云南保山智源天成高级中学2026届高三上学期第17周数学作业考试化试题

**基本信息** 高三数学周测试卷，聚焦数列与函数核心知识，通过知识梳理（22分）、辨析题（20分）及典型题（58分）梯度设计，融入北京、江西等高考真题，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|1题22分|等差等比数列定义、通项公式、前n项和公式|表格对比强化概念辨析，夯实基础| |辨析题|10题20分|复数集关系、函数奇偶性、向量共线条件|正误判断考查逻辑推理，提升思维严谨性| |典型题|7题58分|数列通项求和、函数极值点、等差数列前n项和最值|结合高考真题设计综合题，注重知识应用与问题解决|

高三年级秋季学期第17周 数学学科作业考试化 总分： 考试时间：50分钟 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、知识梳理(每空1分，共22分) 1、等差、等比数列的概念 等差数列 等比数列 定义 通项公式 前n项和公式 = = （q不等于1） （q等于1） 等差（比）中项 若m+n=p+q=2k 2．（1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的 ，进一步求出数列的最值． ②利用 求数列中的最大项；利用 求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定． （2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列递增 恒成立；数列递减 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 【答案】 单调性 3．等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列中，当时，有 值，使取得最值的n可由不等式组确定；当时，有 值，使取到最值的n可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有 值；当时，有 值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 【答案】 最大 最小 最小 最大 二、辨析题(每题得2分，共20分) 4．虚数集与实数集的并集为复数集.( ) 【答案】正确 【详解】设复数， 当时，复数表示实数；当时，复数表示虚数； 则虚数集与实数集的并集为复数集， 故答案为：正确. 5、（2026高三·全国·专题练习）是偶函数．( ) 【答案】正确 【详解】的定义域是， . 因为，所以函数是偶函数. 故答案为：正确 6、． ( ) 【答案】错误 【详解】， 故答案为：错误. 7、．( ) 【答案】错误 【详解】当时，． 所以不相等． 故答案为：错误. 8、若均为非零向量，则是与共线的充要条件．( ) 【答案】错误 【详解】因为非零向量与共线，则向量与的夹角或，所以或， 当时，，当时，， 所以非零向量是与共线的充分非必要条件， 故非零向量是与共线的充要条件是错误. 故答案为：错误. 9、在中，设，，则向量与的夹角为．( ) 【答案】错误 【详解】根据向量夹角的概念知：向量与的夹角为的补角． 故答案为：错误 10、数列满足，则数列是等差数列．( ) 【答案】错误 【详解】因为不是常数，结合等差数列的定义，知命题错误． 故答案为：错误． 11、若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na．( ) 【答案】正确 【详解】首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则数列为常数列，所以前n项和等于. 故答案为：正确. 12、数列为等比数列，则，，成等比数列．( ) 【答案】错误 【详解】取，所以， 所以，，不能成等比数列. 故答案为：错误. 13、求之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( ) 【答案】错误 【详解】当时，，可用等差数列求和公式进行求和，不能用错位相减法求和. 故错误. 3、 典型题（总结做题方法）(共50分) 14、（25-26高三上·云南曲靖·月考）函数的部分图象如图，下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．在上为增函数 D．若方程在上有且仅有一个实数根，则 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据图象可确定最小正周期和最值，进而得到，知A错误；由，结合的范围可求得的解析式，利用代入检验法，结合的对称中心和单调性可确定BC正误；利用整体代换法，结合的单调性和最值可求得D错误. 【详解】由图象知：的最小正周期，； ，，； ，，解得：， ，，. 对于A，由题意得， 故A错误； 对于B，当时，，且， 图象关于点对称， 故B正确； 对于C，当时，， 在上单调递增，在上为增函数， 故C正确； 对于D，当时，， 由余弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 若在上有且仅有一个实数根，则，故D错误. 故选：BC. 15、（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知数列的前项和，则（   ） A．为中的最小项 B． C．数列是等差数列 D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据可判断A选项；根据即可求出数列的通项，再根据等差数列的定义和前项和公式即可判断BCD. 【详解】选项A ，已知，这是一个二次函数，开口向上，对称轴为， 由于是正整数，计算前几项： 当时，； 当时，； 当​时，； 当​时，； 可见，当时，取得最小值，即是数列中的最小项，故A正确； 由题意得，当时， ， 当时，， 当时，上式也成立，所以，故B正确； 选项C，由题意得， 因为，所以数列是等差数列，故C正确； 选项D，令，则解得， 所以当时，，当时，， 故，故D错误. 故选：ABC. 16、（25-26高三上·广东·月考）函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是（   ） A．数列为等差数列 B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、求已知函数的极值点 【分析】先对函数求导，结合导数确定极值点，然后结合三角函数的性质分别检验各选项即可判断. 【详解】由，令，得或，， 由正弦函数的图象和性质可得函数的极值点为或，， 又，则，，，，…， 对于A，数列的奇数项成首项为，公差为的等差数列，偶数项成首项为，公差为的等差数列，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ， ，故C正确； 对于D，由，则，故D错误. 故选：BC. 17、（北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 【答案】 1 【难度】0.94 【知识点】辅助角公式、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可. 【详解】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 18、（江西·高考真题）在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】根据题意得到数列是递减数列，由求解. 【详解】因为等差数列中，当且仅当时取得最大值， 所以数列是递减数列， 又，所以 ， 解得， 所以d的取值范围为. 故答案为： 19、（25-26高三上·天津滨海新·期中）已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)记为，设数列的前项和，若，求满足条件的最大整数. (3)设，其中，求数列的前项和 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据题意，结合与的关系式，得到，且，得出是等比数列，进而求得其通项公式； （2）由（1）知，可得，得到，求得数列的前项和为，结合，即可求解； （3）由（1）（2），得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. 【详解】（1）解：由数列的前项和为，且满足， 当时，，解得； 当时，，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式. （2）解：由（1）知，可得，所以， 所以数列的前项和为， 因为，即，所以且， 所以满足条件的的最大值为. （3）解：由，，可得， 则， 则， 两式相减，可得， 所以. 20、（ 2025年八省联考)已知数列中，，. （1） 证明:数列为等比数列; （2） 求的通项公式; （3） 令,证明:. 【答案】 （1） 解：证明：由 得，注解① 则,注解② 又，所以数列 是首项为，公比为 的等比数列. （2） 由（1）得，解得. （3） 证明：. 令,,注解③ 易知 在 上单调递增， 则， 所以数列 为递减数列, 从而数列 为递增数列，且,故得. 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级秋季学期第17周 数学学科作业考试化 总分：100分 考试时间：50分钟 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、知识梳理(每空1分，共22分) 1、等差、等比数列的概念 等差数列 等比数列 定义 通项公式 前n项和公式 = = （q≠1） （q=1） 等差（比）中项 若m+n=p+q=2k 2、（1）利用数列单调性可以求数列中的最大（小）项问题的常见方法： ①构造函数，确定函数的 ，进一步求出数列的最值． ②利用 求数列中的最大项；利用 求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定． （2）利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系： 数列递增 恒成立；数列递减 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决． 3、等差数列前n项和的最值 （1）在等差数列中，当时，有 值，使取得最值的n可由不等式组确定；当时，有 值，使取到最值的n可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有 值；当时，有 值．当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 二、辨析题(每题得2分，共20分) 4、虚数集与实数集的并集为复数集.( ) 5、是偶函数．( ) 6、． ( ) 7、．( ) 8、若均为非零向量，则是与共线的充要条件．( ) 9、在中，设，，则向量与的夹角为．( ) 10、数列满足，则数列是等差数列．( ) 11、若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na．( ) 12、数列为等比数列，则，，成等比数列．( ) 13、求之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( ) 三、典型题（总结做题方法）(共58分) 14、（6分）函数的部分图象如图，下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．在上为增函数 D．若方程在上有且仅有一个实数根，则 15、（6分）已知数列的前项和，则（   ） A．为中的最小项 B． C．数列是等差数列 D． 16、（6分）函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是（   ） A．数列为等差数列 B． C． D． 17、（北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 18、（5分）（江西·高考真题）在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为 . 19、（15分）已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式；（3分） (2)记为，设数列的前项和，若，求满足条件的最大整数.（6分） (3)设，其中，求数列的前项和（6分） 20、（15分）已知数列中，，. （1） 证明：数列 为等比数列;（5分） （2） 求 的通项公式；（5分） （3） 令，证明：.（5分） 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $