7.3.1离散型随机变量的均值 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的均值，通过1654年赌本分配历史情境引入，结合射箭运动员成绩比较问题链，从具体数据到概率分布逐步抽象，搭建从实际问题到数学定义的学习支架。 其亮点在于融合历史背景与问题驱动教学，以“数学眼光”观察现实问题，“数学思维”构建均值概念，“数学语言”解决猜歌名、设备保护决策等实际问题。通过实例分析与性质探究，帮助学生发展抽象能力和应用意识，为教师提供逻辑清晰、案例丰富的教学资源。

7.3.1离散型随机变量的均值 1654年，职业赌徒德·梅累（De Mere）向法国数学家帕斯卡（B.Pascal, 1623-1662）提出了一个长期困扰他的赌本分配问题。这个问题不仅在历史 上具有重要意义，还曾在华东师范大学的考研真题中出现。 情境引入： 赌本分配问题：甲、乙两人通过掷硬币进行赌博，每局正面朝上甲胜， 反面朝上乙胜，双方各出50个金币，约定的规则是先胜三局者获得全部 100枚金币，当赌博进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这 时由于某种原因终止了赌博，那么该如何分配这100枚金币才比较公平？ 布莱士.帕斯卡 皮埃尔.德.费马 帕斯卡对分赌本问题产生了浓厚兴趣。为了迅速解决这一问题，他与住在法国南部的 费马展开了通信讨论，这一事件发生在1654年7月29日，这一天也被后人定为概率论的诞 生日。两人的通信解决了分赌本问题，奠定了概率论基础。 随后，帕斯卡与费马的通信吸引了荷兰数学家惠更斯的注意。惠更斯在《论赌博中的 计算》中，阐述了概率论基本概念。1657年，惠更斯发表的《论赌博中的计算》一书中， 详细阐述了概率论的基本概念和定理，这标志着概率论作为一门学科的正式诞生。 书中出现的数学期望、概率加法与乘法定理等关键概念，为后来的概率论研究奠定了坚实基础。 克里斯蒂安.惠更斯 3 问题1：甲、乙两名射箭运动员进行射击比赛，各射击4次，成绩如下 （单位：环）： 甲、乙两人谁的射箭水平更高？ 甲 7 8 8 10 乙 6 7 9 10 分析：计算甲、乙射中环数的平均值： 问题2：甲、乙两名射箭运动员进行射击比赛，各射击100次，成绩如下 （单位：环）： 如何比较甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？ 分析：计算甲、乙射中环数的平均值： 环数 7 8 9 10 甲射中的频数 10 20 30 40 乙射中的频数 15 25 40 20 问题3：甲、乙两名射箭根据以往的射击比赛成绩，得到分布列如下： 如何比较甲、乙两人谁的射箭水平更高呢？ 环数 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 1.定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： 则称E(X)=x1p1+x2p2+……+xnpn 抽象概念： X x1 x2 …… xn P p1 p2 …… pn 为离散型随机变量X的均值或数学期望，简称期望. 例1.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中 的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 结论：一般地，若X服从两点分布，则E(X)=p 练习：抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X,求X的均值. 性质探究： 探究：如果X是一个离散型随机变量，X加上一个常数或乘以一个常数 后，其均值会怎样变化？即E(X+b)和E(ax)（其中a,b是常数）分别与E(X) 有怎样的关系？ 2.均值的性质： E(ax+b)=a E(X)+b 典例分析 例2.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加 猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名 的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜 下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 解析：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，则A,B,C相互独立. 例3.根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的 概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失 60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案: 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施. 工地的领导该如何决策呢? 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损失/元 方案1 3800 3800 3800 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 分析：决策目标为总损失（投入费用与设备损失之和）越小越好. 根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如下表所示： $