2025-2026学年人教版八年级下册期末数学模拟试题卷

**基本信息** 融合数学文化与现实应用，梯度设计覆盖勾股定理、函数、统计等核心知识，通过古算题、动态几何等创新题型考察几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|勾股数、函数定义、二次根式运算|结合《周髀算经》考勾股数，体现文化传承| |填空题|6/18|统计量、三角形中位线、古算题建模|明代《算法统宗》秋千问题，考察方程思想| |解答题|11/84|动态函数、四边形面积、最优解问题|23题正方形动态几何，融合空间观念与创新意识|

2025-2026学年下学期八年级期末数学模拟试题卷（一） 注意事项： 1.考试时间：120分钟 分值：120分 2.请按试题序号在答题卡相应的位置作答，答在试题卷或其它位置无效 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．3，4， D．8，15，17 2．下列曲线中，能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．函数的图象不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如图是小敏同学这个学期的6次数学测验的成绩统计图，则她这6次成绩的中位数是（     ） A．60分 B．70分 C．75分 D．80分 6．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7．若代数式有意义，则的取值范围是______． 8．数据2，3，，4的众数是3，则这组数据的平均数是________． 9．彤彤用刻度尺（单位：）对直角三角形的尺寸进行测量．如图，点，对应的刻度分别为1，5，点，分别为边，的中点，点为的中点，则的长为_____． 10．明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为x尺，则可列方程：________． 11．如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数与的图象，则关于x，y的二元一次方程组的解是________． 12．如图，矩形中，，，点为边的中点，点在边上运动，为的中点，当为等腰三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分） 13．计算： (1)； (2)． 14．在长方形ABCD中，，，动点P从点A开始按的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，的面积为y．（当点P与点A或D重合时，） (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)直接写出的面积的最大值． 15．图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、点B、点P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作矩形，使点P在边上； (2)在图②中，作使点P为对称中心． 16．禁渔期的规定对渔业资源的保护起了良好作用．如图，在一次禁渔期间，渔政部门发现一艘渔船正在违规捕鱼，于是派出甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的、两地前去劝阻，后同时到达处．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西． (1)求甲巡逻艇的航行方向； (2)成功劝阻后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？ 17．已知一次函数的图象经过和． (1)求关于的函数解析式； (2)在图中画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 四、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18．为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 19．如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：． 20．某学校开展了阳光体育活动，倡导同学们课余练习足球、篮球、排球及乒乓球等项目，一段时间后，随机调查了一部分学生参与锻炼的体育项目个数，并进行了统计，绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生人数为_____，图①中的值为_____，这组数据的众数为_____，中位数为_____； (2)求本次抽测的这组数据的平均数； (3)若该校有名学生，试估计该校学生参与锻炼的体育项目个数为的人数约为多少？ 五.解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21．问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． (1)例：已知，求的值． 解：由得，_____，_____，_____； (2)尝试应用 若为实数，且，化简： (3)拓展创新 ①已知，求的值． ②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 22．随着“健康生活年”三年行动的实施，全民健康意识逐步提升．某健身房要采购A、B两种型号的健身器材以满足会员的健身需求．据了解，A型健身器材的单价比B型健身器材的单价低元，用元购买A型健身器材的数量和用元购买B型健身器材的数量相同． (1)求A、B两种型号健身器材的单价各是多少元； (2)该健身房计划购买A、B两种型号的健身器材共台，且A型健身器材的购买数量不超过B型健身器材购买数量的倍，购买A型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 六.解答题（本大题共12分） 23．已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年下学期八年级期末数学模拟试题卷（一） （参考答案及解析） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 1．D 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：根据勾股数定义，逐项判断： A选项：∵ ，，，∴1，1，2不是勾股数，不符合题意； B选项：∵ 1.5和2.5不是正整数，不满足勾股数定义要求，∴1.5，2，2.5不是勾股数，不符合题意； C选项：∵ 不是正整数，不满足勾股数定义要求，∴3，4，不是勾股数，不符合题意； D选项：∵ ，，即，且三个数均为正整数，∴8，15，17 是勾股数，符合题意． 2．A 【分析】根据函数的定义：对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，再逐一分析即可． 【详解】解：A．图象中给定一个x，只有1个y值与它对应，能表示是的函数，符合题意， B．图象中出现给定一个x，存在两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； C．图象中出现给定一个x，存在两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； D．图象中出现给定一个x，存在三个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意． 3．C 【分析】根据二次根式的运算法则，逐个计算选项即可判断正误. 【详解】选项A：∵，∴，A错误； 选项B：∵和不是同类二次根式，不能直接合并，∴，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误. 4．A 【分析】根据一次函数中和的符号即可判断函数图象经过的象限，从而得到答案． 【详解】解：∵对于一次函数，，， 函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 5．C 【详解】解：该同学次成绩按从小到大的顺序排列，，，，，，中间的数是和， 中位数是． 6．A 【详解】解：∵矩形的对角线性质为互相平分且相等，菱形的对角线性质为互相垂直平分，且平分一组对角， ∴对比可得，矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等． 7．/ 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 移项得：， 解得：.． 8．3 【分析】先根据众数的定义确定的值，再根据算术平均数的定义计算这组数据的平均数即可． 【详解】解：∵一组数据中出现次数最多的数叫做众数，这组数据2，3，，4的众数是3， ∴， 则这组数据的平均数为． 9．1 【分析】根据题意得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长为． 【详解】解：∵点，对应的刻度分别为1，5， ． ∵点，分别为边，的中点， ∴． ∵，点为的中点， ． 10． 【分析】设尺，则有尺，然后对运用勾股定理建立方程． 【详解】解：设尺， 由题意可知：尺，尺，尺， 尺， 尺， 在中，， ． 11． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题即可. 【详解】解：∵二元一次方程组 的解就是一次函数与图象交点的坐标， 由图象可知，两条直线的交点坐标为， ∴方程组的解为. 12．或或 【分析】本题考查矩形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由点为的中点，点为的中点，得，且，由矩形的性质得，，，则，再分三种情况讨论，，则，求得，则；是，连接，可证明，则，所以，则四边形是矩形，所以；是，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 点为的中点，点为的中点， ，且， 四边形是矩形，，， ，，，， 如图1，为等腰三角形，且， ， ， ； 如图2，为等腰三角形，且，连接， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ； 如图3，为等腰三角形，且， ，，且， ， ， ， 综上所述，的长为或4或， 故答案为：或4或． 13．(1) (2) 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用完全平方公式和二次根式的除法法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 14．(1) (2)6 【分析】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法． （1）分三种情况：点P在AB上运动，点P在BC上运动，点P在CD上运动，分别求出y与x之间的函数解析式即可； （2）画出函数图象，观察图象可得答案． 【详解】（1）解：当点P在AB上运动时，即时，； 当点P在BC上运动时，即时，； 当点P在CD上运动时，即时，， 综上所述，； （2）解：根据（1）的结论，得函数图象如下： 由图象可得，y最大为6， ∴的面积的最大值是6． 15．(1)如图，矩形即为所求， (2)如图，即为所求， 【分析】（1）取点P所在的格线上的格点C、D，得格线、且使，再连接、、即可． （2）连接，并延长至格点E，连接，并延长至格点F，再连接、、即可． 【详解】（1）略 （2）略 16．(1)甲巡逻艇的航行方向为北偏东 (2)6.5海里 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形是解题的关键． （1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解； （2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， （海里），（海里）， （海里）， ， 是直角三角形， ， ， 甲的航向为北偏东； （2）解：甲巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 乙巡逻船航行3分钟的路程为：（海里）， 3分钟后，甲乙两巡逻船相距为：（海里）． 17．(1) (2)作图见解析，点不在函数图象上 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式得出二元一次方程组，求出解即可得出答案； （2）根据列表，描点，连线得出函数图象，再将代入关系式验证即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：列表： x 0 1 y 1 4 描点，连线如下图： 当时，， ∴点不在一次函数的图象上． 18．(1)至少需要米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可以为底，为高计算面积，再计算面积，最后把两个面积相加即为总面积． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆； （2）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． 19．证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 【分析】根据正方形的性质得，，结合证明便可得结论． 【详解】略 20．(1)，，， (2)这组数据的平均数为 (3)估计该校学生参与锻炼的体育项目个数为的人数约为 【分析】（1）根据参与个项目的人数及所占百分比求出总人数，再用减去其他项目的百分比求出的值，根据众数和中位数的定义确定众数与中位数． （2）根据加权平均数公式计算这组数据的平均数． （3）用总人数乘以参与个项目的人数所占百分比，估计该校参与个项目的人数． 【详解】（1）解：本次调查的学生人数为（人）， ∵项所占百分比为， ∴． 参与个项目的人数最多，为人，故众数为． 将数据从小到大排列，第、个数据分别为和， ， 故中位数为． （2）解：， 这组数据的平均数为； （3）解：在所抽取的样本中，学生参与锻炼的体育项目个数为的人数占， 根据样本数据，估计该校名学生中，学生参与锻炼的体育项目个数为的人数占，有． 估计该校学生参与锻炼的体育项目个数为的人数约为． 21．(1)2022，2023， (2)1 (3)①；② 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （3）①根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，然后代入即可求解； ②由数轴得，得到，，然后化简求解即可． 【详解】（1）解：由得，， ∴， ∴； （2）解：由，得， ∴， ∴； （3）解：①由，得， ∴， ∴； ②由数轴得， ∴， ∴ ． 22．(1)A型健身器材单价是2000元，B型健身器材单价是2400元； (2)购买A型健身器材20台，52000元． 【分析】（1）设A型健身器材单价为x元，则B型健身器材单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购买A型健身器材m台，则购买B型健身器材台，根据题意，列出不等式得出设采购费用为y元，得出相应得一次函数解析式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型健身器材单价为x元，则B型健身器材单价为元． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解． ∴（元） ∴A型健身器材单价是2000元，B型健身器材单价是2400元； （2）设购买A型健身器材m台，则购买B型健身器材台． 根据题意得： 解得： 设采购费用为y元， 根据题意得：． ∵， ∴y随m的增大而减小． ∴当时，y有最小值， 最小为：（元）． 23．(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质及可证的，进而得到；②连接，作于O交于P，结合①中可证得，进而得到，结合，得到，从而得到，从而可得，于是可得答案； （2）连接，过C作且，连接，可知为平行四边形，根据，转化为求，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ②解：连接，作交DN于点E，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， 则， 在等腰直角中，有， 由（1）可知，则， 故：； （2）如图，连接，过C作，且，连接，，    ∴， 则为平行四边形， ∴， ，， ∵M为中点且， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $