湖北省武汉市问津教育联合体2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二10月数学训练卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（ ） A. B. C. D. 2. 事件和事件为独立随机事件，事件表示为事件和至少一个发生，则（ ） A. B. C. D. 3. 甲袋中有1个白球和1个红球，乙袋中也有1个白球和1个红球.先从甲袋中任取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.则从乙袋中取出的是2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 三个元件正常工作的概率分别为，且是相互独立的．如图，将两个元件并联后再与元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，底面为梯形，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面的高度为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 6. 在四面体中，点满足，在上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，若是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），点满足，则直线与平面所成角的正弦值（ ） A. 为定值 B. 存在最大值，且最大值为1 C. 为定值1 D. 存在最小值，且最小值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在以下命题中，不正确的命题是（ ） A. 对于空间向量，，“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件． B. 某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水． C. 连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀； D. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 10. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） （质数，又称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数．） A. B. 事件A与C相互独立 C. D. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，为底面内（不包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为 D. 若点是的中点，点是的中点，过作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若，则 ______. 13. 已知集合，在M中可重复地依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是________． 14. 已知空间中有三点满足，再取两个点，使得这两点与点可以组成正四棱锥，则不同的取法有________种． 三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，，，设，． （1）若，且，求向量； （2）若点在平面上，求m的值． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． （1）求证：平面； （2）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 17. 某校园文创社团对高一进行文创手作体验的学生进行时长调查（单位：分钟），随机抽取了100名学生并将其时长分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求第一组的频率，并求这100名学生进行文创手作体验时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）从第四、第五两组学生中采用分层随机抽样的方法选出6名学生，再从这6名学生中随机选出2名学生，求这2名学生来自不同组的概率； （3）若第四组的时长的平均数为54，方差为4，第五组的时长的平均数为66，方差为7，求这两组时长的总平均数和总方差． 18. 现有、两个箱子，里面分别装有3个大小、质地完全相同的小球．箱有2个红球，1个白球；箱有1个红球，2个白球．现有甲、乙两人进行摸球游戏，每轮游戏甲从箱取一球，乙从箱取一球，每次取球后放回原来箱子（即每次取球时箱中球的总数和颜色保持不变，各轮取球相互独立）．每轮取球得分规则如下：若两人取出的球颜色相同：各得2分；若一人取红球，一人取白球：取红球者得3分，取白球者得1分 （1）设第一轮游戏甲与乙得分之差为，求的所有可能值及时对应的概率； （2）若规定游戏进行轮结束（），轮游戏结束后若甲累计得分高于乙，则甲获得最终胜利；若乙累计得分不低于甲，则乙获得最终胜利． ①求时乙获得最终胜利的概率； ②求时甲乙分数相同的概率． 19. 在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． （1）若平面平面． （ⅰ）求证：； （ⅱ）设平面，且，若，求点到平面的距离； （2）试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 高二10月数学训练卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】9 三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）或 （2） 【16题答案】 【答案】（1）连接，交于点，连接， 因为，，， 所以，则， 又因为，所以，所以， 又因为平面，而平面，所以平面． （2） 【17题答案】 【答案】（1）第一组频率为0.23，平均数为41.3； （2）； （3）总平均数，总方差． 【18题答案】 【答案】（1）的所有可能取值为，，. （2）① ② 【19题答案】 【答案】（1）（ⅰ）因为，， 在中，由余弦定理，，． 所以，即，所以． 因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面． 因为平面，所以； （ⅱ） （2）存在， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $