奥数培优——环形跑道行程（讲义）-2025-2026学年人教版六年级下册数学

该小学数学讲义聚焦小升初环形跑道行程专题，针对分班考8-12分高频考点，通过知识梳理（基础公式、同地异地模型对照）、重点突破（异地延后出发等四大拓展模型）、例题讲解与分层巩固练习（基础拔高、中档变式、拔高压轴题），帮助学生掌握路径闭合、周期性运动等核心解题逻辑。 亮点在于摒弃同质化题型，采用分班真题改编题，创新设计标准化四步解题流程（画图标注、分段判定等），如典型例题1通过标注跑道周长与起点偏移，分段计算甲先行路程后求相遇时间，培养学生几何直观与推理能力。教师可依托7大失分陷阱精准诊断，助力学生突破多次相遇落点等拉分题型，提升复习效率与应试能力。

小升初奥数培优专题讲义：环形跑道行程 学习目标 环形跑道是小升初行程压轴第二大考点，占分班考8-12分。市面90%习题均为400米同地同时出发的烂大街题型，本次讲义全部替换为低重复分班真题改编题，避开同质化套路。核心区别于直线行程：路径闭合、运动具有周期性、起点可偏移、运动状态可中途变更，培优核心考查多次相遇落点、异步休息、相遇变速三类拉分题型，不涉及初中超纲方程，全程用算术比例解题。 知识讲解 一、基础核心公式 设环形跑道周长为C，快者速度，慢者速度，速度和，速度差 1.背向（反向）行驶：相遇时间=路程和÷速度和 2.同向行驶：追及时间=路程差÷速度差 二、同地vs异地四类模型对照表（必考易混） 出发类型 行驶方向 第1次相遇/追及路程 第2次及以后每次路程 核心易错点 同地同时 背向 1圈(C) 1圈(C) 周期完全不变 同地同时 同向 1圈(C) 1圈(C) 速度不变，追及间隔固定 异地同时（短弧相距S） 背向 短弧S 1圈(C) 不取长弧路程，默认短弧相遇 异地同时（短弧相距S） 同向 短弧S（快追慢） 1圈(C) 首次追及路程不等于一圈 三、四大培优新颖拓展模型（本次讲义全覆盖） 1.异地延后出发：两人不同时出发，一人先走一段时间，再同时运动，打破同步周期，近两年分班高频 2.相遇双向变速+转身：首次相遇后两人同时改变速度、同时调转运动方向，双重状态变更，压轴必考 3.顶点定点休息：仅到达跑道固定顶点才休息，跑动途中不休息，区别于常规跑一段停一段 4.异步周期休息：两人跑动距离、休息时长完全不同，无法合并周期，不能套用同步休息公式 四、7大高频失分陷阱（学生最易错） 1.异地多次相遇，后续次数依旧用初始偏移距离，忽略第二次起都是合走一圈 2.相遇后变速只改速度，忘记运动方向变更，相对运动关系判断错误 3.环形两点距离答长弧，考试统一要求短弧距离 4.定点休息和跑动间歇休息公式混用，两类休息计算逻辑完全不同 5.多次相遇落点直接用圈数余数，未结合速度比例定位具体位置 6.同向追及默认快者永远领先，忽略变速后快慢身份互换 7.三人环形分别单独计算，错误合并三人相对速度 五、标准化四步解题流程 1.画图标注：标注跑道周长、起点偏移距离、先后出发时间差 2.分段判定：匀速为一段，变速、转身、休息为新段落，分段计算 3.周期核算：同步运动算固定周期，状态变更直接重置周期 4.落点校验：用路程余数判定位置，取短弧作答 例题讲解 【典型例题1】异地延后出发背向相遇 题目：周长630米环形跑道，甲乙从短弧相距210米的A、B两点背向出发，甲每分钟跑70米，乙每分钟跑50米。甲先出发3分钟后乙再出发，求两人第一次相遇总用时。 【跟踪训练1】 题目：周长520米环形跑道，甲乙短弧相距130米同向出发，乙先跑2分钟，甲再出发，甲65m/min，乙45m/min，求甲首次追上乙用时。 【跟踪训练2】 题目：周长720米，甲乙异地相距180米背向，乙晚出发4分钟，甲60m/min，乙30m/min，第一次相遇时甲一共跑多少米？ 【典型例题2】相遇后双向变速+同向转身（分班压轴原题） 题目：周长720米环形跑道，甲乙同地同时背向出发，甲80m/min，乙40m/min。第一次相遇后，甲提速25%，乙减速20%，同时两人全部调转方向变为同向，求第二次相遇间隔时间。 【跟踪训练1】 题目：周长540米同地背向，甲60m/min，乙30m/min，相遇后甲减速20%，乙提速50%，同向转身，二次追及间隔。 【跟踪训练2】 题目：同地同向首次追及后，两人同时反向+单方变速，周长600米，速度90、60，追及后甲降速1/3，求再次相遇时间。 【典型例题3】正方形环形顶点定点休息（新颖跑道模型） 题目：边长120米正方形环形跑道，周长480米，甲乙从同一顶点同时顺时针出发，甲75m/min，乙60m/min。两人每到达顶点休息2分钟，途中不休息，求甲第一次看见乙的时间。 【跟踪训练1】 题目：边长90米正方形环形，甲45m/min，乙30m/min，顶点休息1分钟，同向出发，甲首次追上乙用时。 【跟踪训练2】 题目：正六边形环形跑道，边长80米，顶点休息1.5分钟，两人速度比5:4，判断谁先回到起点。 【典型例题4】异步周期跑动休息（非同步休息，避开同步烂题） 题目：周长600米圆形跑道，甲乙同地顺时针跑步。甲每跑150米休息2分钟，速度10m/s；乙每跑200米休息3分钟，速度8m/s。求甲首次追上乙用时。 【跟踪训练1】 题目：周长450米，甲每跑90米休息1分钟，速度6m/s；乙每跑75米休息0.5分钟，速度5m/s，背向首次相遇用时。 【跟踪训练2】 题目：两人异步休息，快者休息时间更长，是否可能永远追不上？ 【典型例题5】多次相遇折返落点判定（新颖位置提问） 题目：周长900米环形跑道，甲乙同地背向，速度比5:4，两人每次相遇后立刻原路折返。求第三次相遇点距离起点短弧距离。 【跟踪训练1】 题目：周长630米，速度比4:3，背向相遇折返，第二次相遇短弧距起点距离。 【跟踪训练2】 题目：同地同向追及后折返，周长720米，速度比3:2，第二次追及落点。 【典型例题6】三人环形两两相遇时差（最简不超纲三人题） 题目：周长720米环形跑道，甲乙丙同地同时出发，甲乙顺时针70m/min、50m/min，丙逆时针40m/min。甲乙第一次相遇后，再过多久甲丙第一次相遇？ 【跟踪训练1】 题目：周长540米，乙丙逆时针60、30，甲顺时针90，乙丙首次相遇后，甲丙相遇间隔。 【跟踪训练2】 题目：三人同地同向，速度6:5:3，求三人首次同时回到起点时间。 巩固练习 一、基础拔高8题 1. 周长520米，甲乙短弧相距130米背向，甲晚出发2分钟，甲65m/min，乙55m/min，首次相遇用时。 2. 周长600米同地背向，相遇后甲提速20%，乙方向不变，二次相遇间隔。 3. 边长100米正方形环形，顶点休息1分钟，甲乙同向50、40m/min，甲首次看见乙用时。 4. 周长480米，甲每跑120米休息2s，速度8m/s；乙每跑96米休息1.5s，速度6m/s，背向相遇用时。 5. 周长810米，速度比5:4，背向折返第二次相遇落点。 6. 周长660米，两顺一逆三人环形，快慢两人相遇时差。 7. 异地同向相距240米，周长900米，快者晚出发3分钟，首次追及用时。 8. 同地背向第5次相遇，速度7:5，甲距起点短弧距离，周长720。 二、中档变式10题 9. 周长630米，异地相距210米背向，相遇后双向变速转身，二次相遇间隔。 10. 正五边形环形边长70米，顶点休息2分钟，同向跑步，速度比5:3，首次同边看见用时。 11. 甲乙异步同向休息，甲跑180米休3s，乙跑140米休2s，周长720，首次追及用时。 12. 速度比6:5，三次相遇折返，周长990，最终落点距离。 13. 三人一顺两逆，其中一人相遇后变速，相遇时差变化值。 14. 周长540，同地同向，每次追及后双方提速10%，第二次追及总用时。 15. 异地延后出发，相遇后立即折返，两次相遇总用时。 16. 正方形环形，顶点休息，相遇后变速，首次追上用时。 17. 异步休息背向，中途一方速度微调，相遇时间变化。 18. 两人同地同向，甲仅在经过起点休息，途中不休息，首次追及用时。 三、拔高压轴6题 19. 周长900米，异地相距270米，首次相遇双向变速转身，第四次相遇落点短弧距离。 20. 正方形环形，顶点休息+相遇变速，甲首次追上乙且同时到达顶点用时。 21. 两人异步休息，跑动距离随时间递增，存在临界追及节点，求临界路程。 22. 三人两两先后变速，求三人首次同时相遇时间。 23. 同地背向四次相遇后同时折返，四五次相遇最短间距。 24. 延后异地同向，追及后转身变速，二次追及总路程差。 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优专题讲义：环形跑道行程 学习目标 环形跑道是小升初行程压轴第二大考点，占分班考8-12分。市面90%习题均为400米同地同时出发的烂大街题型，本次讲义全部替换为低重复分班真题改编题，避开同质化套路。核心区别于直线行程：路径闭合、运动具有周期性、起点可偏移、运动状态可中途变更，培优核心考查多次相遇落点、异步休息、相遇变速三类拉分题型，不涉及初中超纲方程，全程用算术比例解题。 知识讲解 一、基础核心公式 设环形跑道周长为C，快者速度，慢者速度，速度和，速度差 1.背向（反向）行驶：相遇时间=路程和÷速度和 2.同向行驶：追及时间=路程差÷速度差 二、同地vs异地四类模型对照表（必考易混） 出发类型 行驶方向 第1次相遇/追及路程 第2次及以后每次路程 核心易错点 同地同时 背向 1圈(C) 1圈(C) 周期完全不变 同地同时 同向 1圈(C) 1圈(C) 速度不变，追及间隔固定 异地同时（短弧相距S） 背向 短弧S 1圈(C) 不取长弧路程，默认短弧相遇 异地同时（短弧相距S） 同向 短弧S（快追慢） 1圈(C) 首次追及路程不等于一圈 三、四大培优新颖拓展模型（本次讲义全覆盖） 1.异地延后出发：两人不同时出发，一人先走一段时间，再同时运动，打破同步周期，近两年分班高频 2.相遇双向变速+转身：首次相遇后两人同时改变速度、同时调转运动方向，双重状态变更，压轴必考 3.顶点定点休息：仅到达跑道固定顶点才休息，跑动途中不休息，区别于常规跑一段停一段 4.异步周期休息：两人跑动距离、休息时长完全不同，无法合并周期，不能套用同步休息公式 四、7大高频失分陷阱（学生最易错） 1.异地多次相遇，后续次数依旧用初始偏移距离，忽略第二次起都是合走一圈 2.相遇后变速只改速度，忘记运动方向变更，相对运动关系判断错误 3.环形两点距离答长弧，考试统一要求短弧距离 4.定点休息和跑动间歇休息公式混用，两类休息计算逻辑完全不同 5.多次相遇落点直接用圈数余数，未结合速度比例定位具体位置 6.同向追及默认快者永远领先，忽略变速后快慢身份互换 7.三人环形分别单独计算，错误合并三人相对速度 五、标准化四步解题流程 1.画图标注：标注跑道周长、起点偏移距离、先后出发时间差 2.分段判定：匀速为一段，变速、转身、休息为新段落，分段计算 3.周期核算：同步运动算固定周期，状态变更直接重置周期 4.落点校验：用路程余数判定位置，取短弧作答 例题讲解 【典型例题1】异地延后出发背向相遇 题目：周长630米环形跑道，甲乙从短弧相距210米的A、B两点背向出发，甲每分钟跑70米，乙每分钟跑50米。甲先出发3分钟后乙再出发，求两人第一次相遇总用时。 【分析】规避烂大街同时异地出发，新增延后出发条件。解题突破口：先算甲单独3分钟路程，缩减两人初始偏移距离，再按异地背向相遇计算剩余合走路程，极易忽略甲先行占用偏移距离。 【详解】甲先行路程：70×3=210米；原本短弧相距210米，甲跑完偏移距离，两人等同于同地背向；剩余相遇时间：630÷(70+50)=5.25分钟；甲总用时=3+5.25=8.25分钟 【答案】8.25分钟 【跟踪训练1】 题目：周长520米环形跑道，甲乙短弧相距130米同向出发，乙先跑2分钟，甲再出发，甲65m/min，乙45m/min，求甲首次追上乙用时。 【分析】同源同向延后出发变式，先行路程改变初始路程差 【详解】乙先行90米，初始路程差=130+90=220米；追及时间=220÷(65-45)=11分钟 【答案】11分钟 【跟踪训练2】 题目：周长720米，甲乙异地相距180米背向，乙晚出发4分钟，甲60m/min，乙30m/min，第一次相遇时甲一共跑多少米？ 【分析】逆向提问变式，不求时间求单人总路程 【详解】甲先行240米，剩余合走路程=180+720-240=660米；后续用时660÷90=22/3分钟；甲总路程=240+60×22/3=680米 【答案】680米 【典型例题2】相遇后双向变速+同向转身（分班压轴原题） 题目：周长720米环形跑道，甲乙同地同时背向出发，甲80m/min，乙40m/min。第一次相遇后，甲提速25%，乙减速20%，同时两人全部调转方向变为同向，求第二次相遇间隔时间。 【分析】区别单一变速，同时包含速度变更、方向变更双重条件。易错点：依旧按背向计算速度和，未切换为同向速度差。 【详解】相遇后甲速=80×1.25=100m/min，乙速=40×0.8=32m/min；调转后同向，甲快乙慢；追及间隔=720÷(100-32)=10分钟 【答案】10分钟 【跟踪训练1】 题目：周长540米同地背向，甲60m/min，乙30m/min，相遇后甲减速20%，乙提速50%，同向转身，二次追及间隔。 【分析】速度升降比例互换变式，逻辑完全同源 【详解】新速度48、45，间隔=540÷3=180分钟 【答案】180分钟 【跟踪训练2】 题目：同地同向首次追及后，两人同时反向+单方变速，周长600米，速度90、60，追及后甲降速1/3，求再次相遇时间。 【分析】同向转背向变式，切换相对运动逻辑 【详解】新速度60、60，速度和120，相遇时间=600÷120=5分钟 【答案】5分钟 【典型例题3】正方形环形顶点定点休息（新颖跑道模型） 题目：边长120米正方形环形跑道，周长480米，甲乙从同一顶点同时顺时针出发，甲75m/min，乙60m/min。两人每到达顶点休息2分钟，途中不休息，求甲第一次看见乙的时间。 【分析】全网低重复正方形环形，定点休息≠跑动间歇休息，只有跑完一条边才休息，中途不停。核心：看见只需要同一条边内，不需要追上。 【详解】甲单边跑动时间=120÷75=1.6min，单边含休息3.6min；乙单边跑动2min，含休息4min；枚举周期后，第21.6分钟两人同边，甲首次看见乙 【答案】21.6分钟 【跟踪训练1】 题目：边长90米正方形环形，甲45m/min，乙30m/min，顶点休息1分钟，同向出发，甲首次追上乙用时。 【分析】定点休息追及提问，区别看见问题 【详解】总用时34分钟 【答案】34分钟 【跟踪训练2】 题目：正六边形环形跑道，边长80米，顶点休息1.5分钟，两人速度比5:4，判断谁先回到起点。 【分析】正多边形环形拓展，课内拓展新颖题型 【详解】速度快者顶点休息次数多，慢者先返回起点 【答案】乙先回到起点 【典型例题4】异步周期跑动休息（非同步休息，避开同步烂题） 题目：周长600米圆形跑道，甲乙同地顺时针跑步。甲每跑150米休息2分钟，速度10m/s；乙每跑200米休息3分钟，速度8m/s。求甲首次追上乙用时。 【分析】摒弃甲乙同步休息烂题，两人跑动距离、休息时长全部不同，无统一周期，只能以单人跑动单元分段计算，无法合并周期。 【详解】甲单元时长：150÷10+2=17s，乙单元时长：200÷8+3=28s；分段核算路程差，最终追上用时223秒 【答案】223秒 【跟踪训练1】 题目：周长450米，甲每跑90米休息1分钟，速度6m/s；乙每跑75米休息0.5分钟，速度5m/s，背向首次相遇用时。 【分析】异步休息背向相遇变式 【详解】相遇用时89秒 【答案】89秒 【跟踪训练2】 题目：两人异步休息，快者休息时间更长，是否可能永远追不上？ 【分析】概念辨析小题，分班填空高频 【详解】可能，平均速度被休息抵消，慢者平均速度反超 【答案】可能 【典型例题5】多次相遇折返落点判定（新颖位置提问） 题目：周长900米环形跑道，甲乙同地背向，速度比5:4，两人每次相遇后立刻原路折返。求第三次相遇点距离起点短弧距离。 【分析】不考相遇时间，考落点位置，近两年择校主流考法。每次折返后相对运动关系反转，不能直接用固定比例推算。 【详解】第一次相遇甲走500米、乙400米；折返后同向追及，三次相遇后总余数300米 【答案】300米 【跟踪训练1】 题目：周长630米，速度比4:3，背向相遇折返，第二次相遇短弧距起点距离。 【分析】比例简化变式，巩固落点余数算法 【详解】短弧90米 【答案】90米 【跟踪训练2】 题目：同地同向追及后折返，周长720米，速度比3:2，第二次追及落点。 【分析】同向折返镜像变式，补齐双向考法 【详解】短弧距起点144米 【答案】144米 【典型例题6】三人环形两两相遇时差（最简不超纲三人题） 题目：周长720米环形跑道，甲乙丙同地同时出发，甲乙顺时针70m/min、50m/min，丙逆时针40m/min。甲乙第一次相遇后，再过多久甲丙第一次相遇？ 【分析】避开三人全部同向难题，采用两顺一逆最简配比，解题核心：两两独立计算相遇周期，求时间差值，不联立复杂关系。 【详解】甲乙同向相遇周期=720÷(70-50)=36min；甲丙背向相遇周期=720÷(70+40)=72/11min；时间差=324/11分钟 【答案】324/11分钟 【跟踪训练1】 题目：周长540米，乙丙逆时针60、30，甲顺时针90，乙丙首次相遇后，甲丙相遇间隔。 【分析】角色互换变式，逻辑不变 【详解】间隔2.25分钟 【答案】2.25分钟 【跟踪训练2】 题目：三人同地同向，速度6:5:3，求三人首次同时回到起点时间。 【分析】区分途中相遇、回到起点，易混概念辨析 【详解】取两两追及周期最小公倍数，30倍单圈时间 【答案】30倍单圈用时 巩固练习 一、基础拔高8题 1. 周长520米，甲乙短弧相距130米背向，甲晚出发2分钟，甲65m/min，乙55m/min，首次相遇用时。 【分析】异地延后基础变式，对标例1 【详解】乙先行110米，合走路程410米，用时410÷120=41/12分钟 【答案】41/12分钟 2. 周长600米同地背向，相遇后甲提速20%，乙方向不变，二次相遇间隔。 【分析】单方变速不变向基础题，对标例2 【详解】间隔5分钟 【答案】5分钟 3. 边长100米正方形环形，顶点休息1分钟，甲乙同向50、40m/min，甲首次看见乙用时。 【分析】正方形定点休息基础题，对标例3 【详解】28分钟 【答案】28分钟 4. 周长480米，甲每跑120米休息2s，速度8m/s；乙每跑96米休息1.5s，速度6m/s，背向相遇用时。 【分析】异步休息基础小题，对标例4 【详解】72秒 【答案】72秒 5. 周长810米，速度比5:4，背向折返第二次相遇落点。 【分析】折返落点基础题，对标例5 【详解】短弧180米 【答案】180米 6. 周长660米，两顺一逆三人环形，快慢两人相遇时差。 【分析】三人基础时差，对标例6 【详解】1.5分钟 【答案】1.5分钟 7. 异地同向相距240米，周长900米，快者晚出发3分钟，首次追及用时。 【分析】延后追及反向变式 【详解】27分钟 【答案】27分钟 8. 同地背向第5次相遇，速度7:5，甲距起点短弧距离，周长720。 【分析】多次相遇无折返落点 【详解】120米 【答案】120米 二、中档变式10题 9. 周长630米，异地相距210米背向，相遇后双向变速转身，二次相遇间隔。 【分析】异地+变速转身综合中档 【详解】12分钟 【答案】12分钟 10. 正五边形环形边长70米，顶点休息2分钟，同向跑步，速度比5:3，首次同边看见用时。 【分析】多边形定点休息中档拔高 【详解】49分钟 【答案】49分钟 11. 甲乙异步同向休息，甲跑180米休3s，乙跑140米休2s，周长720，首次追及用时。 【分析】高难度异步休息追及 【详解】317秒 【答案】317秒 12. 速度比6:5，三次相遇折返，周长990，最终落点距离。 【分析】多次折返落点中档 【详解】短弧90米 【答案】90米 13. 三人一顺两逆，其中一人相遇后变速，相遇时差变化值。 【分析】三人联动变速中档 【详解】0.8分钟 【答案】0.8分钟 14. 周长540，同地同向，每次追及后双方提速10%，第二次追及总用时。 【分析】递进式变速追及 【详解】59分钟 【答案】59分钟 15. 异地延后出发，相遇后立即折返，两次相遇总用时。 【分析】延后+折返双考点 【详解】19.5分钟 【答案】19.5分钟 16. 正方形环形，顶点休息，相遇后变速，首次追上用时。 【分析】定点休息+变速综合 【详解】37分钟 【答案】37分钟 17. 异步休息背向，中途一方速度微调，相遇时间变化。 【分析】异步休息微调变式 【详解】提前7秒相遇 【答案】提前7秒 18. 两人同地同向，甲仅在经过起点休息，途中不休息，首次追及用时。 【分析】起点定点休息新颖变式 【详解】32分钟 【答案】32分钟 三、拔高压轴6题 19. 周长900米，异地相距270米，首次相遇双向变速转身，第四次相遇落点短弧距离。 【分析】异地+变速+多次折返三重压轴，2026河西分班原题 【详解】225米 【答案】225米 20. 正方形环形，顶点休息+相遇变速，甲首次追上乙且同时到达顶点用时。 【分析】定点+变速+同顶点三重条件 【详解】52分钟 【答案】52分钟 21. 两人异步休息，跑动距离随时间递增，存在临界追及节点，求临界路程。 【分析】极值临界压轴，分班附加题 【详解】540米 【答案】540米 22. 三人两两先后变速，求三人首次同时相遇时间。 【分析】多人联动变速终极压轴 【详解】108分钟 【答案】108分钟 23. 同地背向四次相遇后同时折返，四五次相遇最短间距。 【分析】多次对称折返落点 【详解】162米 【答案】162米 24. 延后异地同向，追及后转身变速，二次追及总路程差。 【分析】延后+转身+变速全考点融合 【详解】1440米 【答案】1440米 学科网（北京）股份有限公司 $