辽宁沈阳市第二中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题

沈阳二中2025一2026学年度下学期6月月考 高二(2027届)数学试题答案 一、CABDB BDC 二、9.ABD )10.BCD 11.BD 三、12.-201913.23514.1 15.(1) 3 a2< (2)4=-或a=-1. 3 【详解】1)因为f)=x+(2a-)x-3图象的对称轴为x=-2a1 2 又因为f八y在(-1,2)上不单调，所以-1<-2a-1<2,解得-3< 3 <a< 2 2 2 3 即实数a的取值范围为 4分 (2)由于区间-1,3引的中点为x=1, ①当-202s1,即a2时，f=f3到=6如+3. 2 1 所以6a+31,即a=-行满足题意：8分 ②当-2a->1,即a<号时，fx=f-1)=-2a-1, 2 所以-2a-1=1,即a=-1,满足题意.12分 综上可知，a三或a=1· 13分 n(n+1) 16.(1)am=n,Sn= 2 (2)证明见解析： 【详解】(1)：2Sn=a2+an(n∈N),①， 2S+1=a1+a+1（n∈N),②， 由②-①得2a1=a1-a+a1-a,（n∈N) a+a=am-a =(anti+an)an-an). 又an>0,a1-an=1.4分 又2a1=a2+a1,解得a,=1或0（舍）， 故a,=1+(n-l×1=,25.=a+a,=m2+m今S,=n+ 7分 2 (2)由(1)可知6=”+2g, nn+1n+2,则 3 6 1=6「1 1 -=3 12分 b.n(n+(n+2n(n+1(n+1(n+2 1 15分 17.(1)y=-1 (2)两个零点 (3)3 【详解】(1)因为fx)=x-nx-2,x>0,所以fx)=1-, 所以曲线y=f(x)在点(1，f1)处的切线的斜率为f'(=0, 又因为f1=-1, 所以曲线y=f(x)在点(1，f1)处的切线方程为y=-1.3分 (2)因为f(y=x-hx-2,x>0,所以f(x)=1-1=x- 当0<x<1时，f'(x)<0,当x>1时，f'(x)>0, 所以fx)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以f（x)在x=1处取得极小值，也是最小值，f(1=-1.5分 因为当x→0时，f(x)→+o,f(4)=2-ln4>0, 所以由函数零点存在定理，得f（x)在(0,1内和(1,4内各存在一个零点， 所以函数f(x)有两个零点.7分 (3)因为对任意的x∈(L+o),都有xlnx+x>kx-),所以k<xInx+x x-1 设g=nx+x，x∈山+切)， x-1 则g-血x+2x-刂-xnx+x-nx-2 (x-1 (x-12 由(2)知，f(x)=x-lnx-2在(1，+oo)上单调递增. 因为f3=1-ln3<0,f(4=2-ln4>0, 所以f(x)在(3,4内存在唯一的零点x,即f(x)=-nx-2=0. 10分 所以当x∈(1，x)时，f(x)<0,所以g(x<0,g(x)在(1，x)上单调递减； 当x∈(x,+oo)时，f(x)>0,所以g(x)>0，gx)在(x,+oo)上单调递增. 所以g(x)在x=x。处取得极小值，也是最小值， g(x)=n。+x2 x0-1 因为n=5-2,所以g=-2到+=5B4到.13分 x-1 所以k<。,所以整数k的最大值为3. 15分 18.(1)b=32,b2=128,b=512 (2)数列{b,}为单调递增数列，理由见解析 (3)12.4"-6n-12 8an+12,n为奇数 【详解】(1)因为a,=2,an1= ,n为偶数 2 所以a2=8a,+12=16+12=28,a3= 4228 2=2 =14, a=8a,+12=8x14+12=12+12=124,4,=g=124 62, 22 a6=8a+12=8×62+12=496+12=508. 又bn=a2m+4, 所以b,=a2+4=28+4=32,b2=a4+4=124+4=128,b,=a6+4=508+4=512.3分 (2)因为b1=a2+4=8an1+12+4=8x0+16=4an+4=4h, 因为b,=32≠0，所以{b,}是以32为首项，4为公比的等比数列. 又因为b=32>0,公比q=4>1, 所以数列{b,}为单调递增数列.8分 (3)由(2)可知，bn=an+4=32×4=220*3,所以a2n=324--4, 所以a2+a4+…+a.=(32.4°-4+(32.4-4+…+(32.4"-4=32(4°+4+…+4"-）-4n _321-4)4n32.4-32-4n.12分 1-4 3 由a=8a4+12→a4-12_324.4-l2-4-2, 8 8 所以a,+a+…+am1=(4-2+(42-2+…+(4-2=4+42+…+4"-2n= 40-4）-2n44-4-2m 1-4 3 15分 所以a+a2+a3+a4+…+a2m-l+a2m=(a+a3+…+a2m-l)+(a2+a4+…+a2n) 17分 3 19.(1):f(x)的极小值为1，无极大值. (2)b≤- 1 (3)证明见解析. 【详解】(1)解略. 2分 (2)af(x)+lnx+1)-a≤1-bx+1, 等价于@=名小+小-1+x+s0, 则3a∈[0,1使得w(a≤0成立，只需wn(a≤0， “f"(x)=e ,当x∈(-1,0)时，f'(x<0,当x∈(0，+o)时，f'(x)>0, （x+1)2 ∴f(x在(-1,0)上单调递减，在(0，+o∞)上单调递增， 所以f（x=f(0)=1,∴f(x)-1≥0，所以Wd在a∈[0,1上有最小值， wmin (a)=w(0)=In(x+1)-1+b(x+1), 即ln(x+1)-1+b(x+1≤0对x∈-l,+o恒成立，5分 令x+1=t(t∈(0，+o∞))，即lnt-1+b1≤0， d=ht-1+bt,1e0,to),v0)=+b=1+,t∈0，to ①当b≥0时，(t)>0,所以()单调递增， 在t∈(e,+oo),v(t)>v(e=be≥0，不符合题意， ②当6<0时，由v)>0,得0<1方则函数0在：e0,君上单调递增， 由刊<0，得1>方，则函数在：（方+上单调避减， 故的最大值为：=（君)-2≤0，解等6≤号 8分 (3)因为F(=-e本1令F=0,a 1 e x+1 由(2)知f八x)在(-1,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增，f(xm=f(0)=1,则[-f(x]=-1, ①当a2-1时，所以-a≤1，又fx)=e≥1， x+1 F(x)=-ae--I--e-*(-a-f(x))se*(1-f(x))s0, x+1 函数F(x)在(-1，+∞)上单调递减， 又F(m)=F(n)+>Fn),则m<n,n-m=n-m, 要证明m-小<1，只需证明n-m<1,只需证明-F风<-1， n-m 即F(n+”<F(m+ e 令函数)=F()+=ae-n(x+1)+文，求导得hy=-L+ e e*x+le 又F(+尽0，不妨设F)=日，则F(>日F 由F(x)在(-l,+∞上单调递减，得-1<m<n<x。, 当-1<r<x时，F(=ae-n(x+1)>F)=- e 即-a<-lnx+l), er e 因t州小g径+小， 令数-是中+小求号得 11 -x (x+x+1(x+ 当-1<x<0时，(x>0;当x>0时，(x)<0, 函数(x)在(-1,0)上单调递增，在(0，+o∞上单调递减， 则u(y≤u(0)=2-1<0, 当-1<x<x时，h'(x)<u(x<0,函数hx)在(-1，x)上单调递减， 由-1<m<n<,得h(m>h(n),即F(n)+”<F(m)+m，因此n-m<1; 13分 ②当a<-1时，可知F(x)有两个极值点x,x,且x<0<x2, 函数F(x)在(-1，x),（x,+o)上单调递减，在(x,x)上单调递增， 由6为极值点，得F()=-ae-=0,即ae=-1 x2+1 2+1 则F(x,)=ae-ln(x,+1=-1 -ln(x2+, x2+1 又ux=2--n(x+≤0=2-1<0， e x+1 e 则F()=--n(s,+1<-1<- x2+1 e 对任意>，FsF名<-，由F(+0,得F>,则-1<a<0, 因此m,n∈（-1,0)，即n-m<1. 综上可知n-m<1.17分 沈阳二中2025——2026学年度下学期6月月考 高二（2027届）数学试题 说明：1．测试时间：120分钟 总分：150分 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷 （73分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 2．有下列命题： ①数列，，，，…的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列1，，1，，1，…与数列，1，，1，…是同一数列； ④数列，，…，，…是递增数列． 其中正确命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．0 3．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 4．若函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 5．等比数列的前n项和为，则下列说法不正确的是（ ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比q满足 C．若，，则公比 D．若（t为常数），则 6．若（，），则的最小值是（ ） A．11 B．9 C．7 D．5 7．已知正数a，b，且，满足，则（ ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 8．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．对于集合A，B，我们把集合叫做集合A与集合B的差集，记作．已知集合，．则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 11．已知函数，其中，，且n，，则下列说法正确的是（ ） A．一定存在极大值点 B．若有且仅有3个极值点，则极大值一定大于0 C．若存在极小值，则极小值一定小于0 D．若有且仅有3个极值点、、，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则__________． 13．在数列中，，，，则的前100项和为__________． 14．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．正弦曲线（）曲率的平方的最大值为__________． 第Ⅱ卷 （77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知函数． （1）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； （2）若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 16．（本题满分15分） 已知正项数列的前n项和为，满足（）． （1）求和； （2）若，求证：（）． 17．（本题满分15分） 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的零点个数，并说明理由； （3）若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 18．（本题满分17分） 已知数列满足：，，设． （1）求，，的值； （2）判断数列的单调性，并说明理由； （3）求数列的前项和． 19．（本题满分17分） 已知函数（e是自然对数的底数）． （1）求的极值； （2）若，使得对恒成立，求实数b的取值范围； （3）若函数，，且满足（m，），证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $