精品解析：2026年四川省内江市威远县凤翔中学中考仿真模拟数学试题

四川省内江市中考数学最新仿真模拟试卷 A卷（100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数的倒数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 2026年春晚，人形机器人凭借武术表演，小品搭戏等节目成为焦点，引发消费市场抢购，据悉某平台“春晚同款”机器人每台售价元，一上架即被抢购一空，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数 中自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 7. 某学校的绘画社团参加市青少年绘画比赛，7位评委给出的分数为88，91，92，93，93，95，90．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 90，93 B. 92，93 C. 92，90 D. 93，90 8. 如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，重物上升时定滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当点A转过时，重物上升的高度是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，，，交于点．，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 分解因式：________． 14. 已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 15. 已知⊙O是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为______． 16. 如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17. 计算、化简求值： （1） （2），其中 18. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证∶四边形是菱形； （2）若，求的长． 19. 2025年成都世界运动会是中国大陆首次承办的非奥项目国际综合性赛事，多种小众比赛项目走红，市民积极参与新兴潮流项目，形成健康的生活方式．某校七年级开设了课外社团选修课，有飞盘、啦啦操、定向越野、武术4个项目，小明想了解全年级同学选修课的选择情况，对每个班随机抽取部分学生选择的选修课项目进行了调查统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有________人；在扇形统计图中，“定向越野”项目对应的圆心角度数为________； （2）该校七年级学生共有900人，请你根据调查结果，估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数； （3）为庆祝端午节，学校从“武术”选修课的4名学生中（其中有3名男生，1名女生）随机抽取2名参加汇演，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生参加汇演的概率． 20. 小明与小华住在同一栋楼，他俩想测算小区门前河对面一幢大楼的高度，他俩在小明家的阳台点处，测得大楼顶部点的仰角为，大楼底部点的俯角为，然后他俩来到小华家，在阳台点处，测得大楼顶部点的仰角为 ．已知小明与小华家所在楼层高度差为10 米，求大楼的高度．（参考数据：，，，） 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）结合图象，请直接写出不等式的解集； （3）若P为直线的动点，连接，已知的面积为，求P点坐标． B卷（60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 22. 若，则的值为_____． 23. 新定义：如果两个实数a（）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，则n的值______． 24. 如图，在菱形中，，．点P为对角线上的任一点，作，．则之和的最小值为______． 25. 如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论： ①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点的横坐标位于3和4之间．其中所有正确结论的序号是___________． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 26. 阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； （2）假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； （3）已知，当x取何值时，分式取到最小值，最小值为多少？ 27. 如图，与相切于点A，为的直径，点B在上，连接、，交于点D，且． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点E，求证：； （3）若，，求图中阴影部分的面积． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点是轴下方抛物线上一点，连接、、，当的面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，点是抛物线对称轴上的动点，点是轴上的动点，在（2）的条件下，连接、、，当的面积最大时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省内江市中考数学最新仿真模拟试卷 A卷（100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数的倒数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是2026，2026的倒数是． 2. 2026年春晚，人形机器人凭借武术表演，小品搭戏等节目成为焦点，引发消费市场抢购，据悉某平台“春晚同款”机器人每台售价元，一上架即被抢购一空，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题需根据科学记数法的定义确定a和n的值，得到正确结果． 【详解】解：科学记数法的标准形式为，要求满足，n为整数， ∵将原数转变为符合要求的a，得，小数点向左移动了5位， ∴，因此． 3. 下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A项，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故A项不符合题意； B项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B项符合题意； C项，不是轴对称图形，是中心对称图形，故C项不符合题意； D项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故D项不符合题意； 故选：B． 4. 如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：该几何体由4个小正方体组成，从上方看时，其布局如图所示． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：与不是同类项，不能合并，∴A错误． B选项： ，计算正确，∴B正确． C选项：，∴C错误． D选项：，∴D错误． 6. 函数 中自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式解答即可求解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 7. 某学校的绘画社团参加市青少年绘画比赛，7位评委给出的分数为88，91，92，93，93，95，90．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 90，93 B. 92，93 C. 92，90 D. 93，90 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据定义分别计算中位数和众数即可． 【详解】将原数据从小到大排序，得：，，，，，，， ∵这组数据共个，为奇数个，中位数是排序后最中间的数，即第个数， ∴中位数为， ∵众数是一组数据中出现次数最多的数， 出现次，出现次数最多， ∴众数为， 因此这组数据的中位数、众数分别是，． 8. 如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形为平行四边形，得到，再结合平行线性质，角平分线性质，三角形内角和定理分析求解，即可解题． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形，， ， 平分， ， ， ， ， ． 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】理解题意，找到剩余知识量的等量关系．每天遗忘百分比为，剩余知识量每天在上一天剩余的基础上按比例衰减，据此列出方程即可． 【详解】解：设原始知识量为， ∵每天遗忘的百分比为， ∴第一天后剩余的知识量为， 第二天后剩余的知识量为， 又∵两天不练丢一半，即两天后剩余知识量为原来的， ∴． 10. 如图，重物上升时定滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当点A转过时，重物上升的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意，重物上升的高度是. 11. 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，，，交于点．，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，由可证，得出，代入，可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 12. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，首先确定含的项是的展开式中的第二项，再根据杨辉三角可得展开式中的第二项系数为n，据此可得答案． 【详解】解：由图中规律可知： 含的项是的展开式中的第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，可知展开式中的第二项系数为n， ∴的展开式中的第二项系数为， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解． 【详解】解：． 14. 已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】方程有两个实数根说明该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为零，且根的判别式大于等于零，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵ 方程 有两个实数根， ∴， 解得：且． ∴的取值范围是且． 15. 已知⊙O是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据边心距求得外接圆的半径，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可． 【详解】解：如下图，过点O作，垂足为G，连接， 六边形是正六边形， 是3个全等的等边三角形， ， 正六边形的边心距为3，即， ， ， ，即， 解得：， 设圆锥的半径为r，根据题意，得：， 解得：． 16. 如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出；再分别过点，作轴的垂线，垂足分别为E，F，则，继而可求得的值．解题时要注意：反比例函数的图象在第二象限，这是易错点． 【详解】解：， ． 如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，F， 则， ， ， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17. 计算、化简求值： （1） （2），其中 【答案】（1）1 （2）化简为，值为 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式，三角函数的运算法则进行计算即可； （2）先根据分式的运算法则进行计算，再将代入化简结果计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 将代入化简后的式子得： 原式 18. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证∶四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 19. 2025年成都世界运动会是中国大陆首次承办的非奥项目国际综合性赛事，多种小众比赛项目走红，市民积极参与新兴潮流项目，形成健康的生活方式．某校七年级开设了课外社团选修课，有飞盘、啦啦操、定向越野、武术4个项目，小明想了解全年级同学选修课的选择情况，对每个班随机抽取部分学生选择的选修课项目进行了调查统计，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有________人；在扇形统计图中，“定向越野”项目对应的圆心角度数为________； （2）该校七年级学生共有900人，请你根据调查结果，估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数； （3）为庆祝端午节，学校从“武术”选修课的4名学生中（其中有3名男生，1名女生）随机抽取2名参加汇演，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生参加汇演的概率． 【答案】（1）50， （2）180人 （3） 【解析】 【分析】（1）用“啦啦操”的学生人数及占比可求总数，求出“定向越野”的人数，再用“定向越野”的人数除以总数乘以即可； （2）用总人数乘以“啦啦操”的学生占比即可； （3）列出表格，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：选择“啦啦操”的学生有10人，占， 本次调查的学生共有（人）； 选择“飞盘”的学生人数所占百分比为， 选择“飞盘”的学生共有（人）， 选择“定向越野”的学生共有（人）， 在扇形统计图中，“定向越野”项目对应的圆心角度数为． 【小问2详解】 解：（人）， 估计七年级选择“啦啦操”选修课的学生人数有180人； 【小问3详解】 解：将这4名学生分别记作：男1、男2、男3、女，根据题意，列表如下： 第一次 第二次 男1 男2 男3 女 男1 − （男2，男1） （男3，男1） （女，男1） 男2 （男1，男2） − （男3，男2） （女，男2） 男3 （男1，男3） （男2，男3） − （女，男3） 女 （男1，女） （男2，女） （男3，女） − 由列表知，共有12种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况有6种， （恰好抽到2名男生参加汇演）． 20. 小明与小华住在同一栋楼，他俩想测算小区门前河对面一幢大楼的高度，他俩在小明家的阳台点处，测得大楼顶部点的仰角为，大楼底部点的俯角为，然后他俩来到小华家，在阳台点处，测得大楼顶部点的仰角为 ．已知小明与小华家所在楼层高度差为10 米，求大楼的高度．（参考数据：，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】设河宽（水平距离）为未知数，分别在两个直角三角形中，利用仰角、俯角的三角函数表示对应高度，再根据楼层高度差建立方程求解，最终求出大楼总高度． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ，米， 在中，，， 设米， 在中，，， ， ， 在中，，，， ， 由此列方程： ， 解得：， （米）． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）结合图象，请直接写出不等式的解集； （3）若P为直线的动点，连接，已知的面积为，求P点坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集； （3）先求出点C坐标，然后分两种情况讨论，利用割补法表示三角形面积即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ． 解得，． 反比例函数解析式为． 在一次函数的图象上， 解得 一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：由题意设， 对于，当时，，解得， ∴， 当点在点下方时， ∴，解得， ∴； 当点在点上方时， ∴，解得， ∴ 综上：P点坐标为或． B卷（60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 22. 若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先对进行分母有理化，再整理得到关于的降次关系式，将所求多项式分组变形，利用降次关系式代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 23. 新定义：如果两个实数a（）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”．若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，则n的值______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据“友好数对”的定义列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：数对是关于的分式方程的“友好数对”， ，，且，即， 根据“友好数对”的定义，得， 解分式方程， 移项得， 解得， 方程的解满足， ， 解得， 检验：当时，各分母均不为，符合定义要求， 故． 24. 如图，在菱形中，，．点P为对角线上的任一点，作，．则之和的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，交于点，证明均为等边三角形，等积法得到，进而得到当即点与点重合时，之和最小为的长，即可. 【详解】解：连接，，交于点， 在菱形中，，， ∴，，， ∴均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，之和最小， ∵点P为对角线上的任一点， ∴当，即点与点重合时，之和最小，为的长， ∴之和的最小值为． 25. 如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论： ①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点的横坐标位于3和4之间．其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由二次函数开口向下，对称轴，交y轴于正半轴可得，，，从而，故①正确；由顶点的坐标为可得对于任意实数，都有，即，故②不正确；由二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间得，又，故，即，故③正确；由点和点关于对称和点位于和之间可得点的横坐标位于3和4之间，故④正确． 【详解】解：二次函数开口向下， ， 二次函数对称轴， ， 二次函数交y轴于正半轴， ， ，故①正确； 顶点的坐标为， 当时，y最大为， 对于任意实数，都有，即，故②不正确； 二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间， 当时，， ，即， ，即，故③正确； 若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点和点关于对称， 点位于和之间，，， 点的横坐标位于3和4之间，故④正确； 综上所述，①③④正确． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 26. 阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； （2）假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； （3）已知，当x取何值时，分式取到最小值，最小值为多少？ 【答案】（1）， （2）， （3）当时，分式取到最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）将代入即可； （2），根据是的整数约数进行求值； （3），结合进行求值．注意验证取等． 【小问1详解】 解：， ， 当且仅当（即）时取等号， 又，故， 因此，当时，式子取到最小值，最小值为； 【小问2详解】 解：； 若分式的值为整数， 则需为整数，即是的整数约数， 的整数约数有， 因此，，， 共个满足条件的整数； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 当且仅当（即）时取等号， 又∵，故，即， 此时分式的最小值为； 因此，当时，分式取到最小值，最小值为． 27. 如图，与相切于点A，为的直径，点B在上，连接、，交于点D，且． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点E，求证：； （3）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，结合圆的切线的性质，得出，即可得证； （2）连接，证明，得到，再结合切线长定理和三线合一的性质，证明，得到，即可得证； （3）连接、，根据直径和圆的切线的性质，得到，进而推出，利用四边形内角和得出，在中，，再利用扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 在和中， ∴， ∴， ∵与相切， ∴ ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴， ∵、是的切线， ∴，且平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接、， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴在中，， ∴ ∴． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点是轴下方抛物线上一点，连接、、，当的面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，点是抛物线对称轴上的动点，点是轴上的动点，在（2）的条件下，连接、、，当的面积最大时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）作轴交于点，求得所在直线的函数表达式，设点的坐标为，则点的坐标为，用含的二次函数表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可； （3）作轴交抛物线于点，则点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，作点关于轴的对称点，推出当、、、四点在一条直线上时，最小，最小值为的长，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将、代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：作轴交于点， 在中，令，得， 点的坐标为， 由、可得所在直线的函数表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， ， 当时，最大，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）可知当的面积最大时，点的坐标为． 由、可得抛物线的对称轴为， 作轴交抛物线于点，则点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，作点关于轴的对称点，连接、、， 点的坐标为，，， ， ，， ， 当、、、四点在一条直线上时，最小，最小值为的长， 过点作轴于点， ，点与点关于轴对称， 点的坐标为， ，，轴， ，， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $