7.2 离散型随机变量及其分布列 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量及其分布列，以“高考加油盲盒”情境导入，复习随机试验概念后，通过射击环数、掷骰子等实例抽象出随机变量，逐步引出离散型随机变量及分布列，构建连贯的学习支架。 其亮点在于情境化设计与递进式概念生成，结合盲盒抽奖、产品抽检等实例培养数学眼光，通过分布列性质应用和概率计算训练数学思维，以表格、符号表达强化数学语言。助力学生建立知识联系，教师可提升教学效率。

7.2 离散型随机变量及其分布列 第六章 计数原理 作者编号：32100 1 情境引入 学校门口的文具店最近推出了“高考加油盲盒”，里面有不同的奖品——笔记本、书签、定制笔，还有谢谢参与的安慰奖，大家有没有抽过类似的盲盒？假设盲盒的奖品设置是固定的： 10%的概率抽到定制笔(最高奖)，30%的概率抽到笔记本，40%的概率抽到书签，20%的概率是谢谢参与。现在请大家思考一个问题：如果我们用一个“量”来表示“一次抽奖抽到的奖品等级”，这个量有什么特点呢？ 作者编号：32100 凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验. ① 试验可以在相同的情形下重复进行； ② 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③ 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却 不能肯定这次试验会出现哪一个结果. ★ 试验： ★ 随机试验： 一个试验如果满足下述条件： 我们就称这样的试验是一个随机试验. 复习回顾 作者编号：32100 新知讲解 1. 某人射击一次 一、随机试验 出现的结果可以用数字0、1、2、… 、10，这11个数表示 作者编号：32100 新知讲解 出现的结果可以用数字1 、2 、3 、4 、5 、6来表示 2. 抛掷一枚骰子 ， 出现的点数 一、随机试验 作者编号：32100 新知讲解 3. 工厂生产的一批产品里有次品和正品，随机抽取一件产品， 抽出的结果是否也可以用数字来表示呢？ 0 1 抽到次品 抽到正品 一、随机试验 作者编号：32100 新知讲解 掷骰子 试验的结果 点数为1 点数为2 点数为3 点数为4 点数为5 点数为6 数字 1 2 3 4 5 6 抽产品 试验的结果 抽到次品 抽到正品 数字 0 1 射击环数 试验的结果 命中0环 命中1环 命中2环 …… 命中9环 命中10环 数字 0 1 2 …… 9 10 作者编号：32100 概念生成 定义 一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点ω，都有唯一的实数 X(ω)与之对应，我们称 X 为随机变量。 二、随机变量 解读 ①在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示；②在这个对应关系下，数字随着实验结果的变化而变化 . 表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如 X，Y，Z； 用小写英文字母表示随机变量的取值，例如 x，y，z． 作者编号：32100 典例剖析 例1 在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，设可能含有的次品件数 X ，问：X 是否是随机变量？如果是，请写出取值结果。 X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量。 解析： 表示抽到 2 件次品 表示抽到 0 件次品 表示抽到0件或1件或2件次品 “抽到3件以上次品”用 X 怎么表示？ 样本空间Ω＝{0，1，2，3，4}. {X＝2}在这里表示什么事件？ {X＝0}在这里表示什么事件？ {X＜3}在这里表示什么事件？ {X ≥3} 变式训练 练习1 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)抛掷2枚骰子，所得点数之和； (2)某足球队在5次点球中射进的球数； (3)任意抽取一瓶标有1500ml的饮料，其实际含量与规定含量之差. ►课本P60 (1)设点数之和为X，X 的可能取值为2，3，‧‧‧，12. {X＝k}表示掷出 的点数之和为k. 解析： (2)设进球个数为Y，Y 的可能取值为0，1，2，3，4，5. {Y＝k}表示射进k个球. (3)设误差为Z，则Z∈R，不是离散型随机变量. (1)(2)中的随机变量可以一一列出，称为离散型随机变量； (3)中的随机变量是连续不断的实数，称为连续型随机变量。 定义 随机变量的可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量。 解读 如掷骰子的试验结果中，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3共有4 个值；城市每天火警的次数中，随机变量 Y 的可能取值为 1，2，3，…，有无限个取值，但可以一一列举出来. 概念生成 三、离散型随机变量 现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子，例如种子含水量的测量误差 X1 ；某品牌电视机的使用寿命 X2等等，这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列出的随机变量，称为连续型随机变量. 作者编号：32100 知识应用 有以下随机试验： ①某路口一天内经过的机动车的辆数为X； ②一天内的温度为X； ③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为X； ④某篮球运动员在一次训练中，投中球的个数为X． 上述问题中的 X 是离散型随机变量的是(　　) A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ C 概念理解 本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量. 根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题. 例如，掷一枚质地均匀的骰子，X 表示掷出的点数， 则事件“掷出的点数不大于2”可以表示为{X≤2}， 事件“掷出偶数点”可以表示为{X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6}. 作者编号：32100 新知探究 引例 掷一枚骰子，所得点数为 X，则 X 可取哪些数字？X 取不同的值时，其概率P分别是多少？你能用表格表示 X 与 P 的对应关系吗？ X 可能的取值有1，2，3，4，5，6 列成表格的形式： X 1 2 3 4 5 6 P 随机变量X的概率分布列 解答 作者编号：32100 若离散型随机变量 X的可能取值为：x1，x2 ，…，xi ，…，xn，则称 X 取每一个值 xi (i＝1， 2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝Pi，i＝1，2 ，…，n 为 X 的概率分布列，简称分布列。 X x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 概念生成 四、离散型随机变量的分布列 1. 表格法： 2. 图象法： P X 1 0 2 3 4 5 6 作者编号：32100 概念理解 根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： ①Pi≥0，i＝1，2， …，n； ②P1＋P2＋ … ＋Pn ＝1． P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ P({X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6})＝P(X＝2)＋P(X＝4)＋P(X＝6)＝ 利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率。例如，在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得 (1)事件“掷出的点数不大于2”的概率为 (2)事件“掷出偶数点”的概率为 作者编号：32100 典例剖析 例2 下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是( ) D 变式训练 练习2 某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.15 0.45 试说明该同学的计算结果是否正确？ 因为0.2＋0.3＋0.15＋0.45＝1.1＞1，所以不正确. 解析： ►课本P61 变式训练 X x1 x2 P p1 p2 练习3 若随机变量X的概率分布列如表，且p1＝ p2，则 p1等于(　 ) 由 p1＋p2＝1且 p2＝2p1，可解得p1＝ . B 解析： 典例剖析 例3 一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义 求 X 的分布列. 解析： 依题意得，X 的分布列为：P(X＝0)＝0.95，P(X＝1)＝0.05. 用表格表示如下： X 0 1 P 0.95 0.05 两点分布 ►课本P59 概念生成 五、两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用 A 表示“成功”， 表示“失败”， 定义 如果P(A)＝p，则P( )＝1－p，那么 X 的分布列如下表所示： X 0 1 P 1－p p 我们称 X 服从两点分布或0 -1分布. 像奖券是否中奖、新生婴儿的性别、投篮是否命中等，都可以用两点分布. 作者编号：32100 变式训练 练习4 篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分. 已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的分布列. ►课本P60 设罚球得分为X，{X＝0}＝“罚球未命中”，{X＝1}＝“罚球命中”则 X 的分布列为： 用表格表示如下： X 0 1 P 0.3 0.7 解析： P(X＝0)＝0.3，P(X＝1)＝0.7. 典例剖析 例4 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示. 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P(X≥4) ►课本P59 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 解析： 由题意得，X的可能取值为1，2，3，4，5，则X的分布列为 X 的分布列为： X 1 2 3 4 5 P P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5) P(X＝1)＝ ， P(X＝2)＝ ， P(X＝3)＝ ， P(X＝4)＝ ， P(X＝5)＝ ， 典例剖析 例5 一批笔记本电脑共有 10 台，其中 A 品牌 3 台，B 品牌 7 台。如果从中随机挑选 2 台，求这 2 台电脑中 A 品牌台数的分布列. 解析： 设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X， 则X的可能取值为0，1，2. 根据古典概型的知识，可得 X 的分布列为 ►课本P60 用表格表示 X 的分布列，如下表所示， X 0 1 2 P 方法归纳 求离散型随机变量分布列的基本步骤： 定值 求概率 列表 1. 根据问题设立一个随机变量 X ，并写出随机变量的所有可能取值. 2. 利用古典概型计算每一个取值对应的概率P(X＝xi)＝pi 3. 写出X 的分布列. 作者编号：32100 变式训练 ►课本P60 练习5 抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列. 由题意得，正面向上的次数X的可能取值为0，1，2 用表格表示如下： ∴ X 的分布列为 由于抛掷一枚硬币2次可能出现的结果有正正，正反，反正，反反. X 0 1 2 P 解析： P(X＝0)＝ ， P(X＝1)＝ ， P(X＝2)＝ ， 变式训练 ►课本P61 练习6 老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中 2 篇才能及格. 某位同学只能背诵其中的 6 篇，求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率. 设抽到他能背诵的课文的数量为X， 则X的可能取值为0，1，2，3， 解析： ∴X 的分布列为： (1) X 0 1 2 3 P 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1. 为什么要研究离散型随机变量的分布列？ 离散型随机变量的分布列有什么作用？ 2. 离散型随机变量的一般步骤是什么？ 分布列的性质在求解随机事件概率的过程中起到什么作用？ 作者编号：32100 $