2.4一元二次方程的应用 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，通过实际问题导入，衔接方程解法知识，以“审设列解检答”步骤和几何图形、销售利润等问题类型为支架，帮助学生建立方程模型解决实际问题。 其亮点是结构化步骤讲解与分类型实例结合，用广场扩建等情境培养数学眼光，通过利润问题推理培养数学思维，以符号表达体现数学语言。学生提升建模能力，教师可高效开展系统教学。

4 一元二次方程的应用 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 课时讲解 1 课时流程 2 建立一元二次方程模型解应用题 学习目标 知识点 建立一元二次方程模型解应用题 知1－讲 1 列方程解应用题，指的是先把实际问题抽象为数学问题(即建立方程模型)，然后通过解决数学问题来解决实际问题. 感悟新知 知1－讲 1. 一般步骤 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系 等量关系往往体现在关键词句中 ②设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法(引入辅助未知数，并在解题过程中消去) 有单位的要带 单位 ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程 方程两边单位要统一 感悟新知 知1－讲 步骤 内容摘要 注意事项 ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值 一般不必写出解方程的过程 ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义 一般两个根中只有一个符合实际意义 ⑥答 写出实际问题的答案 遵循“问什么答什么”的原则 感悟新知 知1－讲 特别解读 设元的方法： (1)直接设元: 一般情况下，题中问什么就设什么，即直接设所求的量为未知数，这种设元的方法叫直接设元法。 (2)间接设元: 如果直接设元列方程比较困难或列出的方程比较复杂，此时可以设其他相关的量为未知数，把问题中所求的量用含未知数的代数式表示，这种设元的方法叫间接设元法。 感悟新知 知1－讲 2. 常见实际问题的数量关系 常见问题 列方程的依据 几何图形 问题 常用的知识有：勾股定理，各种规则图形的面积、体积或周长公式 感悟新知 知1－讲 常见问题 列方程的依据 销售利润 问题 利润= 售价－进价；利润率=×100% ； 售价= 进价×(1＋利润率)； 总利润= 总售价－总成本= 单件利润× 总销量 感悟新知 知1－讲 常见问题 列方程的依据 平均增长率(降低率)问题 a 为起始量，b 为终止量，平均增长率公式： a(1＋x)n =b(x 为平均增长率，n 为增长的次数). 平均降低率公式：a(1－x)n =b(x 为平均降低率，n为降低的次数) 感悟新知 知1－讲 常见问题 列方程的依据 数字问题 (1)两位数= 十位上的数字×10 ＋个位上的数字； (2)三位数= 百位上的数字×100 ＋ 十位上的数字×10 ＋ 个位上的数字 感悟新知 知1－讲 特别提醒 1. 设未知数时，必须写清单位。 2. 列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，答时必须写上单位。 感悟新知 知1－练 某地计划对矩形广场进行扩建改造. 如图2－4－1，原广场长50 m，宽40 m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2. 扩充区域的扩建费用每平方米30 元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设 地砖．铺设地砖费用每平方米 100 元．如果计划总费用为 642000 元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 例1 感悟新知 知1－练 解题秘方：找出等量关系，根据几何图形面积公式和等量关系建立一元二次方程，求解一元二次方程即可。 感悟新知 知1－练 解：设扩充后广场的长为3 x m，则宽为2 xm. 根据题意， 得3 x·2 x·100＋30(3x·2 x－50×40)= 642000， 解得x1=3 0，x2=－30(不合题意，舍去)． 则3x =9 0，2x =60. 所以，扩充后广场的长和宽应分别为90m 和60 m. 设未知数时必须写清单位. 感悟新知 知1－练 1-1.张先生家有一面长4 m、宽3 m的白墙，装修时设计师在墙上设计了一幅长方形的创意壁画作为电视背景墙(如图)，壁画的面积占了白墙面积的75 %，并在墙的上部空间和左侧空间留出了宽度为 5∶4的长方形区域用来安装横向和 纵向的置物架。壁画的长和宽分别 是多少？ 感悟新知 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 知1－练 例 2 [期中·无锡] 如图2-4-2，在一棵树的高10 m 的D 处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m 的池塘A 处，另一只爬到树顶后直接沿直线跃向池塘A 处。如果两只猴子所经过的距离 相等，那么这棵树 高________ m。 15 感悟新知 知1－练 解题秘方：设树高为x m，用含x 的式子表示出AC，利用勾股定理可得到关于x 的方程，求解即可。 解：设这棵树高BC=x m，则CD=(x-10)m。 由题意可知BD+AB=10+20=30(m)， 所以AC=30-CD=30-(x-10)=(40-x)m。 根据题意知CB⊥ AB， 即△ ABC 为直角三角形， 所以AC2=AB2+BC2，即(40-x)2=202+x2， 解得x=15，即这棵树高15 m。 感悟新知 知1－练 2-1. 如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后他将绳子末端拉到距离旗杆8 m 处，发现此时绳子末端距离地面2 m，求旗杆的高度。(滑轮上方的部分忽略不计) 感悟新知 知1－练 解：过点C作CB⊥AD于点B。 设旗杆AD的高度为x m， 则AC＝AD＝x m，AB＝(x－2) m，BC＝8 m。 在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2， 即(x－2)2＋82＝x2，解得x＝17。 所以，旗杆的高度为17 m。 感悟新知 知1－练 【母题 教材P52例2】 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利45 元，为了扩大销售、增加盈利、尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平均每天可多售出4 件，若商场平均每天盈利 2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题： 例3 关键句 感悟新知 知1－练 解题秘方：通过关系式“销售盈利＝每件盈利× 销量”，建立方程进行解答. 感悟新知 知1－练 (1)降价前，该商场衬衫每天的总盈利为______元； (2)降价后，设该商场每件衬衫应降价x 元，则每件衬衫盈利______元， 平均每天可售出__________件；(用含x 的代数式表示) 900 (5－x) (20 ＋4 x) 感悟新知 知1－练 (3)请列出方程，求出x 的值. 解：由题意得(45－x)(20＋4 x)=2100， 解得x1=10，x2=3 0 . 因为要尽快减少库存，所以x =30 . 在盈利相同的情况下，尽快减少库存的办法就是要多卖，降价越多，卖的也就越多. 感悟新知 知1－练 3-1. 中秋期间，某商场以每盒140 元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180 元时，每天可售出60盒。为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价1 元，那么商场每天就可以多售出5 盒。 (1)设售价每盒下降x元，则每天能售出________盒(用含x的代数式表示)； (60＋5x) 感悟新知 知1－练 (2)当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到3 360元？ 解：依题意得(180－x－140)(60＋5x)＝3 360， 解得x1＝16，x2＝12。 当x＝16时，180－x＝180－16＝164(元)； 当x＝12时，180－x＝180－12＝168(元)。 所以，当月饼每盒售价为164元或168元时，每天的销售利润恰好能达到3 360元。 感悟新知 知1－练 例 4 【情境题 环境保护】在“低碳生活，绿色出行”的号召下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某运动商城的自行车销售量不断增加。据统计，该商城7月份销售自行车64 辆，9月份销售自行车100 辆。这个运动商城8，9 这两个月的月平均增长率是多少？ 感悟新知 知1－练 思路导引： 感悟新知 解：设这个运动商城8，9 这两个月的月平均增长率是x。 根据题意，得64(1+x)2=100， 解得x1=-225%(不合题意，舍去)，x2=25%。 所以，这个运动商城8，9 这两个月的月平均增长率为 25%。 感悟新知 知1－练 4-1. 某经济开发区今年六月份工业产值是150亿元，八月份工业产值达到了216 亿元。 (1)求该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率。 解：设该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率为x。由题意得150(1＋x)2＝216， 解得x＝0.2＝20%或x＝－2.2(舍去)。所以，该经济开发区七、八月平均每月工业产值的增长率为20%。 感悟新知 知1－练 (2)若保持(1)中的这个平均增长率不变，预计九月份该经济开发区工业产值能否达到260亿元？ 请判断并说明理由。 解：预计九月份该经济开发区工业产值不能达到260亿元。理由如下：216×(1＋20%)＝259.2(亿元)， ∵259.2<260，∴预计九月份该经济开发区工业产值不能达到260亿元。 感悟新知 知1－练 一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2， 十位上的数字与个位上的数字的积的3 倍刚好等于这个两位数，求这个两位数. 例5 思路导引： 感悟新知 知1－练 解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x＋2. 根据题意，得3 x(x＋2)=10x＋(x＋2). 整理，得3x2－5 x－2= 0， 解得x1=2，x2=－ (不合题意，舍去). 当x =2 时，x＋2=4 . 所以，这个两位数是24 . 两位数= 十位上的数字×10＋个位上的数字. x不能为负数，也不能为分数，必须是1~7 之间的整数。 感悟新知 知1－练 5-1. 一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后， 所得新的两位数与原来的两位数的乘积为736， 求原来的两位数. 感悟新知 知1－练 解：设原来的两位数的十位数字为x， 则个位数字为5－x.根据题意，得： [10x＋(5－x)][10(5－x)＋x]＝736. 整理，得x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3. 当x＝2时，5－x＝3，原来的两位数是23； 当x＝3时，5－x＝2，原来的两位数是32. 所以，原来的两位数是23或32. 感悟新知 一元二次方程的应用 一元二次 方程的应用 几何图形问题 建模 类型 平均增长率(降低率)问题 销售利润问题 数字问题 建模 步骤 设 列 解 检 答 审 课堂小结 解：设墙的左侧空间留出的宽度为4x m， 则墙的上部空间留出的宽度为5x m。 根据题意，得4×3×75%＝(4－4x)(3－5x)， 整理，得20x2－32x＋3＝0， 解得x＝或x＝。 当x＝时，5x＝<3，符合题意； 当x＝时，5x＝>3，不符合题意。 则4－4x＝4－4×＝，3－5x＝3－5×＝。 所以，壁画的长和宽分别是 m， m。 $