形， ∴当最小时，最小， 当时，最小为， ∴最小值为，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积保持不变， 故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形及正方形的性质是解题关键． 二、填空题（本题共5个小题，共15分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分） 11. 若，则x的取值范围为____． 【答案】﹣≤x＜1 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 解得：﹣≤x＜1， 故答案为﹣≤x＜1． 12. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】． 【详解】由数轴知，， ， ， ． 13. 如图，矩形菜园的一边是足够长的墙，另外三边用篱笆围成，篱笆总长度恰好为28米．设长为x米，长为y米，则y关于x的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】注意到边不需要篱笆来围即可根据已知条件列等式． 【详解】由矩形的性质和题意得，故． 14. 如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】证明，得到，，证明四边形是菱形，结合勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴． 15. 已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则，其中正确的是______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【详解】解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． ∴． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， ∴． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④、是直线上不重合的两点， 由的图象可知， 当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 三、解答题（共8小题，共75分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式； （）先分别计算二次根式的乘法、括号内的减法，再计算除法，最后相加． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）若点是的边上的一点，将先向右平移2格，再向下平移4格，则平移后点M的对应点的坐标为______； （2）将绕点C顺时针旋转后得到，请在图中画出，其中，点的坐标为______； （3）在y轴上找一点P，使最小．请在图中画出点P的位置，并求这个最小值． 【答案】（1） （2）如图所示， （3）点P的位置如图所示，这个最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质求解即可； （2）根据旋转的性质画出图形，利用图形直接写出点的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，利用勾股定理即可求得这个最小值即的长． 【小问1详解】 解：则平移后点的对应点的坐标为即； 【小问2详解】 解：图略， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：图略， 这个最小值为． 18. 如图，在四边形中，对角线、交于点O，，，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定定理以及菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，熟练掌握菱形的判定定理和性质是解题的关键． （1）根据平分得到，证明，得到，证明四边形是平行四边形，再根据即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，根据勾股定理，在中，求得，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， 在中，是的中点， ， ， ， 在中，， ， ． 19. 某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中学生人数为___________，图①中的值为___________，这组每天在校体育活动时间数据的众数是___________和中位数是___________； （2）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数． （3）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有2700名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数． 【答案】（1）40，，， （2） （3）该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为人 【解析】 【分析】本题主要考查数据的分析： （1）本次接受调查的初中学生人数为人；根据题意得；这组数据中出现次数最多的数据为；这组数据共个，按大小顺序排列后，第个和第个数分别为和； （2）这组每天在校体育活动时间数据的平均数； （3）该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为人． 【小问1详解】 本次接受调查的初中学生人数（人）． 根据题意，得 解得 这组数据中出现次数最多的数据为，所以众数为． 这组数据共个，按大小顺序排列后，第个和第个数分别为和，所以这组数据的中位数为． 故答案为：，，， 【小问2详解】 【小问3详解】 （人） 所以该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数为人． 20. 综合与实践 2026年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元；5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次；每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决： （1）求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ （2）采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】（1）每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元 （2）采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次 【解析】 【分析】（1）先设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，，再根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （2）先设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，再根据题意列出不等式，进而得出，再设每日总服务人次为，得出，然后通过一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元， 根据题意得，， 解得，． 答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元． 【小问2详解】 解：设采购四足机器人台，（且为整数），则采购人形机器人台， 根据题意得，， 解得，． 设每日总服务人次为， ． ， 随的增大而减小， 当取最小值时，有最大值， ， 此时，， 故采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次． 21. 如图所示，在中，，，，点D从点C出发沿方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． （1）用t的代数式表示：______，______； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2）能， 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质和平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先由题意得到，，根据，即可求出； （2）先证明为平行四边形，当，平行四边形为菱形，由此建立方程求出的值即可得到结论． 【小问1详解】 由题意得：，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 故答案为：，; 【小问2详解】 四边形能够成为菱形，理由是： 由（1）得：， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，四边形能够成为菱形． 22. 如图，已知直线经过点，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图像，直接写出当时，x的取值范围是______． （2）求a和b的值； （3）若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据图像可知：当时，在的下方，据此写出不等式的解集即可； （2）将点代入可求得a的值，将代入可求得点M的纵坐标，即点M的坐标；再将点M的坐标代入即可求的b的值； （3）设，先求得点D坐标，进而求得进而得出，根据题意得出 并求解即可． 【小问1详解】 解：由图像可知，当时，在的下方， ∴当时，x的取值范围是． 【小问2详解】 解：将点代入可得：，解得：， ∴， ∵点M的横坐标为， ∴点M的纵坐标为，即， 将点的坐标代入得 ，解得：． 【小问3详解】 解：设， 由（2）可得 把代入得，， ∴， ∴， ∴ ，解得或． ∴或． 23. 已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点M，N，当绕点A旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？写出猜想并加以证明． （3）图3中，若，求的面积为 ． 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3）7.5 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）根据全等三角形的性质得出，由题意求出的面积即可得出答案． 【小问1详解】 解：猜想：， 证明如下：如图2，在的延长线上，截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：， 证明如下：如图3，在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴的面积为：， 则的面积为7.5， 故答案为：7.5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第二次学情调研 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共10个小题、共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 平分 4. 若二次根式与能够合并，则m的值可能为（ ） A. 9 B. 16 C. 46 D. 52 5. 如图，函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 7. 某中学体育老师给该校九年级学生上了一节篮球课，教同学们定点投篮．为了了解同学们的学习情况．随机抽取了20名学生，对他们的定点投篮命中数量进行统计，统计结果如表： 投篮命中数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 5 6 4 2 根据如表，下列说法正确的是（　　） A. 投篮命中数量的平均数是4.8 B. 样本为20名学生 C. 投篮命中数量的中位数是3 D. 投篮命中数量的众数是4 8. 如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角为（ ）度． A. 34 B. 36 C. 44 D. 46 9. 随着科技发展，无人配送车逐渐普及．某小区的配送车“小橙”和“小绿”从配送站出发，给距离配送站的居民送包裹．小橙比小绿先出发，小绿的行驶速度为，若小橙、小绿行驶的路程（单位：）与小橙行驶的时间为（单位：）之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 小橙的行驶时间为 B. 小橙的速度为 C. 小橙比小绿先出发 D. 小橙比小绿晚到达居民位置 10. 如图，在正方形中，，F是对角线，的交点，G，E分别是，上的动点，且保持，连接，，．在此运动变化的过程中，有下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形可能为正方形；③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变．其中正确的是（ ） A. 仅①②③ B. 仅①②④ C. 仅②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共5个小题，共15分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分） 11. 若，则x的取值范围为____． 12. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______． 13. 如图，矩形菜园的一边是足够长的墙，另外三边用篱笆围成，篱笆总长度恰好为28米．设长为x米，长为y米，则y关于x的函数关系式为______． 14. 如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为______． 15. 已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则，其中正确的是______． 三、解答题（共8小题，共75分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）若点是的边上的一点，将先向右平移2格，再向下平移4格，则平移后点M的对应点的坐标为______； （2）将绕点C顺时针旋转后得到，请在图中画出，其中，点的坐标为______； （3）在y轴上找一点P，使最小．请在图中画出点P的位置，并求这个最小值． 18. 如图，在四边形中，对角线、交于点O，，，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19. 某校为了解初中学生每天在校体育活动时间（单位：），随机调查了该校的部分初中学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中学生人数为___________，图①中的值为___________，这组每天在校体育活动时间数据的众数是___________和中位数是___________； （2）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数． （3）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有2700名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数． 20. 综合与实践 2026年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元；5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次；每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决： （1）求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ （2）采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 21. 如图所示，在中，，，，点D从点C出发沿方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． （1）用t的代数式表示：______，______； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 22. 如图，已知直线经过点，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图像，直接写出当时，x的取值范围是______． （2）求a和b的值； （3）若点P在直线上，且，求点P的坐标． 23. 已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点M，N，当绕点A旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？写出猜想并加以证明． （3）图3中，若，求的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $