云南保山智源天成高级中学2026届高三上学期第4周数学作业考试化试题

**基本信息** 高三数学周测试卷聚焦指对幂函数核心内容，通过知识梳理、辨析修正、综合应用三层设计，强化概念理解与逻辑推理，适配高三一轮基础巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|1-7题/30分|幂函数定义与特性、指对幂运算公式、指数函数图像性质|基础概念填空，系统构建知识网络，培养抽象能力| |辨析题|8-17题/20分|幂函数判断、函数值域、单调性应用|正误判断与修正，针对易错点强化推理意识| |典型题|18-23题/50分|不等式解集、函数奇偶性与最值、幂函数证明及应用|综合题融合定义法证明单调性、参数范围求解，体现数学思维的严谨性与应用意识|

高三年级秋季学期第4周 数学学科作业考试化 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、知识梳理(每空1分，共30分) 1．幂函数的定义：形如 的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.  2.幂函数满足的三个特性：①的系数为 ；②的底数是自变量x；③指数为常数. 3．幂函数的单调性 ①当 0时，幂函数在上单调递增； ②当时，幂函数在上单调递减. 4.指对幂函数的运算公式 （1）根式的性质:①负数没有偶次方根.②0的任何次方根都是0.③. (n∈N*，且n>1).④.＝ (n为大于1的奇数).⑤.＝ (n为大于1的偶数). （2）分数指数幂 ①.规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②.规定正数的负分数指数幂的意义是： (a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的性质 ①= ，(，；② = (，③ ，，；④ ，， （4）对数与指数的关系①若a>0，且a≠1，则⇒x= ②对数恒等式：alogaN＝ ；logaaN＝ (a>0，且a≠1，N>0)． （5）对数的性质 ① ＝ (a>0，且a≠1)．② ＝ (a>0，且a≠1)．③零和负数没有对数． （6）,且,,，那么：①＝ ；②＝ ；③＝ (n∈R).④＝ (n∈R，m≠0). （7）对数换底公式： ,且,,,且推论 （,均大于0且不等于1）. 5.指数函数的定义：一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量. 6.指数函数三个特征：(1)底数a>0，且a≠1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是 . 7.指数函数图像与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 过定点 函数值的变化 当x＞0时，y＞1 当x＞0时，0＜y＜1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1 单调性 在R上增函数 在R上减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关 对称 二、辨析题(每题得2分，共20分) 8. 函数是幂函数.（ ） 改： 9. 函数,的值域为 （ ） 改： 10.已知幂函数在区间上单调递增，解得 或（ ） 改： 11. （>0）.（ ） 改： 12.已知（ ） 改： 13. 若函数为奇函数，则一定有成立 （ ） 改： 14. 若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称 .（ ） 改： 15. 若是定义在上的减函数，则不等式的解集为，）. （ ） 改： 16.在两个关于原点对称的区间上奇函数具有相同的单调性,偶函数具有相反的单调性（ ） 改： 17. 函数的单调递增区间为. （ ） 改： 三、典型题（总结做题方法）(共50分) 18.（多选，6分）下列说法错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的定义域为 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 19.（多选，6分）（多选）以下运算中正确的是（　　） A．若，则 B． C． D． 20.(5分）若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是 ；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ． 21.(5分）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 ． 22.(13分）已知函数， (1)（6分）当时，解关于的不等式 (2)（7分）函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值． 23.(15分）已知为幂函数． (1)（3分）求的解析式； (2)（5分）用定义法证明：在上是减函数； (3)（7分）①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保山智源天成高级中学高三年级秋季学期第4周 数学学科作业考试化 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、知识梳理(每空1分，共30分) 1．幂函数的定义：形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.  2.幂函数满足的三个特性：①的系数为1；②的底数是自变量(或x）；③指数为常数. 3．幂函数的单调性 ①当 > 0时，幂函数在上单调递增； ②当时，幂函数在上单调递减. 4.指对幂函数的运算公式 （1）根式的性质:①负数没有偶次方根.②0的任何次方根都是0，记作＝0.③. a(n∈N*，且n>1).④.＝a(n为大于1的奇数).⑤.＝|a|＝(n为大于1的偶数). （2）分数指数幂 ①.规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②.规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的性质 ①，，；② = (，③，，；④，，； （5）对数与指数的关系 ①若a>0，且a≠1，则⇒x=. ②对数恒等式：alogaN＝N；logaaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)． （2）对数的性质 ① ＝0 (a>0，且a≠1)． (2) ＝1 (a>0，且a≠1)． ③零和负数没有对数． （6）,且,,，那么：①＝logaM＋logaN；②＝logaM－logaN； ③＝nlogaM(n∈R).④＝logaM(n∈R，m≠0). （7）对数换底公式： ,且,,,且推论（,均大于0且不等于1）. 4.指数函数的定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 5.指数函数三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. 6.指数函数图像与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x＞0时，y＞1 当x＞0时，0＜y＜1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 二、辨析题(每题得2分，共20分) 8. 函数是幂函数.（ × ） 改：______________________________________________________________________ 9. 函数,的值域为 （ × ） 改：_______________________________________________________________________ 10.已知幂函数在区间上单调递增，解得 或（ × ） 改：_______________________________________________________________________ 11. （>0）.（ √ ） 改：_______________________________________________________________________ 12.已知（ × ） 改：_______________________________________________________________________ 13. 若函数为奇函数，则一定有成立 （ × ） 改：_______________________________________________________________________ 14. 若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称 .（ √ ） 改：_______________________________________________________________________ 15. 若是定义在上的减函数，则不等式的解集为，）. （ × ） 改：_______________________________________________________________________ 16.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性（ √ ） 改：_______________________________________________________________________ 17. 函数的单调递增区间为. （ × ） 改：_______________________________________________________________________ 三、典型题（总结做题方法）(共50分) 18.（多选，6分）下列说法错误的是（    ） A．不等式的解集为 B．函数的定义域为 C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】由一元二次不等式的解法可得A错误；由具体函数的定义域可得B正确；由基本不等式可得C错误；分，，当时由二次函数的性质可得D正确； 【详解】对于A，不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或，故A错误； 对于B，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，故B正确； 对于C，函数， 当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误； 对于D，当时，不等式变为，恒成立，符合题意； 当时，由二次函数的性质可得，解得， 综上的取值范围是，故D错误； 故选：ACD. 19.（多选，6分）（多选）以下运算中正确的是（　　） A．若，则 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A利用对数换底公式以及对数运算即可判断，对于B利用对数运算即可判断，对于C根据指数和对数运算即可判断，对于D利用指数和对数的换底公式即可判断. 【详解】对于A：由，得，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：原式，故C错误； 对于D：，故D正确． 故选：ABD. 20.(5分）若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是 ；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据不等式与方程的关系，分别计算和，解不等式得到答案. 【详解】不等式的解集为，则，解得； 不等式的解集不是空集，即， 故，解得或. 故答案为：； 21.(5分）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可得出的值，根据函数对称性可得出的值，推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，结合周期性可求得的值. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称， 则对任意的，，，则， 所以，， 所以，函数是周期为的周期函数，且， 因此，. 故答案为：. 22.(13分）已知函数， (1)（6分）当时，解关于的不等式 (2)（9分）函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值． 【详解】(1)不等式为，即，由可得；由可得或，故原不等式解集为. (2)因为由于，由题意或，若时， 则，且或，当时，，不满足题意，舍去；当时，；若，则，且或当时，，当，符合题意； 当，与题设矛盾，故舍去；当时，；综上所述：或，符合题意. 23.(15分）已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)① ；② 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求幂函数的解析式、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由幂函数定义求解； （2）取值-做差-变形-判断符号-结论； （3）①由单调性求解；②分离参数，利用基本不等式求最值得范围. 【详解】（1）由题意得，解得，则． （2）由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数． （3）①由（2）知，在上是减函数． 因为，则， 解得，所以实数的取值范围． ②因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 令． 当且仅当，即时等号成立， 则，所以，则实数的取值范围是． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $