7.2 离散型随机变量及其分布列 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件围绕“离散型随机变量及其分布列”展开，通过掷骰子、射击环数等随机试验情境引入，引导学生建立样本空间，发现样本点与实数的对应关系，以问题链搭建从具体试验到抽象概念的学习支架，衔接样本空间到随机变量的概念生成。 其亮点在于以问题驱动概念生成，通过对比函数加深对随机变量的理解，结合表格法规范分布列表示，体现数学眼光（抽象随机现象）、数学思维（推理分布列性质）、数学语言（精确表达关系）。实例丰富如两点分布应用，帮助学生掌握求分布列步骤，教师可提升教学效率，学生能发展数学抽象与应用意识。

7.2离散型随机变量及其分布列 情境引入 请为以下随机试验建立样本空间： （1）掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数 （2）某人射击一次，观察命中的环数 样本空间可以由1,2,3，…,6表示 样本空间可以由0,1,2,3，…,10表示 样本空间与实数有直接的关系 情境引入 请为以下随机试验建立样本空间： （3）掷一枚质地均匀的硬币，观察出现正面、反面的情况 （4）一批产品共20件，其中18件正品，2件次品，随机抽取 一件观察是正品或次品. X=0表示正面向上，X=1表示反面向上 样本空间与实数没有直接的关系 为表述方便，可以根据需要为每个结果（每个样本点）制定一个数值 X=0表示抽到正品，X=1表示抽到次品 思考： 1.对于上述试验，可以定义不同的变量来表示这个试验结果吗？ 2.任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？ 试验结果 实数 （1）掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数 （2）某人射击一次，观察命中的环数 （3）掷一枚质地均匀的硬币，观察出现正面、反面的情况 （4）一批产品共20件，其中18件正品，2件次品，随机抽取 一件观察是正品或次品. 总结：在上面的例子中，随机试验有以下特点： （1）试验的所有可能结果都可以用一个数来表示； （2）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在试验之前，我们不能 肯定它一定会出现哪一个结果。 5 概念生成 问题1：下列随机试验的样本空间是什么？样本点与变量的值是如何对应的？ 试验1：从100个电子元件（至少含3个以上次品）中随机抽取三个进行试验， 变量X表示三个元件中次品数. 解析：用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品” 用0和1的字符串表示样本点，则样本空间为： 样本空间 000 001 010 100 011 101 110 111 变量X 0 1 1 1 2 2 2 3 概念生成 问题1：下列随机试验的样本空间是什么？样本点与变量的值是如何对应的？ 试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要抛掷的次数. 解析：用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上” 则样本空间为： 样本空间 h th tth ttth … 变量Y 1 2 3 4 … 追问1：观察两个随机试验，请你归纳试验1和试验2的样本空间 中样本点与对应变量有什么共同点？ 解析：在上面两个试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应。 变量X,Y有如下共同特点： (1)取值依赖于样本点； （2）所有可能取值是明确的. 追问2：你能类比函数中的对应关系，将样本空间中的样本点 与实数的对应关系用一般化的数学语言表达吗？ 1.随机变量的概念 即：用一个变量表示随机试验的结果 随机变量将随机试验的结果数量化 总结：随机变量的特点： （1）随机变量X都可以用数字来表示； （2）试验之前可以判断其可能出现的所有值； （3）在试验之前不能确定其取值. 追问2：随机变量与函数的异同点有哪些？ （1）共同点： （2）不同点： 所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系.这种 对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一 样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的 概念中，随机变量X的自变量是试验结果，不一定是实数. 例1.判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量. (1)从学校回家要经过3个红绿灯口，可能遇到红灯的次数X; (2)抛掷一枚骰子观察其朝上的点数，直到朝上点数为偶数停止试验， 记录试验的次数Y; (3)标准大气压下，水沸腾的温度. (4)电灯泡的使用寿命X; (5)某林场树木高度最高达30m,那么这个林场树木高度Y有哪些？ 11 2.随机变量的分类 可能取值为有限个或可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量，如X,Y,Z等；用小写英文字母表示 随机变量的取值，如x,y,z 如：某射击运动员射击一次可能命中的环数X. 某网页在24h内被浏览的次数Y. 2.随机变量的分类 可能取值为有限个或可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量，如X,Y,Z等；用小写英文字母表示 随机变量的取值，如x,y,z 可能取值充满某个区间，不能一一列举的随机变量，称为连续型随机变量. 如：种子含水量的测量误差X 某品牌电视机的使用寿命Y 例2.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机 试验的结果. (1)袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数X; (2)袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从中随机取出3个球， 被取出的球的最大号码数Y. X=0,1,2 Y=3,4,5 问题2：抛掷一枚质地均匀的骰子，所得的点数X有哪些值？ 解析：X可以取1,2,3,4,5,6 追问1：如何表示掷出的点数不大于2？ 掷出偶数点呢？ 解析：{X≤2} {X=2} ∪{X=4} ∪{X=6} 引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用 数学工具研究随机试验中的概率问题. 追问2：抛掷一枚质地均匀的骰子，所得的点数X取每个值的 概率是多少？ 解析：X可能的取值有1,2,3,4,5,6 追问3：能否用表格形式表示X的取值及其相应的概率呢？ 每个取值的概率： X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 列出了随机变量X的所有取值，及X的每一个取值的概率. 3.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个 值xi的概率 为X的概率分布列，简称分布列. 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X x1 x2 x3 … xn P p1 p2 p3 … pn 追问4：你能根据概率的性质，研究离散型随机变量的性质吗？ 追问5：你能根据所学知识，总结出分布列的几种表示方法吗? (1)解析式法： (2)表格法： X x1 x2 x3 … xn P p1 p2 p3 … pn (3)图形法 例1.（1）下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是（ ） A. X 1 0 1 P B. X 0 1 2 P C. X 0 1 2 P D. X -1 0 1 P 例1.（2）设离散型随机变量X的概率分布列为（ ） 则下列各式中成立的是（ ） A.P(X>-1)=1 B.P(X>0)=0.7 C.P(X<3)=1 D.P(X<0)=0 X -1 0 1 2 3 P 例1.（3）一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义： 求X的分布列. X 0 1 P 0.95 0.05 解：根据X的定义：{x=1}表示“抽到次品”，{x=0}表示“抽到正品”， X的分布列为： 追问：本题中离散型随机变量的分布列有什么特征？ 4.两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， 表示“失败”， 定义： 如果P(A)=p,则 ，那么X的分布列如下表所示： 我们称X服从两点分布或0-1分布. X 0 1 P 1-p p 实际上，X为在一次试验中成功（事件A发生）的次数（0或1）.像购买的 奖券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来 描述. 例4.一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机 挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列. 求随机变量X的分布列步骤如下： （1）根据问题设立一个随机变量，并写出随机变量的所有可能取值； （2）利用古典概型，求随机变量X的每一个可能取值对应的概率; （3）用解析式或表格形式表示分布列. $