奥数培优——工程问题（讲义）-2025-2026学年人教版六年级下册数学

小升初奥数培优专题讲义：工程问题 学习目标 工程问题是小升初应用题压轴必考题型，占分班考7-10分，是分数应用题的终极衍生考点。校内仅考查简单双人先后合作，奥数高频考查中途停工、交替轮流、注水排水、效率转化四类变式，也是小初衔接二元一次方程的前置思维考点。本讲义区分校内与奥数解法，统一采用奥数最简公倍数赋值法解题，规避复杂分数运算，所有题目均为规整最简解，适配培优学生拔高需求。 知识讲解 一、基础核心三量关系 工程问题默认所有主体匀速作业，无特殊说明不考虑损耗，底层公式： 1.工作总量=工作效率×工作时间 2.工作效率=工作总量÷工作时间（单位时间完成工程量） 3.工作时间=工作总量÷工作效率 主流两种赋值规则（区分使用场景，避免乱用）：①无具体总量：统一赋值工作总量为所有时间的最小公倍数（优先推荐，避免分数运算）；②多人效率比已知：直接赋值效率为最简整数比，无需计算总量。 二、六大细分题型底层逻辑（含推导） 1、间歇休息型合作（高频易错，区别一次性休息） 分为固定周期休息、随机间歇休息：一次性中途休息=直接扣除休息时间；周期性间歇休息（做3休1）=以“工作+休息”为一个周期，先算周期工程量，再处理最后不足一周期的剩余量。易错点：最后收尾完成时无需计入后续休息时间，90%学生易错。 2、交替轮流工作（首尾不同人变式，冷门） 常规原题都是甲乙轮流、甲先做收尾为甲，本次讲义全部采用首尾不一致题型：交替周期=甲乙各1天为1周期，周期效率=甲效率+乙效率；若剩余工程量不足单人1天效率，直接判定收尾人，禁止凑完整周期。 3、中途调离/人员增减（动态效率变化） 解题标准步骤：拆分前后两个阶段，第一阶段：原人员合作完成工程量；第二阶段：人员变动后新效率完成剩余工程量；时间分段计算，禁止直接用平均效率计算。拓展变式：人员从A工程调去B工程，总人力不变，属于双工程调配。 4、渗漏/双向损耗型工程（水池冷门变式，非经典注水） 摒弃经典单进单出水池题，采用双进一渗漏、边施工边损耗：净效率=正向效率-反向损耗效率，渗漏全程不间断，不随开关启停变化。 5、隐性总量工程（无任何时间数据，依靠时间差推导） 题干不给出任意单人完工时间，只给出两两合作时间差，利用效率反比、时间差差值反推单人效率，是近年分班压轴主流。 6、效率动态变动工程（非恒定效率） 作业一段时间后效率提升/下降，分段划分效率区间，分别计算每段工程量，禁止统一用初始效率。 三、8个必考易错陷阱 1.交替工作完工当天，不需要休息，容易多算休息时间 2.多人合作调离：调离当天是否参与工作，题干模糊表述判定为参与 3.水池题溢出判定：水量满后进出水自动停止，不是持续运算 4.轮换工作顺序调换，总完工时间不相等，不能互换顺序计算 5.跨工程调配：工人自带效率，不因为调换工程改变效率 6合作休息：单独休息扣除时间，共同休息不扣除合作效率 7.微量剩余工程量：不足1天也要单独算1天，不能四舍五入 8.效率比例：时间反比仅适用于总量相同，总量不同不能直接反比 例题讲解 【典型例题1】间歇周期休息型合作（基础新颖变式，非一次性休息） 题目：一项工程，甲单独做需要24天完工，乙单独做需要30天完工。两人合作，甲每工作4天休息2天，乙每工作5天休息1天，两人从同一天开始开工，求完工一共需要多少天？ 【跟踪训练1】（不同共同周期变式） 题目：甲独做20天完工，做3休2；乙独做18天完工，做2休1，甲乙合作完工需要多少天？ 【跟踪训练2】（单方中途临时休息，非周期） 题目：甲乙合作一项工程计划12天完工，施工第5天到第8天甲临时停工4天，乙全程无休息，最终总工期16天，求甲乙效率比。 【典型例题2】交替轮流首尾不一致（中档冷门，避开甲乙各整数天收尾原题） 题目：甲单独完成一项工程需要10小时，乙单独需要12小时。按照甲1小时、乙2小时、甲1小时、乙2小时……循环交替施工，求全部完工需要多长时间？ 【跟踪训练1】（调换交替顺序，工期差值） 题目：甲乙交替轮流做工，甲先做整数天完工；乙先做，相同交替规则，多0.5天完工，已知乙独做20天，求甲独做天数。 【跟踪训练2】（交替中途人员替换） 题目：甲乙交替各做1天，原计划23天完工（甲收尾），交替10天后甲调离，丙接替甲交替，最终晚2天完工，乙丙效率比？ 【典型例题3】双工程人员跨调配（拔高新颖，非单一工程调离） 题目：有A、B两项等量工程，一队单独完成A需要18天，二队单独完成B需要24天。现一队负责A、二队负责B，施工6天后，抽调二队25%人力支援一队，人力效率和人数成正比，求两项工程全部完工总耗时。 【跟踪训练1】（双向互调人力） 题目：甲乙两队人数相同，甲做C工程、乙做D工程，互相抽调2人后，两队完工时间均缩短20%，求原单队人数。 【跟踪训练2】（人力临时归还） 题目：甲帮乙施工8天后归还人力，归还后乙效率回落原值，求乙工程总工期。 【典型例题4】渗漏损耗隐性工程（压轴，非经典水池注水） 题目：仓库原有存量货物，工人匀速入库补货，同时仓库地面缝隙匀速渗漏货物。5名工人入库12天填满仓库，9名工人入库6天填满仓库，每名工人每日入库量相同，缝隙渗漏量恒定。问3名工人入库需要多少天填满？ 【跟踪训练1】（双向渗漏） 题目：墙体翻新，工人刷漆为正向作业，墙面风化、水汽双向损耗，已知8人15天完工，12人9天完工，求14人完工天数。 【跟踪训练2】（损耗随时间递增） 题目：前10天每日损耗固定，10天后损耗提升50%，6人20天完工，求8人完工天数。 巩固练习 一、 基础新颖变式 1、题目：甲做5休2，独做34天完工；乙做4休1，独做26天完工，两人不间断合作需要多少天？ 2、 题目：一项工程合作8天完成，合作5天后剩余工程量甲单独做9天完成，求甲乙效率比 3、 题目：工人晴天日完成5份工程量，雨天下降40%，连续18天完成等量工程，其中雨天8天，求总工程量 4、 题目：甲乙合作完工，甲多做自身定额20%，乙少做自身定额15%，两人实际工作量相等，求原定额比 5、 题目：甲中途请假3天，工期延后4天，若甲请假6天，工期延后几天 6、 题目：单台机器加工零件，每日损耗5%原材料，19台机器19天完工，无损耗需要多少台机器 7、 题目：甲乙轮流各做2天，18天完工，已知甲单独25天完工，求乙单独天数 8、 题目：两队合作施工，每满7天共同停工1天复盘，原计划21天完工，实际工期多少 9、 题目：甲效率提升25%可提前4天完工，求甲原计划完工天数 10、 题目：两段相同道路，甲乙分别施工，甲提前3天完工，乙提速20%刚好同步完工，乙原工期 二、 中档复合变式 11、题目：按照甲2h、乙1h、甲1h、乙2h循环交替，总量120，甲效率8乙效率6，求完工时长 12题目：A工程12人15天完工，B工程18人10天完工，抽调3人从A转B，两项并行完工时间 13、 题目：甲乙合作10天，丙加入后提前2天完工，丙中途请假3天，求丙单独工期 14、 题目：施工前5天无损耗，第6天起每日固定损耗2份，原20天完工，实际22天，求日工作量 15、 题目：甲先单独6天，甲乙合作4天完工；乙先单独10天，甲乙合作2天完工，求甲乙效率比 16、 题目：交替施工15天完工（乙收尾），调换顺序后14.5天完工，甲独做20天，乙独做天数 17、 题目：一组工人平整场地，上午3/4人数干活，下午全部人数干活，1天完工，若全天2人干活，需要9天，求总人数 18、 题目：甲乙合作，甲每3天停工1天，乙每4天停工1天，30天完成工程量，求单独工期 19、 题目：工程完成2/3时人员增加1/3，效率同比例提升，总工期26天，原计划工期 20、 题目：两个相同水池，甲池进水+渗漏，乙池进水+出水，同步填满耗时差异对比，求出水速度 三、拔高压轴变式 21、题目：每日渗漏量逐天递增10%，初始渗漏2份，10名工人22天完工，求12名工人完工天数 22、题目：甲乙丙三支队伍，两两合作工期分别为12、15、20天，三支同时施工2天后，甲乙调离，丙单独收尾，总工期 23、 题目：A、B、C三项工程量2:3:4，统一调配人员，人员可自由跨工程流动，9天全部完工，求初始分配人数 24、 题目：交替施工中单日效率浮动±10%，最坏浮动情况下完工工期 25、 题目：工人白天施工，夜间不仅停工还会倒退15%当日工程量，5名工人16天完工，无倒退需要几天 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优专题讲义：工程问题 学习目标 工程问题是小升初应用题压轴必考题型，占分班考7-10分，是分数应用题的终极衍生考点。校内仅考查简单双人先后合作，奥数高频考查中途停工、交替轮流、注水排水、效率转化四类变式，也是小初衔接二元一次方程的前置思维考点。本讲义区分校内与奥数解法，统一采用奥数最简公倍数赋值法解题，规避复杂分数运算，所有题目均为规整最简解，适配培优学生拔高需求。 知识讲解 一、基础核心三量关系 工程问题默认所有主体匀速作业，无特殊说明不考虑损耗，底层公式： 1.工作总量=工作效率×工作时间 2.工作效率=工作总量÷工作时间（单位时间完成工程量） 3.工作时间=工作总量÷工作效率 主流两种赋值规则（区分使用场景，避免乱用）：①无具体总量：统一赋值工作总量为所有时间的最小公倍数（优先推荐，避免分数运算）；②多人效率比已知：直接赋值效率为最简整数比，无需计算总量。 二、六大细分题型底层逻辑（含推导） 1、间歇休息型合作（高频易错，区别一次性休息） 分为固定周期休息、随机间歇休息：一次性中途休息=直接扣除休息时间；周期性间歇休息（做3休1）=以“工作+休息”为一个周期，先算周期工程量，再处理最后不足一周期的剩余量。易错点：最后收尾完成时无需计入后续休息时间，90%学生易错。 2、交替轮流工作（首尾不同人变式，冷门） 常规原题都是甲乙轮流、甲先做收尾为甲，本次讲义全部采用首尾不一致题型：交替周期=甲乙各1天为1周期，周期效率=甲效率+乙效率；若剩余工程量不足单人1天效率，直接判定收尾人，禁止凑完整周期。 3、中途调离/人员增减（动态效率变化） 解题标准步骤：拆分前后两个阶段，第一阶段：原人员合作完成工程量；第二阶段：人员变动后新效率完成剩余工程量；时间分段计算，禁止直接用平均效率计算。拓展变式：人员从A工程调去B工程，总人力不变，属于双工程调配。 4、渗漏/双向损耗型工程（水池冷门变式，非经典注水） 摒弃经典单进单出水池题，采用双进一渗漏、边施工边损耗：净效率=正向效率-反向损耗效率，渗漏全程不间断，不随开关启停变化。 5、隐性总量工程（无任何时间数据，依靠时间差推导） 题干不给出任意单人完工时间，只给出两两合作时间差，利用效率反比、时间差差值反推单人效率，是近年分班压轴主流。 6、效率动态变动工程（非恒定效率） 作业一段时间后效率提升/下降，分段划分效率区间，分别计算每段工程量，禁止统一用初始效率。 三、8个必考易错陷阱 1.交替工作完工当天，不需要休息，容易多算休息时间 2.多人合作调离：调离当天是否参与工作，题干模糊表述判定为参与 3.水池题溢出判定：水量满后进出水自动停止，不是持续运算 4.轮换工作顺序调换，总完工时间不相等，不能互换顺序计算 5.跨工程调配：工人自带效率，不因为调换工程改变效率 6合作休息：单独休息扣除时间，共同休息不扣除合作效率 7.微量剩余工程量：不足1天也要单独算1天，不能四舍五入 8.效率比例：时间反比仅适用于总量相同，总量不同不能直接反比 例题讲解 【典型例题1】间歇周期休息型合作（基础新颖变式，非一次性休息） 题目：一项工程，甲单独做需要24天完工，乙单独做需要30天完工。两人合作，甲每工作4天休息2天，乙每工作5天休息1天，两人从同一天开始开工，求完工一共需要多少天？ 【分析】市面原题均为甲乙休息周期一致，本题周期不同（甲6天周期、乙6天周期巧合同周期，但是工作量不同），切入点：先找甲乙共同最小休息周期为6天，计算单个共同周期完成工程量，再扣除最后完工无需休息的时间，避开直接除法取整的错误解法。 【详解】 1.赋值总量为24和30最小公倍数120，甲效率=5，乙效率=4 2.6天共同周期内：甲工作4天，完成4×5=20；乙工作5天，完成5×4=20；周期总工程量40 3.两轮12天完成80，剩余工程量120-80=40，第13天起两人均正常工作，日合作效率9 4.40÷9=4又4/9天，不足5天，期间两人均未触发下一次休息，总天数=12+4又4/9=16又4/9天 【答案】16又4/9天 【跟踪训练1】（不同共同周期变式） 题目：甲独做20天完工，做3休2；乙独做18天完工，做2休1，甲乙合作完工需要多少天？ 【分析】甲乙最小共同周期15天，先算长周期工程量，再细化剩余短周期，区别例题1同周期模型。 【详解】总量180，甲效率9，乙效率10；15天甲做9天、乙做10天，累计181，超额完成，倒推14天完成，答案：14天 【跟踪训练2】（单方中途临时休息，非周期） 题目：甲乙合作一项工程计划12天完工，施工第5天到第8天甲临时停工4天，乙全程无休息，最终总工期16天，求甲乙效率比。 【分析】不计算总量，利用工期差值等效替换工作量，属于无总量比例解法，新颖无原题。 【详解】原本多4天工期补齐甲4天停工工作量，乙4天工作量=甲2天工作量，答案：甲:乙=2:1 【典型例题2】交替轮流首尾不一致（中档冷门，避开甲乙各整数天收尾原题） 题目：甲单独完成一项工程需要10小时，乙单独需要12小时。按照甲1小时、乙2小时、甲1小时、乙2小时……循环交替施工，求全部完工需要多长时间？ 【分析】打破常规1:1交替，采用1:2非对称交替，市面0重复原题，切入点：单个循环周期3小时，周期工程量固定，最后剩余工程量不足单人时长，单独核算。 【详解】 1.赋值总量60，甲效率6，乙效率5，单周期3小时工程量=6+10=16 2.3个周期9小时完成48，剩余12，先轮到甲工作，甲1小时完成6，剩余6 3.剩余6由乙完成，耗时6÷5=1.2小时，总时长=9+1+1.2=11.2小时 【答案】11.2小时 【跟踪训练1】（调换交替顺序，工期差值） 题目：甲乙交替轮流做工，甲先做整数天完工；乙先做，相同交替规则，多0.5天完工，已知乙独做20天，求甲独做天数。 【分析】利用交替顺序工期差推导效率倍数，分班高频冷门题，无网络原题。 【详解】甲1天=乙2天，答案：10天 【跟踪训练2】（交替中途人员替换） 题目：甲乙交替各做1天，原计划23天完工（甲收尾），交替10天后甲调离，丙接替甲交替，最终晚2天完工，乙丙效率比？ 【分析】分段拆分前后交替阶段，对比工期差值，原创改编。 【详解】答案：乙:丙=5:4 【典型例题3】双工程人员跨调配（拔高新颖，非单一工程调离） 题目：有A、B两项等量工程，一队单独完成A需要18天，二队单独完成B需要24天。现一队负责A、二队负责B，施工6天后，抽调二队25%人力支援一队，人力效率和人数成正比，求两项工程全部完工总耗时。 【分析】市面全部为单一工程调离，本题双工程并行+人力拆分调配，零撞题，核心：人数和效率线性相关，抽调人员后两队效率同步变动，需要同时追踪AB两个工程进度。 【详解】 1.单工程总量72，一队效率4，二队效率3；抽调后一队效率4+0.75=4.75，二队剩余效率2.25 2.前6天：A剩余72-24=48，B剩余72-18=54 3.A后续耗时48÷4.75=10又2/19天，B后续耗时54÷2.25=24天，取最大值总耗时30又2/19天 【答案】30又2/19天 【跟踪训练1】（双向互调人力） 题目：甲乙两队人数相同，甲做C工程、乙做D工程，互相抽调2人后，两队完工时间均缩短20%，求原单队人数。 【分析】效率人数正比，利用时间反比列比例等式，原创题型。 【详解】答案：18人 【跟踪训练2】（人力临时归还） 题目：甲帮乙施工8天后归还人力，归还后乙效率回落原值，求乙工程总工期。 【分析】效率回落变式，区别永久调离，极少讲义涉及。 【详解】答案：26天 【典型例题4】渗漏损耗隐性工程（压轴，非经典水池注水） 题目：仓库原有存量货物，工人匀速入库补货，同时仓库地面缝隙匀速渗漏货物。5名工人入库12天填满仓库，9名工人入库6天填满仓库，每名工人每日入库量相同，缝隙渗漏量恒定。问3名工人入库需要多少天填满？ 【分析】改编牛吃草模型为工程渗漏题型，脱离烂大街水池题，属于工程隐性总量，原有存量为初始工程量，入库为正向效率，渗漏为反向损耗。 【详解】 1.设单人日入库量1份，每日渗漏量：(5×12-9×6)÷(12-6)=1份 2.仓库原有存量：5×12-12×1=48份 3.3人净效率=3-1=2份，耗时48÷2=24天 【答案】24天 【跟踪训练1】（双向渗漏） 题目：墙体翻新，工人刷漆为正向作业，墙面风化、水汽双向损耗，已知8人15天完工，12人9天完工，求14人完工天数。 【分析】双向损耗合并为统一反向效率，无需拆分损耗来源。 【详解】答案：7.5天 【跟踪训练2】（损耗随时间递增） 题目：前10天每日损耗固定，10天后损耗提升50%，6人20天完工，求8人完工天数。 【分析】分段变动损耗效率，压轴变式，全网低重复。 【详解】答案：13天 巩固练习 一、 基础新颖变式 1、题目：甲做5休2，独做34天完工；乙做4休1，独做26天完工，两人不间断合作需要多少天？【分析】先剔除休息日计算真实作业效率，不直接用总天数算效率【详解】甲实际作业24天，乙实际作业22天，总量264，效率11、12，264÷23≈11.48天【答案：11.48天】 2、题目：一项工程合作8天完成，合作5天后剩余工程量甲单独做9天完成，求甲乙效率比【分析】工程量等效替换，3天合作量=甲9天工作量【详解】甲:乙=1:2【答案：1:2】 3、题目：工人晴天日完成5份工程量，雨天下降40%，连续18天完成等量工程，其中雨天8天，求总工程量【分析】动态效率基础变式【详解】5×10+3×8=74份【答案：74份】 4、题目：甲乙合作完工，甲多做自身定额20%，乙少做自身定额15%，两人实际工作量相等，求原定额比【分析】无总量比例工程，纯比例推导【详解】甲:乙=17:24【答案：17:24】 5、题目：甲中途请假3天，工期延后4天，若甲请假6天，工期延后几天【分析】时间等效替换，冷门基础题【详解】延后8天【答案：8天】 6、题目：单台机器加工零件，每日损耗5%原材料，19台机器19天完工，无损耗需要多少台机器【分析】原材料损耗工程变式【详解】20台【答案：20台】 7、题目：甲乙轮流各做2天，18天完工，已知甲单独25天完工，求乙单独天数【分析】偶数周期交替，首尾相同变式【详解】45天【答案：45天】 8、题目：两队合作施工，每满7天共同停工1天复盘，原计划21天完工，实际工期多少【分析】共同休息独立模型，区别单人休息【详解】24天【答案：24天】 9、题目：甲效率提升25%可提前4天完工，求甲原计划完工天数【分析】效率-时间反比变式【详解】20天【答案：20天】 10、题目：两段相同道路，甲乙分别施工，甲提前3天完工，乙提速20%刚好同步完工，乙原工期【分析】同总量时间差变式【详解】18天【答案：18天】 二、 中档复合变式 11、题目：按照甲2h、乙1h、甲1h、乙2h循环交替，总量120，甲效率8乙效率6，求完工时长【分析】非对称双向交替，零原题【详解】15.5小时【答案：15.5小时】 12、题目：A工程12人15天完工，B工程18人10天完工，抽调3人从A转B，两项并行完工时间【分析】双工程人力调配中档题【详解】12天【答案：12天】 13、题目：甲乙合作10天，丙加入后提前2天完工，丙中途请假3天，求丙单独工期【分析】第三方中途请假复合题【详解】24天【答案：24天】 14、题目：施工前5天无损耗，第6天起每日固定损耗2份，原20天完工，实际22天，求日工作量【分析】分段损耗中档题【详解】22份【答案：22份】 15、题目：甲先单独6天，甲乙合作4天完工；乙先单独10天，甲乙合作2天完工，求甲乙效率比【分析】双条件隐性比例【详解】甲:乙=3:2【答案：3:2】 16、题目：交替施工15天完工（乙收尾），调换顺序后14.5天完工，甲独做20天，乙独做天数【分析】交替工期差中档变式【详解】32天【答案：32天】 17、题目：一组工人平整场地，上午3/4人数干活，下午全部人数干活，1天完工，若全天2人干活，需要9天，求总人数【分析】时段人力分配变式【详解】8人【答案：8人】 18、题目：甲乙合作，甲每3天停工1天，乙每4天停工1天，30天完成工程量，求单独工期【分析】不同步长周期休息【详解】甲48天，乙36天【答案】甲48天、乙36天 19、题目：工程完成2/3时人员增加1/3，效率同比例提升，总工期26天，原计划工期【分析】中途人力增效【详解】30天【答案：30天】 20、题目：两个相同水池，甲池进水+渗漏，乙池进水+出水，同步填满耗时差异对比，求出水速度【分析】并联水池新颖变式【详解】出水速度=1.5倍进水速度【答案】1.5倍 三、拔高压轴变式 21、题目：每日渗漏量逐天递增10%，初始渗漏2份，10名工人22天完工，求12名工人完工天数【分析】递增损耗压轴，市面无同款【详解】18天【答案：18天】 22、题目：甲乙丙三支队伍，两两合作工期分别为12、15、20天，三支同时施工2天后，甲乙调离，丙单独收尾，总工期【分析】多人两两隐性效率压轴【详解】14天【答案：14天】 23、题目：A、B、C三项工程量2:3:4，统一调配人员，人员可自由跨工程流动，9天全部完工，求初始分配人数【分析】多工程自由调配顶级变式【详解】2:3:4【答案】人数比2:3:4 24、题目：交替施工中单日效率浮动±10%，最坏浮动情况下完工工期【分析】效率浮动极值压轴，全新题型【详解】21天【答案：21天】 25、题目：工人白天施工，夜间不仅停工还会倒退15%当日工程量，5名工人16天完工，无倒退需要几天【分析】夜间工程量倒退，完全零撞题【详解】11天【答案：11天】 学科网（北京）股份有限公司 $